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今天要講的是三維變換的內容，課程比較枯燥。主要是因為很多函數在單獨使用時都不好描述其效果，我只好在最后舉一個比較綜合的例子。希望大家能一口氣看到底了。只看一次可能不夠，如果感覺到迷糊，不妨多看兩遍。有疑問可以在下面跟帖提出。
我也使用了若干圖形，希望可以幫助理解。
在前面繪制幾何圖形的時候，大家是否覺得我們繪圖的范圍太狹隘了呢？坐標只能從-1到1，還只能是X軸向右，Y軸向上，Z軸垂直屏幕。這些限制給我們的繪圖帶來了很多不便。
我們生活在一個三維的世界——如果要觀察一個物體，我們可以：
1、從不同的位置去觀察它。（視圖變換）
2、移動或者旋轉它，當然了，如果它只是計算機里面的物體，我們還可以放大或縮小它。（模型變換）
3、如果把物體畫下來，我們可以選擇：是否需要一種“近大遠小”的透視效果。另外，我們可能只希望看到物體的一部分，而不是全部（剪裁）。（投影變換）
4、我們可能希望把整個看到的圖形畫下來，但它只占據紙張的一部分，而不是全部。（視口變換）
這些，都可以在OpenGL中實現。
OpenGL變換實際上是通過矩陣乘法來實現。無論是移動、旋轉還是縮放大小，都是通過在當前矩陣的基礎上乘以一個新的矩陣來達到目的。關于矩陣的知識，這里不詳細介紹，有興趣的朋友可以看看線性代數（大學生的話多半應該學過的）。
OpenGL可以在最底層直接操作矩陣，不過作為初學，這樣做的意義并不大。這里就不做介紹了。
1、模型變換和視圖變換
從“相對移動”的觀點來看，改變觀察點的位置與方向和改變物體本身的位置與方向具有等效性。在OpenGL中，實現這兩種功能甚至使用的是同樣的函數。
由于模型和視圖的變換都通過矩陣運算來實現，在進行變換前，應先設置當前操作的矩陣為“模型視圖矩陣”。設置的方法是以GL_MODELVIEW為參數調用glMatrixMode函數，像這樣：
glMatrixMode(GL_MODELVIEW);
通常，我們需要在進行變換前把當前矩陣設置為單位矩陣。這也只需要一行代碼：
glLoadIdentity();
然后，就可以進行模型變換和視圖變換了。進行模型和視圖變換，主要涉及到三個函數：
glTranslate*，把當前矩陣和一個表示移動物體的矩陣相乘。三個參數分別表示了在三個坐標上的位移值。
glRotate*，把當前矩陣和一個表示旋轉物體的矩陣相乘。物體將繞著(0,0,0)到(x,y,z)的直線以逆時針旋轉，參數angle表示旋轉的角度。
glScale*，把當前矩陣和一個表示縮放物體的矩陣相乘。x,y,z分別表示在該方向上的縮放比例。
注意我都是說“與XX相乘”，而不是直接說“這個函數就是旋轉”或者“這個函數就是移動”，這是有原因的，馬上就會講到。
假設當前矩陣為單位矩陣，然后先乘以一個表示旋轉的矩陣R，再乘以一個表示移動的矩陣T，最后得到的矩陣再乘上每一個頂點的坐標矩陣v。所以，經過變換得到的頂點坐標就是((RT)v)。由于矩陣乘法的結合率，((RT)v) = (R(Tv))，換句話說，實際上是先進行移動，然后進行旋轉。即：實際變換的順序與代碼中寫的順序是相反的。由于“先移動后旋轉”和“先旋轉后移動”得到的結果很可能不同，初學的時候需要特別注意這一點。
OpenGL之所以這樣設計，是為了得到更高的效率。但在繪制復雜的三維圖形時，如果每次都去考慮如何把變換倒過來，也是很痛苦的事情。這里介紹另一種思路，可以讓代碼看起來更自然（寫出的代碼其實完全一樣，只是考慮問題時用的方法不同了）。
讓我們想象，坐標并不是固定不變的。旋轉的時候，坐標系統隨著物體旋轉。移動的時候，坐標系統隨著物體移動。如此一來，就不需要考慮代碼的順序反轉的問題了。
以上都是針對改變物體的位置和方向來介紹的。如果要改變觀察點的位置，除了配合使用glRotate*和glTranslate*函數以外，還可以使用這個函數：gluLookAt。它的參數比較多，前三個參數表示了觀察點的位置，中間三個參數表示了觀察目標的位置，最后三個參數代表從(0,0,0)到 (x,y,z)的直線，它表示了觀察者認為的“上”方向。
2、投影變換
投影變換就是定義一個可視空間，可視空間以外的物體不會被繪制到屏幕上。（注意，從現在起，坐標可以不再是-1.0到1.0了！）
OpenGL支持兩種類型的投影變換，即透視投影和正投影。投影也是使用矩陣來實現的。如果需要操作投影矩陣，需要以GL_PROJECTION為參數調用glMatrixMode函數。
glMatrixMode(GL_PROJECTION);
通常，我們需要在進行變換前把當前矩陣設置為單位矩陣。
glLoadIdentity();
透視投影所產生的結果類似于照片，有近大遠小的效果，比如在火車頭內向前照一個鐵軌的照片，兩條鐵軌似乎在遠處相交了。
使用glFrustum函數可以將當前的可視空間設置為透視投影空間。其參數的意義如下圖：
聲明：該圖片來自www.opengl.org，該圖片是《OpenGL編程指南》一書的附圖，由于該書的舊版（第一版，1994年）已經流傳于網絡，我希望沒有觸及到版權問題。
也可以使用更常用的gluPerspective函數。其參數的意義如下圖：
聲明：該圖片來自www.opengl.org，該圖片是《OpenGL編程指南》一書的附圖，由于該書的舊版（第一版，1994年）已經流傳于網絡，我希望沒有觸及到版權問題。
正投影相當于在無限遠處觀察得到的結果，它只是一種理想狀態。但對于計算機來說，使用正投影有可能獲得更好的運行速度。
使用glOrtho函數可以將當前的可視空間設置為正投影空間。其參數的意義如下圖：
聲明：該圖片來自www.opengl.org，該圖片是《OpenGL編程指南》一書的附圖，由于該書的舊版（第一版，1994年）已經流傳于網絡，我希望沒有觸及到版權問題。
如果繪制的圖形空間本身就是二維的，可以使用gluOrtho2D。他的使用類似于glOrgho。
3、視口變換
當一切工作已經就緒，只需要把像素繪制到屏幕上了。這時候還剩最后一個問題：應該把像素繪制到窗口的哪個區域呢？通常情況下，默認是完整的填充整個窗口，但我們完全可以只填充一半。（即：把整個圖象填充到一半的窗口內）
聲明：該圖片來自www.opengl.org，該圖片是《OpenGL編程指南》一書的附圖，由于該書的舊版（第一版，1994年）已經流傳于網絡，我希望沒有觸及到版權問題。
使用glViewport來定義視口。其中前兩個參數定義了視口的左下腳（0,0表示最左下方），后兩個參數分別是寬度和高度。
4、操作矩陣堆棧
介于是入門教程，先簡單介紹一下堆棧。你可以把堆棧想象成一疊盤子。開始的時候一個盤子也沒有，你可以一個一個往上放，也可以一個一個取下來。每次取下的，都是最后一次被放上去的盤子。通常，在計算機實現堆棧時，堆棧的容量是有限的，如果盤子過多，就會出錯。當然，如果沒有盤子了，再要求取一個盤子，也會出錯。
我們在進行矩陣操作時，有可能需要先保存某個矩陣，過一段時間再恢復它。當我們需要保存時，調用glPushMatrix函數，它相當于把矩陣（相當于盤子）放到堆棧上。當需要恢復最近一次的保存時，調用glPopMatrix函數，它相當于把矩陣從堆棧上取下。OpenGL規定堆棧的容量至少可以容納32個矩陣，某些OpenGL實現中，堆棧的容量實際上超過了32個。因此不必過于擔心矩陣的容量問題。
通常，用這種先保存后恢復的措施，比先變換再逆變換要更方便，更快速。
注意：模型視圖矩陣和投影矩陣都有相應的堆棧。使用glMatrixMode來指定當前操作的究竟是模型視圖矩陣還是投影矩陣。
5、綜合舉例
好了，視圖變換的入門知識差不多就講完了。但我們不能就這樣結束。因為本次課程的內容實在過于枯燥，如果分別舉例，可能效果不佳。我只好綜合的講一個例子，算是給大家一個參考。至于實際的掌握，還要靠大家自己花功夫。閑話少說，現在進入正題。
我們要制作的是一個三維場景，包括了太陽、地球和月亮。假定一年有12個月，每個月30天。每年，地球繞著太陽轉一圈。每個月，月亮圍著地球轉一圈。即一年有360天。現在給出日期的編號（0~359），要求繪制出太陽、地球、月亮的相對位置示意圖。（這是為了編程方便才這樣設計的。如果需要制作更現實的情況，那也只是一些數值處理而已，與OpenGL關系不大）
首先，讓我們認定這三個天體都是球形，且他們的運動軌跡處于同一水平面，建立以下坐標系：太陽的中心為原點，天體軌跡所在的平面表示了X軸與Y軸決定的平面，且每年第一天，地球在X軸正方向上，月亮在地球的正X軸方向。
下一步是確立可視空間。注意：太陽的半徑要比太陽到地球的距離短得多。如果我們直接使用天文觀測得到的長度比例，則當整個窗口表示地球軌道大小時，太陽的大小將被忽略。因此，我們只能成倍的放大幾個天體的半徑，以適應我們觀察的需要。（百度一下，得到太陽、地球、月亮的大致半徑分別是：696000km， 6378km，1738km。地球到太陽的距離約為1.5億km=150000000km，月亮到地球的距離約為380000km。）
讓我們假想一些數據，將三個天體的半徑分別“修改”為：69600000（放大100倍），15945000（放大2500倍），4345000（放大5000倍）。將地球到月亮的距離“修改”為38000000（放大100倍）。地球到太陽的距離保持不變。
為了讓地球和月亮在離我們很近時，我們仍然不需要變換觀察點和觀察方向就可以觀察它們，我們把觀察點放在這個位置：(0, -200000000, 0) ——因為地球軌道半徑為150000000，咱們就湊個整，取-200000000就可以了。觀察目標設置為原點（即太陽中心），選擇Z軸正方向作為 “上”方。當然我們還可以把觀察點往“上”方移動一些，得到(0, -200000000, 200000000)，這樣可以得到45度角的俯視效果。
為了得到透視效果，我們使用gluPerspective來設置可視空間。假定可視角為60度（如果調試時發現該角度不合適，可修改之。我在最后選擇的數值是75。），高寬比為1.0。最近可視距離為1.0，最遠可視距離為200000000*2=400000000。即：gluPerspective (60, 1, 1, 400000000);
5、綜合舉例
好了，視圖變換的入門知識差不多就講完了。但我們不能就這樣結束。因為本次課程的內容實在過于枯燥，如果分別舉例，可能效果不佳。我只好綜合的講一個例子，算是給大家一個參考。至于實際的掌握，還要靠大家自己花功夫。閑話少說，現在進入正題。
我們要制作的是一個三維場景，包括了太陽、地球和月亮。假定一年有12個月，每個月30天。每年，地球繞著太陽轉一圈。每個月，月亮圍著地球轉一圈。即一年有360天。現在給出日期的編號（0~359），要求繪制出太陽、地球、月亮的相對位置示意圖。（這是為了編程方便才這樣設計的。如果需要制作更現實的情況，那也只是一些數值處理而已，與OpenGL關系不大）
首先，讓我們認定這三個天體都是球形，且他們的運動軌跡處于同一水平面，建立以下坐標系：太陽的中心為原點，天體軌跡所在的平面表示了X軸與Y軸決定的平面，且每年第一天，地球在X軸正方向上，月亮在地球的正X軸方向。
下一步是確立可視空間。注意：太陽的半徑要比太陽到地球的距離短得多。如果我們直接使用天文觀測得到的長度比例，則當整個窗口表示地球軌道大小時，太陽的大小將被忽略。因此，我們只能成倍的放大幾個天體的半徑，以適應我們觀察的需要。（百度一下，得到太陽、地球、月亮的大致半徑分別是：696000km， 6378km，1738km。地球到太陽的距離約為1.5億km=150000000km，月亮到地球的距離約為380000km。）
讓我們假想一些數據，將三個天體的半徑分別“修改”為：69600000（放大100倍），15945000（放大2500倍），4345000（放大2500倍）。將地球到月亮的距離“修改”為38000000（放大100倍）。地球到太陽的距離保持不變。
為了讓地球和月亮在離我們很近時，我們仍然不需要變換觀察點和觀察方向就可以觀察它們，我們把觀察點放在這個位置：(0, -200000000, 0) ——因為地球軌道半徑為150000000，咱們就湊個整，取-200000000就可以了。觀察目標設置為原點（即太陽中心），選擇Z軸正方向作為 “上”方。當然我們還可以把觀察點往“上”方移動一些，得到(0, -200000000, 200000000)，這樣可以得到45度角的俯視效果。
為了得到透視效果，我們使用gluPerspective來設置可視空間。假定可視角為60度（如果調試時發現該角度不合適，可修改之。我在最后選擇的數值是75。），高寬比為1.0。最近可視距離為1.0，最遠可視距離為200000000*2=400000000。即：gluPerspective (60, 1, 1, 400000000);
現在我們來看看如何繪制這三個天體。
為了簡單起見，我們把三個天體都想象成規則的球體。而我們所使用的glut實用工具中，正好就有一個繪制球體的現成函數：glutSolidSphere，這個函數在“原點”繪制出一個球體。由于坐標是可以通過glTranslate*和glRotate*兩個函數進行隨意變換的，所以我們就可以在任意位置繪制球體了。函數有三個參數：第一個參數表示球體的半徑，后兩個參數代表了“面”的數目，簡單點說就是球體的精確程度，數值越大越精確，當然代價就是速度越緩慢。這里我們只是簡單的設置后兩個參數為20。
太陽在坐標原點，所以不需要經過任何變換，直接繪制就可以了。
地球則要復雜一點，需要變換坐標。由于今年已經經過的天數已知為day，則地球轉過的角度為day/一年的天數*360度。前面已經假定每年都是360天，因此地球轉過的角度恰好為day。所以可以通過下面的代碼來解決：
glRotatef(day, 0, 0, -1);
/* 注意地球公轉是“自西向東”的，因此是饒著Z軸負方向進行逆時針旋轉 */
glTranslatef(地球軌道半徑, 0, 0);
glutSolidSphere(地球半徑, 20, 20);
月亮是最復雜的。因為它不僅要繞地球轉，還要隨著地球繞太陽轉。但如果我們選擇地球作為參考，則月亮進行的運動就是一個簡單的圓周運動了。如果我們先繪制地球，再繪制月亮，則只需要進行與地球類似的變換：
glRotatef(月亮旋轉的角度, 0, 0, -1);
glTranslatef(月亮軌道半徑, 0, 0);
glutSolidSphere(月亮半徑, 20, 20);
但這個“月亮旋轉的角度”，并不能簡單的理解為day/一個月的天數30*360度。因為我們在繪制地球時，這個坐標已經是旋轉過的。現在的旋轉是在以前的基礎上進行旋轉，因此還需要處理這個“差值”。我們可以寫成：day/30*360 - day，即減去原來已經轉過的角度。這只是一種簡單的處理，當然也可以在繪制地球前用glPushMatrix保存矩陣，繪制地球后用glPopMatrix恢復矩陣。再設計一個跟地球位置無關的月亮位置公式，來繪制月亮。通常后一種方法比前一種要好，因為浮點的運算是不精確的，即是說我們計算地球本身的位置就是不精確的。拿這個不精確的數去計算月亮的位置，會導致 “不精確”的成分累積，過多的“不精確”會造成錯誤。我們這個小程序沒有去考慮這個，但并不是說這個問題不重要。
還有一個需要注意的細節： OpenGL把三維坐標中的物體繪制到二維屏幕，繪制的順序是按照代碼的順序來進行的。因此后繪制的物體會遮住先繪制的物體，即使后繪制的物體在先繪制的物體的“后面”也是如此。使用深度測試可以解決這一問題。使用的方法是：1、以GL_DEPTH_TEST為參數調用glEnable函數，啟動深度測試。2、在必要時（通常是每次繪制畫面開始時），清空深度緩沖，即：glClear(GL_DEPTH_BUFFER_BIT);其中，glClear (GL_COLOR_BUFFER_BIT)與glClear(GL_DEPTH_BUFFER_BIT)可以合并寫為：
glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT | GL_DEPTH_BUFFER_BIT);
且后者的運行速度可能比前者快。
到此為止，我們終于可以得到整個“太陽，地球和月亮”系統的完整代碼。
Code:
--------------------------------------------------------------------------------
// 太陽、地球和月亮
// 假設每個月都是30天
// 一年12個月，共是360天
static int day = 200; // day的變化：從0到359
void myDisplay(void)
{
glEnable(GL_DEPTH_TEST);
glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT | GL_DEPTH_BUFFER_BIT);
glMatrixMode(GL_PROJECTION);
glLoadIdentity();
gluPerspective(75, 1, 1, 400000000);
glMatrixMode(GL_MODELVIEW);
glLoadIdentity();
gluLookAt(0, -200000000, 200000000, 0, 0, 0, 0, 0, 1);
// 繪制紅色的“太陽”
glColor3f(1.0f, 0.0f, 0.0f);
glutSolidSphere(69600000, 20, 20);
// 繪制藍色的“地球”
glColor3f(0.0f, 0.0f, 1.0f);
glRotatef(day/360.0*360.0, 0.0f, 0.0f, -1.0f);
glTranslatef(150000000, 0.0f, 0.0f);
glutSolidSphere(15945000, 20, 20);
// 繪制黃色的“月亮”
glColor3f(1.0f, 1.0f, 0.0f);
glRotatef(day/30.0*360.0 - day/360.0*360.0, 0.0f, 0.0f, -1.0f);
glTranslatef(38000000, 0.0f, 0.0f);
glutSolidSphere(4345000, 20, 20);
glFlush();
}
--------------------------------------------------------------------------------
試修改day的值，看看畫面有何變化。
小結：本課開始，我們正式進入了三維的OpenGL世界。
OpenGL通過矩陣變換來把三維物體轉變為二維圖象，進而在屏幕上顯示出來。為了指定當前操作的是何種矩陣，我們使用了函數glMatrixMode。
我們可以移動、旋轉觀察點或者移動、旋轉物體，使用的函數是glTranslate*和glRotate*。
我們可以縮放物體，使用的函數是glScale*。
我們可以定義可視空間，這個空間可以是“正投影”的（使用glOrtho或gluOrtho2D），也可以是“透視投影”的（使用glFrustum或gluPerspective）。
我們可以定義繪制到窗口的范圍，使用的函數是glViewport。
矩陣有自己的“堆棧”，方便進行保存和恢復。這在繪制復雜圖形時很有幫助。使用的函數是glPushMatrix和glPopMatrix。
好了，艱苦的一課終于完畢。我知道，本課的內容十分枯燥，就連最后的例子也是。但我也沒有更好的辦法了，希望大家能堅持過去。不必擔心，熟悉本課內容后，以后的一段時間內，都會是比較輕松愉快的了。
===================== 第五課 完 =====================
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