??xml version="1.0" encoding="utf-8" standalone="yes"?>久久久久久青草大香综合精品 ,浪潮AV色综合久久天堂,久久综合噜噜激激的五月天http://www.shnenglu.com/winmain/category/12517.htmlProgramming is so coolzh-cnWed, 10 Mar 2010 20:44:20 GMTWed, 10 Mar 2010 20:44:20 GMT60【{帖】?D数学基础Q图形与游戏开发》读书笔? http://www.shnenglu.com/winmain/archive/2010/02/23/108302.htmlCode KnightCode KnightTue, 23 Feb 2010 13:11:00 GMThttp://www.shnenglu.com/winmain/archive/2010/02/23/108302.htmlhttp://www.shnenglu.com/winmain/comments/108302.htmlhttp://www.shnenglu.com/winmain/archive/2010/02/23/108302.html#Feedback0http://www.shnenglu.com/winmain/comments/commentRss/108302.htmlhttp://www.shnenglu.com/winmain/services/trackbacks/108302.html阅读全文

Code Knight 2010-02-23 21:11 发表评论
]]>【{贴】矩늚本质-q动的描q?http://www.shnenglu.com/winmain/archive/2010/02/23/108299.htmlCode KnightCode KnightTue, 23 Feb 2010 13:06:00 GMThttp://www.shnenglu.com/winmain/archive/2010/02/23/108299.htmlhttp://www.shnenglu.com/winmain/comments/108299.htmlhttp://www.shnenglu.com/winmain/archive/2010/02/23/108299.html#Feedback0http://www.shnenglu.com/winmain/comments/commentRss/108299.htmlhttp://www.shnenglu.com/winmain/services/trackbacks/108299.html可怜的chenshQ谁让你这个地雷阵Q！色o智昏啊！
U性代数课E，无论你从行列式入手还是直接从矩阵入手Q从一开始就充斥着莫名其妙。比如说Q在全国一般工U院pL学中应用最q泛的同线性代数教材（现在CW四版）Q一上来׃l逆序数这?#8220;前无古hQ后无来?#8221;的古怪概念，然后用逆序数给列式的一个极不直观的定义Q接着是一些简直犯ȝ行列式性质和习题——把q行乘一个系数加到另一行上Q再把那一列减q来Q折腑־那叫一个热闹，可就是压根看不出q个东西有嘛用。大多数像我一栯质^庸的学生到这里就有点犯晕Q连q是个什么东襉K模模p糊的，开始钻火圈表演了，q未免太“无厘?#8221;了吧Q于是开始有人逃课Q更多的人开始抄作业。这下就中招了，因ؓ其后的发展可以用一句峰回\转来形容Q紧跟着q个无厘头的行列式的Q是一个同h厘头但是伟大的无以复加的家伙的出场——矩阉|了！多年之后Q我才明白，当老师犯傻似地用中括号把一堆傻了吧叽的数括hQƈ且不紧不慢地_“q个东西叫做矩阵”的时候，我的数学生掀开了何{悲壮辛酸、惨lh寰的一q！自那以后Q在几乎所有跟“学问”二字E微沄边的东西里，矩阵q个家伙从不~席。对于我q个没能一ơ搞定线性代数的W蛋来说Q矩阵老大的不误来每每搞得我灰头土脸Q头破血。长期以来，我在阅读中一见矩阵，如同阿Q见到了假z鬼子，揉揉额角q道走?/font>
事实上，我ƈ不是特例。一般工U学生初学线性代敎ͼ通常都会感到困难。这U情形在国内外皆然。瑞典数学家Lars Garding在其名著Encounter with Mathematics中说Q?#8220;如果不熟悉线性代数的概念Q要d习自然科学，现在看来和文盲差不多?/strong>”Q然?strong>“按照现行的国际标准，U性代数是通过公理化来表述的，它是W二代数学模型，...Q这带来了教学上的困难?#8221;事实上，当我们开始学习线性代数的时候，不知不觉p入了“W二代数学模?#8221;的范畴当中，q意味着数学的表q方式和抽象性有了一ơ全面的q化Q对于从一直在“W一代数学模?#8221;Q即以实用ؓ导向的、具体的数学模型中学习的我们来说Q在没有q明告知的情况下进行如此剧烈的paradigm shiftQ不感到困难才是奇怪的?/font>
大部分工U学生，往往是在学习了一些后l课E，如数值分析、数学规划、矩阵论之后Q才逐渐能够理解和熟l运用线性代数。即便如此，不少人即使能够很熟练CU性代Cؓ工具q行U研和应用工作，但对于很多这门课E的初学者提出的、看上去是很基础的问题却q不清楚。比如说Q?/font>
* 矩阵I竟是什么东西？向量可以被认为是hn个相互独立的性质Q维度）的对象的表示Q矩阵又是什么呢Q我们如果认为矩阉|一l列Q行Q向量组成的新的复合向量的展开式，那么Z么这U展开式具有如此广泛的应用Q特别是Qؓ什么偏偏二l的展开式如此有用？如果矩阵中每一个元素又是一个向量，那么我们再展开一ơ，变成三维的立斚wQ是不是更有用？
* 矩阵的乘法规则究竟ؓ什么这栯定？Z么这样一U怪异的乘法规则却能够在实践中发挥如此巨大的功效？很多看上M乎是完全不相关的问题Q最后竟焉归结到矩늚乘法Q这N不是很奇妙的事情Q难道在矩阵乘法那看上去莫名其妙的规则下面，包含着世界的某些本质规律？如果是的话，q些本质规律是什么？
* 行列式究竟是一个什么东西？Z么会有如此怪异的计规则？行列式与其对应方阉|质上是什么关p？Z么只有方阉|有对应的行列式，而一般矩阵就没有Q不要觉得这个问题很蠢，如果必要Q针对m x n矩阵定义行列式不是做不到的，之所以不做，是因为没有这个必要，但是Z么没有这个必要）Q而且Q行列式的计规则，看上去跟矩阵的Q何计规则都没有直观的联p，Z么又在很多方面决定了矩阵的性质Q难道这一切仅是y合？
* 矩阵Z么可以分块计？分块计算qg事情看上L那么随意Qؓ什么竟是可行的Q?/strong>
* 对于矩阵转置q算ATQ有(AB)T = BTATQ对于矩阉|逆运A-1Q有(AB)-1 = B-1A-1。两个看上去完全没有什么关pȝq算Qؓ什么有着cM的性质Q这仅仅是y合吗Q?/strong>
* Z么说P-1AP得到的矩阵与A矩阵“怼”Q这里的“怼”是什么意思？
* 特征值和特征向量的本质是什么？它们定义p人很惊讶Q因为Ax =λxQ一个诺大的矩阵的效应，竟然不过相当于一个小的?#955;Q确实有点奇妙。但何至于用“特征”甚至“本征”来界定？它们d的究竟是什么？
q样的一c问题，l常让用线性代数已l很多年的h都感Cؓ难。就好像大h面对孩子的刨根问底Q最后Mq不得已地说“p样吧Q到此ؓ?#8221;一P面对q样的问题，很多老手们最后也只能用：“是q么规定的，你接受ƈ且记住就?#8221;来搪塞。然而，q样的问题如果不能获得回{，U性代数对于我们来说就是一个粗暴的、不讲道理的、莫名其妙的规则集合Q我们会感到Q自己ƈ不是在学习一门学问，而是被不由分说地“抛到”一个强制的世界中，只是在考试的皮鞭挥舞之下被q赶路，全然无法领略其中的美妙、和谐与l一。直到多q以后，我们已经发觉q门学问如此的有用，却仍然会非常qhQ怎么q么凑yQ?/font>
我认为，q是我们的线性代数教学中直觉性q后果。上q这些涉及到“如何?#8221;?#8220;怎么?#8221;的问题，仅仅通过Ua的数学证明来回答Q是不能令提问者满意的。比如，如果你通过一般的证明Ҏ了矩阵分块运确实可行，那么qƈ不能够让提问者的疑惑得到解决。他们真正的困惑是：矩阵分块q算Z么竟然是可行的？I竟只是凑yQ还是说q是q阵这U对象的某种本质所必然军_的？如果是后者，那么矩阵的这些本质是什么？只要对上q那些问题稍加考虑Q我们就会发玎ͼ所有这些问题都不是单纯依靠数学证明所能够解决的。像我们的教U书那样Q凡事用数学证明Q最后培d来的学生Q只能熟l地使用工具Q却Ơ缺真正意义上的理解?/font>
自从1930q代法国布尔巴基学派兴v以来Q数学的公理化、系l性描q已l获得巨大的成功Q这使得我们接受的数学教育在严}性上大大提高。然而数学公理化的一个备受争议的副作用，是一般数学教育中直觉性的丧失。数学家们似乎认为直觉性与抽象性是矛盾的，因此毫不犹U地牺牲掉前者。然而包括我本h在内的很多h都对此表C怀疑，我们不认为直觉性与抽象性一定相互矛盾，特别是在数学教育中和数学教材中，帮助学生建立直觉Q有助于它们理解那些抽象的概念，q而理解数学的本质。反之，如果一x重Ş式上的严格性，学生好像被q进行钻火圈表演的小白鼠一P变成枯燥的规则的奴隶?/font>
对于U性代数的cM上述所提到的一些直觉性的问题Q两q多来我断断l箋地反复思考了四、五ơ，为此阅读了好几本国内外线性代数、数值分析、代数和数学通论性书c，其中像前苏联的名著《数学：它的内容、方法和意义》、龚昇教授的《线性代C讌Ӏ、前面提到的Encounter with MathematicsQ《数学概观》）以及Thomas A. Garrity的《数学拾遗》都l我很大的启发。不q即使如此，我对q个主题的认识也l历了好几次自我否定。比如以前思考的一些结论曾l写在自qblog里，但是现在看来Q这些结论基本上都是错误的。因此打把自己现在的有关理解比较完整地记录下来Q一斚w是因为我觉得现在的理解比较成熟了Q可以拿出来与别人探讨，向别教。另一斚wQ如果以后再有进一步的认识Q把现在的理解给推翻了，那现在写的这个snapshot也是很有意义的?/font>
因ؓ打算写得比较多，所以会分几ơ慢慢写。也不知道是不是有时间慢慢写完整Q会不会中断Q写着看吧?/font>
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今天先谈谈对UŞI间和矩늚几个核心概念的理解。这些东西大部分是凭着自己的理解写出来的，基本上不抄书Q可能有错误的地方，希望能够被指出。但我希望做到直觉，也就是说能把数学背后说的实质问题说出来?/font>
首先说说I间(space)Q这个概忉|C数学的命根子之一Q从拓扑I间开始，一步步往上加定义Q可以Ş成很多空间。线形空间其实还是比较初U的Q如果在里面定义了范敎ͼ成了赋范线性空间。赋范线性空间满_备性，成了巴那赫I间Q赋范线性空间中定义角度Q就有了内积I间Q内U空间再满完备性，得到希伯特空间?/font>
MQ空间有很多U。你要是ȝ某种I间的数学定义，大致都是“存在一个集合，在这个集合上定义某某概念Q然后满x些性质”Q就可以被称为空间。这未免有点奇怪，Z么要?#8220;I间”来称g些这L集合呢？大家会看到Q其实这是很有道理的?/font>
我们一般h最熟悉的空_毫无疑问是我们生活在其中的Q按照牛的l对时空观）的三l空_从数学上_q是一个三l的Ƨ几里dI间Q我们先不管那么多，先看看我们熟悉的q样一个空间有些什么最基本的特炏V仔l想x们就会知道，q个三维的空_1. 由很多（实际上是无穷多个Q位|点l成Q?. q些点之间存在相对的关系Q?. 可以在空间中定义长度、角度；4. q个I间可以容纳q动Q这里我们所说的q动是从一个点到另一个点的移动（变换Q，而不是微U分意义上的“q箋”性的q动Q?/font>
上面的这些性质中，最最关键的是W?条。第1?条只能说是空间的基础Q不是I间Ҏ的性质Q凡是讨论数学问题，都得有一个集合，大多数还得在q个集合上定义一些结构（关系Q，q不是说有了q些q是空间。而第3条太ҎQ其他的I间不需要具备，更不是关键的性质。只有第4条是I间的本质，也就是说Q?strong>容纳q动是空间的本质特征?/font>
认识Cq些Q我们就可以把我们关于三l空间的认识扩展到其他的I间?strong>事实上，不管是什么空_都必dU_支持在其中发生的W合规则的运动（变换Q。你会发玎ͼ在某U空间中往往会存在一U相对应的变换，比如拓扑I间中有拓扑变换Q线性空间中有线性变换，仿射I间中有仿射变换Q其实这些变换都只不q是对应I间中允许的q动形式而已?/font>
因此只要知道Q?#8220;I间”是容U动的一个对象集合，而变换则规定了对应空间的q动?/font>
下面我们来看看线性空间。线性空间的定义M一本书上都有，但是既然我们承认U性空间是个空_那么有两个最基本的问题必首先得到解冻I那就是：
1. I间是一个对象集合，U性空间也是空_所以也是一个对象集合。那么线性空间是什么样的对象的集合Q或者说Q线性空间中的对象有什么共同点吗？
2. U性空间中的运动如何表q的Q也是Q线性变换是如何表示的？
我们先来回答W一个问题，回答q个问题的时候其实是不用拐弯抹角的，可以直截了当的给出答案?strong>U性空间中的Q何一个对象，通过选取基和坐标的办法，都可以表达ؓ向量的Ş式?/font>通常的向量空间我׃说了QD两个不那么^凡的例子Q?/font>
L1. 最高次不大于nơ的多项式的全体构成一个线性空_也就是说Q这个线性空间中的每一个对象是一个多式。如果我们以x0, x1, ..., xn为基Q那么Q何一个这L多项式都可以表达Zln+1l向量，其中的每一个分量ai其实是多项式中x(i-1)的pL。值得说明的是Q基的选取有多U办法，只要所选取的那一l基U性无兛_可以。这要用到后面提到的概念了，所以这里先不说Q提一下而已?/font>
L2. 闭区间[a, b]上的n阶连l可微函数的全体Q构成一个线性空间。也是_q个U性空间的每一个对象是一个连l函数。对于其中Q何一个连l函敎ͼҎ尔斯特拉斯定理Q一定可以找到最高次不大于n的多式函数Q之与该连l函数的差ؓ0Q也是_完全相等。这样就把问题归lؓL1了。后面就不用再重复了?/font>
所以说Q向量是很厉害的Q只要你扑ֈ合适的基，用向量可以表C线性空间里M一个对象。这里头大有文章Q因为向量表面上只是一列数Q但是其实由于它的有序性，所以除了这些数本n携带的信息之外，q可以在每个数的对应位置上携带信息。ؓ什么在E序设计中数l最单，却又威力无穷呢？Ҏ原因在于此。这是另一个问题了Q这里就不说了?/font>
下面来回{第二个问题Q这个问题的回答会涉及到U性代数的一个最Ҏ的问题?/font>
U性空间中的运动，被称为线性变换。也是_你从U性空间中的一个点q动CQ意的另外一个点Q都可以通过一个线性变化来完成。那么，U性变换如何表C呢Q?strong>很有意思，在线性空间中Q当你选定一l基之后Q不仅可以用一个向量来描述I间中的M一个对象，而且可以用矩阉|描述该空间中的Q何一个运动（变换Q。而某个对象发生对应q动的方法，是用代表那个运动的矩阵Q乘以代表那个对象的向量?/font>
而言之，在线性空间中选定Z后，向量ȝ对象Q矩阵刻d象的q动Q用矩阵与向量的乘法施加q动?/font>
是的Q矩늚本质是运动的描述。如果以后有人问你矩阉|什么，那么你就可以响亮地告诉他Q?u>矩阵的本质是q动的描q?/font>。（chenshQ说你呢Q）
可是多么有意思啊Q向量本w不是也可以看成是n x 1矩阵吗？q实在是很奇妙，一个空间中的对象和q动竟然可以用相cd的方式表C?/font>能说q是巧合吗？如果是y合的话，那可真是q运的y合！可以_U性代C大多数奇妙的性质Q均与这个y合有直接的关pR?/font>
接着理解矩阵?/font>

上面?#8220;矩阵是运动的描述”Q到现在为止Q好像大安q没什么意见。但是我怿早晚会有数学pdw的|友来拍板{。因动这个概念，在数学和物理里是跟微U分联系在一L。我们学习微U分的时候，M有h照本宣科地告诉你Q初{数学是研究帔R的数学，是研I态的数学Q高{数学是变量的数学，是研I运动的数学。大家口口相传，差不多h人都知道q句话。但是真知道q句话说的是什么意思的人，好像也不多。简而言之，在我们hcȝl验里，q动是一个连l过E，从A点到B点，q走得最快的光，也是需要一个时间来逐点地经qAB之间的\径，q就带来了连l性的概念。而连l这个事情，如果不定义极限的概念Q根本就解释不了。古希腊人的数学非常强，但就是缺乏极限观念，所以解释不了运动，被芝诺的那些著名悖论Q飞不动、飞毛腿阿喀琉斯跑不q乌龟等四个悖论Q搞得死L来。因文章不是讲微积分的Q所以我׃多说了。有兴趣的读者可以去看看齐民友教授写的《重温微U分》。我是Mq本书开头的部分Q才明白“高等数学是研I运动的数学”q句话的道理?/font>
不过在我q个《理解矩c的文章里，“q动”的概念不是微U分中的q箋性的q动Q而是瞬间发生的变化。比如这个时dA点，l过一?#8220;q动”Q一下子?#8220;跃迁”CB点，其中不需要经qA点与B点之间的M一个点。这L“q动”Q或者说“跃迁”Q是q反我们日常的经验的。不q了解一炚w子物理常识的人，׃立刻指出Q量子（例如电子Q在不同的能量轨道上蟩跃，是瞬间发生的，hq样一U跃q行为。所以说Q自然界中ƈ不是没有q种q动现象Q只不过宏观上我们观察不到。但是不怎么_“q动”q个词用在这里，q是Ҏ产生歧义的，说得更确切些Q应该是“跃迁”。因此这句话可以ҎQ?/font>
“矩阵是线性空间里跃迁的描q?#8221;?/font>
可是q样说又太物理，也就是说太具体，而不够数学，也就是说不够抽象。因此我们最后换用一个正牌的数学术语—?strong>变换Q来描述q个事情。这样一_大家应该明白了Q?font color=#ff0000>所谓变换，其实是I间里从一个点Q元?对象Q到另一个点Q元?对象Q的跃迁。比如说Q拓扑变换，是在拓扑空间里从一个点到另一个点的跃q。再比如_仿射变换Q就是在仿射I间里从一个点到另一个点的跃q。附带说一下，q个仿射I间跟向量空间是亲兄弟。做计算机图形学的朋友都知道Q尽描qC个三l对象只需要三l向量，但所有的计算机图形学变换矩阵都是4 x 4的。说其原因，很多书上都写着“Z使用中方?#8221;Q这在我看来直就是企图蒙淯兟뀂真正的原因Q是因ؓ在计机囑Ş学里应用的图形变换，实际上是在仿空间而不是向量空间中q行的。想想看Q在向量I间里相一个向量^行移动以后仍是相同的那个向量Q而现实世界等长的两个qU段当然不能被认为同一个东西，所以计机囑Ş学的生存I间实际上是仿射I间。而仿变换的矩阵表示Ҏ是4 x 4的。又扯远了，有兴的读者可以去看《计机囑Ş学——几何工L法详解》?/font>
一旦我们理解了“变换”q个概念Q矩늚定义变成：
“矩阵是线性空间里的变换的描述?#8221;
到这里ؓ止，我们l于得到了一个看上去比较数学的定义。不q还要多说几句。教材上一般是q么说的Q在一个线性空间V里的一个线性变换TQ当选定一l基之后Q就可以表示为矩c因此我们还要说清楚到底什么是U性变换，什么是基，什么叫选定一l基。线性变换的定义是很单的Q设有一U变换TQ得对于线性空间V中间M两个不相同的对象x和yQ以及Q意实数a和bQ有Q?br>T(ax + by) = aT(x) + bT(y)Q?br>那么qT为线性变换?/font>
定义都是q么写的Q但是光看定义还得不到直觉的理解。线性变换究竟是一U什么样的变换？我们刚才说了Q变换是从空间的一个点跃迁到另一个点Q而线性变换，是从一个线性空间V的某一个点跃迁到另一个线性空间W的另一个点的运动。这句话里蕴含着一层意思，是说一个点不仅可以变换到同一个线性空间中的另一个点Q而且可以变换到另一个线性空间中的另一个点厅R不你怎么变，只要变换前后都是U性空间中的对象，q个变换׃定是U性变换，也就一定可以用一个非奇异矩阵来描q。而你用一个非奇异矩阵Lq的一个变换，一定是一个线性变换。有的h可能要问Q这里ؓ什么要非奇异矩阵？所谓非奇异Q只Ҏ阉|意义Q那么非斚w的情冉|么Pq个说v来就会比较冗长了Q最后要把线性变换作ZU映，q且讨论其映性质Q以及线性变换的怸像等概念才能d讲清楚。我觉得q个不算是重点，如果实有时间的话，以后写一炏V?strong>以下我们只探讨最常用、最有用的一U变换，是在同一个线性空间之内的U性变换。也是_下面所说的矩阵Q不作说明的话，是斚wQ而且是非奇异斚w。学习一门学问，最重要的是把握d内容Q迅速徏立对于这门学问的整体概念Q不必一开始就考虑所有的l枝末节和特D情况，自ؕ阵脚?/strong>
接着往下说Q什么是基呢Q这个问题在后面q要大讲一番，q里只要把基看成是线性空间里的坐标系可以了?/font>注意是坐标系Q不是坐标|q两者可是一?#8220;对立矛盾l一?#8221;。这样一来，“选定一l基”是说在U性空间里选定一个坐标系。就q意思?/font>
好，最后我们把矩阵的定义完善如下：
“矩阵是线性空间中的线性变换的一个描q。在一个线性空间中Q只要我们选定一l基Q那么对于Q何一个线性变换，都能够用一个确定的矩阵来加以描q?#8221;
理解q句话的关键Q在于把“U性变?#8221;?#8220;U性变换的一个描q?#8221;区别开?/strong>一个是那个对象Q一个是寚w个对象的表述。就好像我们熟悉的面向对象编E中Q一个对象可以有多个引用Q每个引用可以叫不同的名字，但都是指的同一个对象。如果还不Ş象，那就q脆来个很俗的类比?/font>
比如有一头猪Q你打算l它拍照片，只要你给照相机选定了一个镜头位|，那么可以给q头猪拍一张照片。这个照片可以看成是q头猪的一个描qͼ但只是一个片面的的描qͼ因ؓ换一个镜头位|给q头猪拍照，能得C张不同的照片Q也是这头猪的另一个片面的描述。所有这L出来的照片都是这同一头猪的描qͼ但是又都不是q头猪本w?/font>
同样的，对于一个线性变换，只要你选定一l基Q那么就可以扑ֈ一个矩阉|描述q个U性变换。换一l基Q就得到一个不同的矩阵。所有这些矩阵都是这同一个线性变换的描述Q但又都不是U性变换本w?/strong>
但是q样的话Q问题就来了如果你给我两张猪的照片，我怎么知道q两张照片上的是同一头猪呢？同样的，你给我两个矩阵，我怎么知道q两个矩阉|描述的同一个线性变换呢Q如果是同一个线性变换的不同的矩阉|qͼ那就是本家兄弟了Q见面不认识Q岂不成了笑话?/font>
好在Q我们可以找到同一个线性变换的矩阵兄弟们的一个性质Q那是Q?/font>
若矩阵A与B是同一个线性变换的两个不同的描qͼ之所以会不同Q是因ؓ选定了不同的基，也就是选定了不同的坐标p）Q则一定能扑ֈ一个非奇异矩阵PQ得A、B之间满q样的关p：
A = P-1BP
U性代数稍微熟一点的读者一下就看出来，q就是相似矩늚定义。没错，所谓相似矩阵，是同一个线性变换的不同的描q矩c?/font>按照q个定义Q同一头猪的不同角度的照片也可以成为相似照片。俗了一点，不过能让人明白?/font>
而在上面式子里那个矩阵PQ其实就是A矩阵所Z的基与B矩阵所Z的基q两l基之间的一个变换关pR关于这个结论，可以用一U非常直觉的Ҏ来证明（而不是一般教U书上UŞ式上的证明）Q如果有旉的话Q我以后在blog里补充这个证明?/font>
q个发现太重要了?strong>原来一族相似矩阵都是同一个线性变换的描述啊！难怪这么重要！工科研究生课E中有矩阵论、矩阵分析等评Q其中讲了各U各L怼变换Q比如什么相似标准型Q对角化之类的内容，都要求变换以后得到的那个矩阵与先前的那个矩阵式相似的Qؓ什么这么要求？因ؓ只有q样要求Q才能保证变换前后的两个矩阵是描q同一个线性变换的。当Ӟ同一个线性变换的不同矩阵描述Q从实际q算性质来看q不是不分好环的。有些描q矩阵就比其他的矩阵性质好得多。这很容易理解，同一头猪的照片也有美丑之分嘛。所以矩늚怼变换可以把一个比较丑的矩阵变成一个比较美的矩阵，而保证这两个矩阵都是描述了同一个线性变换?/font>
q样一来，矩阵作ؓU性变换描q的一面，基本上说清楚了。但是，事情没有那么单，或者说Q线性代数还有比q更奇妙的性质Q那是Q?strong>矩阵不仅可以作ؓU性变换的描述Q而且可以作ؓ一l基的描q?/font>而作为变换的矩阵Q不但可以把U性空间中的一个点l变换到另一个点去，而且也能够把U性空间中的一个坐标系Q基Q表换到另一个坐标系Q基Q去。而且Q变换点与变换坐标系Q具有异曲同工的效果。线性代数里最有趣的奥妙，p含在其中。理解了q些内容Q线性代数里很多定理和规则会变得更加清晰、直觉?/font>

Code Knight 2010-02-23 21:06 发表评论
]]>复习下最基本的数学知?/title><link>http://www.shnenglu.com/winmain/archive/2009/12/08/102819.html</link><dc:creator>Code Knight</dc:creator><author>Code Knight</author><pubDate>Tue, 08 Dec 2009 14:28:00 GMT</pubDate><guid>http://www.shnenglu.com/winmain/archive/2009/12/08/102819.html</guid><wfw:comment>http://www.shnenglu.com/winmain/comments/102819.html</wfw:comment><comments>http://www.shnenglu.com/winmain/archive/2009/12/08/102819.html#Feedback</comments><slash:comments>0</slash:comments><wfw:commentRss>http://www.shnenglu.com/winmain/comments/commentRss/102819.html</wfw:commentRss><trackback:ping>http://www.shnenglu.com/winmain/services/trackbacks/102819.html</trackback:ping><description><![CDATA[<img alt="" src="http://www.shnenglu.com/images/cppblog_com/winmain/dot.jpg"><br> <img src ="http://www.shnenglu.com/winmain/aggbug/102819.html" width = "1" height = "1" /><br><br><div align=right><a style="text-decoration:none;" href="http://www.shnenglu.com/winmain/" target="_blank">Code Knight</a> 2009-12-08 22:28 <a href="http://www.shnenglu.com/winmain/archive/2009/12/08/102819.html#Feedback" target="_blank" style="text-decoration:none;">发表评论</a></div>]]></description></item></channel></rss> <footer> <div class="friendship-link"> <p>лǵվܻԴȤ</p> <a href="http://www.shnenglu.com/" title="精品视频久久久久">精品视频久久久久</a> <div class="friend-links"> </div> </div> </footer> <a href="http://www.8910wan.cn" target="_blank">91Ʒþþþþù۲</a>| <a href="http://www.yingyu3g.cn" target="_blank">þ91Ʒþ91ۺ</a>| <a href="http://www.lenglie.cn" target="_blank">þñۺϾþ</a>| <a href="http://www.ttyv.cn" target="_blank">ƷƵþþþ</a>| <a href="http://www.s9375.cn" target="_blank">þǿdŮվ</a>| <a href="http://www.symfony.net.cn" target="_blank">þ˽˹Ʒ</a>| <a href="http://www.hnjsy.com.cn" target="_blank">Ӱһþҹײ </a>| <a href="http://www.kanqiuwang.cn" target="_blank">һAëƬѹۿþþƷ</a>| <a href="http://www.lshwn.cn" target="_blank">ۺϾþĻӰ</a>| <a href="http://www.seasa.cn" target="_blank">99þó18վ</a>| <a href="http://www.pcsaver.cn" target="_blank">޵һAVվþþƷ˵AV</a>| <a href="http://www.woweikeji.cn" target="_blank">޹Ʒ۲ӰԺþ</a>| <a href="http://www.qcqxzx.cn" target="_blank">ҹþþӰԺ</a>| <a href="http://www.xiangyuesiji.cn" target="_blank">ձɫվWWWþ</a>| <a href="http://www.yc9z.com.cn" target="_blank">þþƷþý </a>| <a href="http://www.xeqw.cn" target="_blank">99þþþþѿ</a>| <a href="http://www.dgchengxin.cn" target="_blank">þþƷAVһ </a>| <a href="http://www.ilebo.cn" target="_blank">ɫþþþþۺ</a>| <a href="http://www.weixinqun688.cn" target="_blank">ƷþóӰԺ</a>| <a href="http://www.uuu9com.cn" target="_blank">ɫþþۺƷ</a>| <a href="http://www.bao00long.cn" target="_blank">72ŷþþþôƽ</a>| <a href="http://www.ryzd.com.cn" target="_blank">þAV뾫Ʒ</a>| <a href="http://www.650qq.cn" target="_blank">Ӱһþҹײ </a>| <a href="http://www.mfsdrj.com.cn" target="_blank">99þˬ޾ƷŮ</a>| <a href="http://www.cadcamcae.com.cn" target="_blank">ݺɫþþۺ</a>| <a href="http://www.taphha.cn" target="_blank">ŷɫۺϾþþþþ</a>| <a href="http://www.17art.com.cn" target="_blank">Ʒþþþþø</a>| <a href="http://www.bvvnm.com.cn" target="_blank">ľƷþþþ</a>| <a href="http://www.ggg13.cn" target="_blank">þþþƷþþþþ</a>| <a href="http://www.s88w.cn" target="_blank">þþþĻɫ</a>| <a href="http://www.sfttc.cn" target="_blank">պ뾫Ʒþþò</a>| <a href="http://www.animin.cn" target="_blank">aaþʦ2021Ʒ </a>| <a href="http://www.shawcai.cn" target="_blank">ȾþùŷһƷ</a>| <a href="http://www.robuts.com.cn" target="_blank">㽶þþƷ</a>| <a href="http://www.kovnxs.cn" target="_blank">99þþƷѿһ </a>| <a href="http://www.ybwsf.cn" target="_blank">ҹƷþþþþž</a>| <a href="http://www.6ccccc.cn" target="_blank">91ƷۺϾþ</a>| <a href="http://www.yczu.cn" target="_blank">þˬˬ</a>| <a href="http://www.renliu123.cn" target="_blank">ݺݺݾþ</a>| <a href="http://www.qian-mi.cn" target="_blank">ŷ츾þþþþò </a>| <a href="http://www.d4rk7r4c3r.cn" target="_blank">99þþƷѿһ </a>| <script> (function(){ var bp = document.createElement('script'); var curProtocol = window.location.protocol.split(':')[0]; if (curProtocol === 'https') { bp.src = 'https://zz.bdstatic.com/linksubmit/push.js'; } else { bp.src = 'http://push.zhanzhang.baidu.com/push.js'; } var s = document.getElementsByTagName("script")[0]; s.parentNode.insertBefore(bp, s); })(); </script> </body>