真的是好東西~
(I). POJ 2480 Longge's problem (http://poj.org/problem?id=2480)

題目大意: 求 sigma(gcd(i, n)), 1 ≤ i ≤ n.

考慮到枚舉 i 可能會超時, 我們可以反過來枚舉 d | n, 那么答案就是 sigma(d * phi(n / d)).

(II). SPOJ LCMSUM (https://www.spoj.pl/problems/LCMSUM/)

題目大意: 求 sigma(lcm(i, n)), 1 ≤ i ≤ n.

sigma(lcm(i, n)) = n * sigma(i / gcd(i, n)). 同上題一樣, 枚舉 d | n, 問題轉化為求 sigma(i), gcd(i, n / d) == 1. 可以發現如果 i 與 n 互質, 那么 n – i與 n 也互質. 將互質的數兩兩配對后答案就是 n / d * phi(n / d) / 2.

(III). SPOJ GCDEX (https://www.spoj.pl/problems/GCDEX/)

題目大意: 求 sigma(gcd(i, j)), 1 ≤ i < j ≤ n.

枚舉 j 后轉化為 (I).

(IV). POI Zap (http://www.zybbs.org/JudgeOnline/problem.php?id=1101)

題目大意: 求有多少對 gcd(i, j) == d (i ≤ a, j ≤ b).

令 a’ = a / d, b’ = b / d, 問題等價于求滿足 gcd(i, j) == 1的數量 (i ≤ a’, j ≤ b’).

定義 F(k) 為 gcd(i, j) ≥ k 的數量, G(k) 為 gcd(i, j) == k 的數量.

那么F(k) = (a’ / k) * (b’ / k)

根據容斥原理有G(1) = F(1) – F(2) – F(3) - F(5) + F(6) …

系數可以用篩法預處理, 同時觀察到對于連續的一段 k, F(k) 都是相同的,可以一起算出來. 通過預處理系數的前綴和可以在 O(sqrt(n)) 的時間算出 G(1).

(V). SPOJ PGCD (https://www.spoj.pl/problems/PGCD/)

題目大意: 求有多少 gcd(i, j) 是質數, 1 ≤ i ≤ a, 1 ≤ j ≤ b.

枚舉質數 P 后轉化為 (IV).

(VI). NOI 2010 能量采集 (http://www.zybbs.org/JudgeOnline/problem.php?id=2005)

題目大意: 求 sigma(gcd(i, j)), i ≤ a, j ≤ b.

Sol 1.

令 F[k] 為滿足 gcd(i, j) == k 的數量.

那么F[k] = (a / k) * (b / k) – F[2k] – F[3k] – F[4k] …

答案就是 sigma(i * F[i]).

時間復雜度 O(n / 1 + n / 2 + n / 3 + …) = O(nlogn).

Sol 2.

枚舉 d = gcd(i, j), a’ = a / d, b’ = b / d, 那么問題轉化為求滿足 gcd(i, j) == 1(i ≤ a, j ≤ b) 的數量, 也就轉化為 (IV), 將這個數量記為 F(a, b).

同時注意到對于一段連續的d, F(a’, b’) 都是一樣的, 可以一起算出來.

時間復雜度 O(sqrt(n) * sqrt(n)) = O(n).

(VII). Crash 的數字表格 (http://www.zybbs.org/JudgeOnline/problem.php?id=2154)

題目大意: 求 sigma(lcm(i, j)) (i ≤ a, j ≤ b).

sigma(lcm(i, j)) = sigma(i * j / gcd(i, j))

枚舉 d = gcd(i, j), 我們只需要對于所有相同的 d, 計算出 sigma(i * j).

令 a’ = a / d, b’ = b / d, 那么問題轉化為求 F(a’, b’) = sigma(i * j) (gcd(i, j) == 1, i ≤ a’, j ≤ b’).

令 Sum(a, b) = 1 * 1 + 1 * 2 + … + a * b, 由等差數列的求和公式可得:

Sum(a, b) = a * (a + 1) * b * (b + 1) / 4.

根據容斥原理有F(a, b) =1² * Sum(a / 1, b / 1) - 2² * Sum(a / 2, b / 2) - 3² * Sum(a / 3, b / 3) - 5² * Sum(a / 5, b / 5) + 6² * Sum(a / 6, b / 6)..

注意到對于一段連續的 i, Sum(a / i, b / i) 是相同的, Sum 的系數也可以通過篩法預處理出來.

最后, 對于一段連續的 d, F(a’, b’) 也是相同的, 可以一起算出來.

時間復雜度 O(sqrt(n) * sqrt(n)) = O(n).

擴展閱讀

線性篩法: http://www.shnenglu.com/sdfond/archive/2009/03/16/76775.html

四道Gcd統計問題: http://hi.baidu.com/廣陵lonely散/blog/item/6b00f8de2ca366b7cd11669e.html