邏輯是探索、闡述和確立有效推理原則的學科，最早由古希臘學者亞里士多德創(chuàng)建的。用數(shù)學的方法研究關(guān)于推理、證明等問題的學科就叫做數(shù)理邏輯。也叫做符號邏輯。
數(shù)理邏輯的產(chǎn)生
利用計算的方法來代替人們思維中的邏輯推理過程，這種想法早在十七世紀就有人提出過。萊布尼茨 就曾經(jīng)設(shè)想過能不能創(chuàng)造一種“通用的科學語言”，可以把推理過程象數(shù)學一樣利用公式來進行計算，從而得出正確的結(jié)論。由于當時的社會條件，他的想法并沒有 實現(xiàn)。但是它的思想?yún)s是現(xiàn)代數(shù)理邏輯部分內(nèi)容的萌芽，從這個意義上講，萊布尼茨的思想可以說是數(shù)理邏輯的先驅(qū)。
1847年，英國數(shù)學家布爾發(fā)表了《邏輯的數(shù)學分析》，建立了“布爾代數(shù)”，并創(chuàng)造一套符號系統(tǒng)，利用符號來表示邏輯中的各種概念。布爾建立了一系列的運算法則，利用代數(shù)的方法研究邏輯問題，初步奠定了數(shù)理邏輯的基礎(chǔ)。
十九世紀末二十世紀初，數(shù)理邏輯有了比較大的發(fā)展，1884年，德國數(shù)學家弗雷格出版了《數(shù)論 的基礎(chǔ)》一書，在書中引入量詞的符號，使得數(shù)理邏輯的符號系統(tǒng)更加完備。對建立這門學科做出貢獻的，還有美國人皮爾斯，他也在著作中引入了邏輯符號。從而 使現(xiàn)代數(shù)理邏輯最基本的理論基礎(chǔ)逐步形成，成為一門獨立的學科。
數(shù)理邏輯的內(nèi)容
數(shù)理邏輯包括哪些內(nèi)容呢？這里我們先介紹它的兩個最基本的也是最重要的組成部分，就是“命題演算”和“謂詞演算”。
命題演算是研究關(guān)于命題如何通過一些邏輯連接詞構(gòu)成更復(fù)雜的命題以及邏輯推理的方法。命題是指具有具體意義的又能判斷它是真還是假的句子。
如果我們把命題看作運算的對象，如同代數(shù)中的數(shù)字、字母或代數(shù)式，而把邏輯連接詞看作運算符號，就象代數(shù)中的“加、減、乘、除”那樣，那么由簡單命題組成復(fù)和命題的過程，就可以當作邏輯運算的過程，也就是命題的演算。
這樣的邏輯運算也同代數(shù)運算一樣具有一定的性質(zhì)，滿足一定的運算規(guī)律。例如滿足交換律、結(jié)合 律、分配律，同時也滿足邏輯上的同一律、吸收律、雙否定律、狄摩根定律、三段論定律等等。利用這些定律，我們可以進行邏輯推理，可以簡化復(fù)和命題，可以推 證兩個復(fù)合命題是不是等價，也就是它們的真值表是不是完全相同等等。
命題演算的一個具體模型就是邏輯代數(shù)。邏輯代數(shù)也叫做開關(guān)代數(shù)，它的基本運算是邏輯加、邏輯乘和邏輯費，也就是命題演算中的“或”、“與”、“非”，運算對象只有兩個數(shù) 0和 1，相當于命題演算中的“真”和“假”。
邏輯代數(shù)的運算特點如同電路分析中的開和關(guān)、高電位和低電位、導電和截至等現(xiàn)象完全一樣，都只有兩種不同的狀態(tài)，因此，它在電路分析中得到廣泛的應(yīng)用。
利用電子元件可以組成相當于邏輯加、邏輯成和邏輯非的門電路，就是邏輯元件。還能把簡單的邏輯元件組成各種邏輯網(wǎng)絡(luò)，這樣任何復(fù)雜的邏輯關(guān)系都可以有邏輯元件經(jīng)過適當?shù)慕M合來實現(xiàn)，從而使電子元件具有邏輯判斷的功能。因此，在自動控制方面有重要的應(yīng)用。
謂詞演算也叫做命題涵項演算。在謂詞演算里，把命題的內(nèi)部結(jié)構(gòu)分析成具有主詞和謂詞的邏輯形式，由命題涵項、邏輯連接詞和量詞構(gòu)成命題，然后研究這樣的命題之間的邏輯推理關(guān)系。
命題涵項就是指除了含有常項以外還含有變項的邏輯公式。常項是指一些確定的對象或者確定的屬性 和關(guān)系；變項是指一定范圍內(nèi)的任何一個，這個范圍叫做變項的變域。命題涵項和命題演算不同，它無所謂真和假。如果以一定的對象概念代替變項，那么命題涵項 就成為真的或假的命題了。
命題涵項加上全程量詞或者存在量詞，那么它就成為全稱命題或者特稱命題了。
數(shù)理邏輯的發(fā)展
數(shù)理邏輯這門學科建立以后，發(fā)展比較迅速，促進它發(fā)展的因素也是多方面的。比如，非歐幾何的建立，促進人們?nèi)パ芯糠菤W幾何和歐氏幾何的無矛盾性，就促進了數(shù)理邏輯的發(fā)展。
集合論的產(chǎn)生是近代數(shù)學發(fā)展的重大事件，但是在集合論的研究過程中，出現(xiàn)了一次稱作數(shù)學史上的第三次大危機。這次危機是由于發(fā)現(xiàn)了集合論的悖論引起。什么是悖論呢？悖論就是邏輯矛盾。集合論本來是論證很嚴格的一個分支，被公認為是數(shù)學的基礎(chǔ)。
1903年，英國唯心主義哲學家、邏輯學家、數(shù)學家羅素卻對集合論提出了以他名字命名的“羅素悖論”，這個悖論的提出幾乎動搖了整個數(shù)學基礎(chǔ)。
羅素悖論中有許多例子，其中一個很通俗也很有名的例子就是“理發(fā)師悖論”：某鄉(xiāng)村有一位理發(fā) 師，有一天他宣布：只給不自己刮胡子的人刮胡子。那么就產(chǎn)生了一個問題：理發(fā)師究竟給不給自己刮胡子？如果他給自己刮胡子，他就是自己刮胡子的人，按照他 的原則，他又不該給自己刮胡子；如果他不給自己刮胡子，那么他就是不自己刮胡子的人，按照他的原則，他又應(yīng)該給自己刮胡子。這就產(chǎn)生了矛盾。
悖論的提出，促使許多數(shù)學家去研究集合論的無矛盾性問題，從而產(chǎn)生了數(shù)理邏輯的一個重要分支—公理集合論。
非歐幾何的產(chǎn)生和集合論的悖論的發(fā)現(xiàn)，說明數(shù)學本身還存在許多問題，為了研究數(shù)學系統(tǒng)的無矛盾性問題，需要以數(shù)學理論體系的概念、命題、證明等作為研究對象，研究數(shù)學系統(tǒng)的邏輯結(jié)構(gòu)和證明的規(guī)律，這樣又產(chǎn)生了數(shù)理邏輯的另一個分支—證明論。
數(shù)理邏輯新近還發(fā)展了許多新的分支，如遞歸論、模型論等。第歸論主要研究可計算性的理論，他和計算機的發(fā)展和應(yīng)用有密切的關(guān)系。模型論主要是研究形式系統(tǒng)和數(shù)學模型之間的關(guān)系。
數(shù)理邏輯近年來發(fā)展特別迅速，主要原因是這門學科對于數(shù)學其它分支如集合論、數(shù)論、代數(shù)、拓撲學等的發(fā)展有重大的影響，特別是對新近形成的計算機科學的發(fā)展起了推動作用。反過來，其他學科的發(fā)展也推動了數(shù)理邏輯的發(fā)展。
正因為它是以門新近興起而又發(fā)展很快的學科，所以它本身也存在許多問題有待于深入研究。現(xiàn)在許多數(shù)學家正針對數(shù)理邏輯本身的問題，進行研究解決。
總之，這門學科的重要性已經(jīng)十分明顯，他已經(jīng)引起了更多人的關(guān)心和重視。