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轉(zhuǎn)自：http://blog.csdn.net/yangliuy/article/details/7316496
SVM入門（一）至（三）Refresh

按:之前的文章重新匯編一下,修改了一些錯(cuò)誤和不當(dāng)?shù)恼f法，一起復(fù)習(xí),然后繼續(xù)SVM之旅.

（一）SVM的簡介

支持向量機(jī)(Support Vector Machine)是Cortes和Vapnik于1995年首先提出的，它在解決小樣本、非線性及高維模式識(shí)別中表現(xiàn)出許多特有的優(yōu)勢，并能夠推廣應(yīng)用到函數(shù)擬合等其他機(jī)器學(xué)習(xí)問題中[10]。 
支持向量機(jī)方法是建立在統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)理論的VC 維理論和結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小原理基礎(chǔ)上的，根據(jù)有限的樣本信息在模型的復(fù)雜性（即對(duì)特定訓(xùn)練樣本的學(xué)習(xí)精度，Accuracy）和學(xué)習(xí)能力（即無錯(cuò)誤地識(shí)別任意樣本的能力）之間尋求最佳折衷，以期獲得最好的推廣能力[14]（或稱泛化能力）。

以上是經(jīng)常被有關(guān)SVM 的學(xué)術(shù)文獻(xiàn)引用的介紹，我來逐一分解并解釋一下。

Vapnik是統(tǒng)計(jì)機(jī)器學(xué)習(xí)的大牛，這想必都不用說，他出版的《Statistical Learning Theory》是一本完整闡述統(tǒng)計(jì)機(jī)器學(xué)習(xí)思想的名著。在該書中詳細(xì)的論證了統(tǒng)計(jì)機(jī)器學(xué)習(xí)之所以區(qū)別于傳統(tǒng)機(jī)器學(xué)習(xí)的本質(zhì)，就在于統(tǒng)計(jì)機(jī)器學(xué)習(xí)能夠精確的給出學(xué)習(xí)效果，能夠解答需要的樣本數(shù)等等一系列問題。與統(tǒng)計(jì)機(jī)器學(xué)習(xí)的精密思維相比，傳統(tǒng)的機(jī)器學(xué)習(xí)基本上屬于摸著石頭過河，用傳統(tǒng)的機(jī)器學(xué)習(xí)方法構(gòu)造分類系統(tǒng)完全成了一種技巧，一個(gè)人做的結(jié)果可能很好，另一個(gè)人差不多的方法做出來卻很差，缺乏指導(dǎo)和原則。

所謂VC維是對(duì)函數(shù)類的一種度量，可以簡單的理解為問題的復(fù)雜程度，VC維越高，一個(gè)問題就越復(fù)雜。正是因?yàn)镾VM關(guān)注的是VC維，后面我們可以看到，SVM解決問題的時(shí)候，和樣本的維數(shù)是無關(guān)的（甚至樣本是上萬維的都可以，這使得SVM很適合用來解決文本分類的問題，當(dāng)然，有這樣的能力也因?yàn)橐肓撕撕瘮?shù)）。

結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小聽上去文縐縐，其實(shí)說的也無非是下面這回事。

機(jī)器學(xué)習(xí)本質(zhì)上就是一種對(duì)問題真實(shí)模型的逼近（我們選擇一個(gè)我們認(rèn)為比較好的近似模型，這個(gè)近似模型就叫做一個(gè)假設(shè)），但毫無疑問，真實(shí)模型一定是不知道的（如果知道了，我們干嗎還要機(jī)器學(xué)習(xí)？直接用真實(shí)模型解決問題不就可以了？對(duì)吧，哈哈）既然真實(shí)模型不知道，那么我們選擇的假設(shè)與問題真實(shí)解之間究竟有多大差距，我們就沒法得知。比如說我們認(rèn)為宇宙誕生于150億年前的一場大爆炸，這個(gè)假設(shè)能夠描述很多我們觀察到的現(xiàn)象，但它與真實(shí)的宇宙模型之間還相差多少？誰也說不清，因?yàn)槲覀儔焊筒恢勒鎸?shí)的宇宙模型到底是什么。

這個(gè)與問題真實(shí)解之間的誤差，就叫做風(fēng)險(xiǎn)（更嚴(yán)格的說，誤差的累積叫做風(fēng)險(xiǎn)）。我們選擇了一個(gè)假設(shè)之后（更直觀點(diǎn)說，我們得到了一個(gè)分類器以后），真實(shí)誤差無從得知，但我們可以用某些可以掌握的量來逼近它。最直觀的想法就是使用分類器在樣本數(shù)據(jù)上的分類的結(jié)果與真實(shí)結(jié)果（因?yàn)闃颖臼且呀?jīng)標(biāo)注過的數(shù)據(jù)，是準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)）之間的差值來表示。這個(gè)差值叫做經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)Remp(w)。以前的機(jī)器學(xué)習(xí)方法都把經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)最小化作為努力的目標(biāo)，但后來發(fā)現(xiàn)很多分類函數(shù)能夠在樣本集上輕易達(dá)到100%的正確率，在真實(shí)分類時(shí)卻一塌糊涂（即所謂的推廣能力差，或泛化能力差）。此時(shí)的情況便是選擇了一個(gè)足夠復(fù)雜的分類函數(shù)（它的VC維很高），能夠精確的記住每一個(gè)樣本，但對(duì)樣本之外的數(shù)據(jù)一律分類錯(cuò)誤。回頭看看經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)最小化原則我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)，此原則適用的大前提是經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)要確實(shí)能夠逼近真實(shí)風(fēng)險(xiǎn)才行（行話叫一致），但實(shí)際上能逼近么？答案是不能，因?yàn)闃颖緮?shù)相對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界要分類的文本數(shù)來說簡直九牛一毛，經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)最小化原則只在這占很小比例的樣本上做到?jīng)]有誤差，當(dāng)然不能保證在更大比例的真實(shí)文本上也沒有誤差。

統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)因此而引入了泛化誤差界的概念，就是指真實(shí)風(fēng)險(xiǎn)應(yīng)該由兩部分內(nèi)容刻畫，一是經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)，代表了分類器在給定樣本上的誤差；二是置信風(fēng)險(xiǎn)，代表了我們?cè)诙啻蟪潭壬峡梢孕湃畏诸惼髟谖粗谋旧戏诸惖慕Y(jié)果。很顯然，第二部分是沒有辦法精確計(jì)算的，因此只能給出一個(gè)估計(jì)的區(qū)間，也使得整個(gè)誤差只能計(jì)算上界，而無法計(jì)算準(zhǔn)確的值（所以叫做泛化誤差界，而不叫泛化誤差）。

置信風(fēng)險(xiǎn)與兩個(gè)量有關(guān)，一是樣本數(shù)量，顯然給定的樣本數(shù)量越大，我們的學(xué)習(xí)結(jié)果越有可能正確，此時(shí)置信風(fēng)險(xiǎn)越??；二是分類函數(shù)的VC維，顯然VC維越大，推廣能力越差，置信風(fēng)險(xiǎn)會(huì)變大。

泛化誤差界的公式為：

R(w)≤Remp(w)+Ф(n/h)

公式中R(w)就是真實(shí)風(fēng)險(xiǎn)，Remp(w)就是經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)，Ф(n/h)就是置信風(fēng)險(xiǎn)。統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)的目標(biāo)從經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)最小化變?yōu)榱藢で蠼?jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)與置信風(fēng)險(xiǎn)的和最小，即結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小。

SVM正是這樣一種努力最小化結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)的算法。

SVM其他的特點(diǎn)就比較容易理解了。

小樣本，并不是說樣本的絕對(duì)數(shù)量少（實(shí)際上，對(duì)任何算法來說，更多的樣本幾乎總是能帶來更好的效果），而是說與問題的復(fù)雜度比起來，SVM算法要求的樣本數(shù)是相對(duì)比較少的。

非線性，是指SVM擅長應(yīng)付樣本數(shù)據(jù)線性不可分的情況，主要通過松弛變量（也有人叫懲罰變量）和核函數(shù)技術(shù)來實(shí)現(xiàn)，這一部分是SVM的精髓，以后會(huì)詳細(xì)討論。多說一句，關(guān)于文本分類這個(gè)問題究竟是不是線性可分的，尚沒有定論，因此不能簡單的認(rèn)為它是線性可分的而作簡化處理，在水落石出之前，只好先當(dāng)它是線性不可分的（反正線性可分也不過是線性不可分的一種特例而已，我們向來不怕方法過于通用）。

高維模式識(shí)別是指樣本維數(shù)很高，例如文本的向量表示，如果沒有經(jīng)過另一系列文章（《文本分類入門》）中提到過的降維處理，出現(xiàn)幾萬維的情況很正常，其他算法基本就沒有能力應(yīng)付了，SVM卻可以，主要是因?yàn)镾VM 產(chǎn)生的分類器很簡潔，用到的樣本信息很少（僅僅用到那些稱之為“支持向量”的樣本，此為后話），使得即使樣本維數(shù)很高，也不會(huì)給存儲(chǔ)和計(jì)算帶來大麻煩（相對(duì)照而言，kNN算法在分類時(shí)就要用到所有樣本，樣本數(shù)巨大，每個(gè)樣本維數(shù)再一高，這日子就沒法過了……）。

下一節(jié)開始正式討論SVM。別嫌我說得太詳細(xì)哦。

SVM入門（二）線性分類器Part 1

線性分類器(一定意義上,也可以叫做感知機(jī)) 是最簡單也很有效的分類器形式.在一個(gè)線性分類器中,可以看到SVM形成的思路,并接觸很多SVM的核心概念.

用一個(gè)二維空間里僅有兩類樣本的分類問題來舉個(gè)小例子。如圖所示

C1和C2是要區(qū)分的兩個(gè)類別，在二維平面中它們的樣本如上圖所示。中間的直線就是一個(gè)分類函數(shù)，它可以將兩類樣本完全分開。一般的，如果一個(gè)線性函數(shù)能夠?qū)颖就耆_的分開，就稱這些數(shù)據(jù)是線性可分的，否則稱為非線性可分的。

什么叫線性函數(shù)呢？在一維空間里就是一個(gè)點(diǎn)，在二維空間里就是一條直線，三維空間里就是一個(gè)平面，可以如此想象下去，如果不關(guān)注空間的維數(shù)，這種線性函數(shù)還有一個(gè)統(tǒng)一的名稱——超平面（Hyper Plane）！

實(shí)際上，一個(gè)線性函數(shù)是一個(gè)實(shí)值函數(shù)（即函數(shù)的值是連續(xù)的實(shí)數(shù)），而我們的分類問題（例如這里的二元分類問題——回答一個(gè)樣本屬于還是不屬于一個(gè)類別的問題）需要離散的輸出值，例如用1表示某個(gè)樣本屬于類別C1，而用0表示不屬于（不屬于C1也就意味著屬于C2），這時(shí)候只需要簡單的在實(shí)值函數(shù)的基礎(chǔ)上附加一個(gè)閾值即可，通過分類函數(shù)執(zhí)行時(shí)得到的值大于還是小于這個(gè)閾值來確定類別歸屬。 例如我們有一個(gè)線性函數(shù)

g(x)=wx+b

【看到好多人都在問g(x)=0 和 g(x)的問題，我在這里幫樓主補(bǔ)充一下：g(x)實(shí)際是以w為法向量的一簇超平面，在二維空間表示為一簇直線（就是一簇平行線，他們的法向量都是w），而g(x)=0只是這么多平行線中的一條?！?/p>

我們可以取閾值為0，這樣當(dāng)有一個(gè)樣本xi需要判別的時(shí)候，我們就看g(xi)的值。若g(xi)>0，就判別為類別C1，若g(xi)<0，則判別為類別C2（等于的時(shí)候我們就拒絕判斷，呵呵）。此時(shí)也等價(jià)于給函數(shù)g(x)附加一個(gè)符號(hào)函數(shù)sgn()，即f(x)=sgn [g(x)]是我們真正的判別函數(shù)。

關(guān)于g(x)=wx+b這個(gè)表達(dá)式要注意三點(diǎn)：一，式中的x不是二維坐標(biāo)系中的橫軸，而是樣本的向量表示，例如一個(gè)樣本點(diǎn)的坐標(biāo)是(3,8)，則xT=(3,8) ，而不是x=3（一般說向量都是說列向量，因此以行向量形式來表示時(shí)，就加上轉(zhuǎn)置）。二，這個(gè)形式并不局限于二維的情況，在n維空間中仍然可以使用這個(gè)表達(dá)式，只是式中的w成為了n維向量（在二維的這個(gè)例子中，w是二維向量，為了表示起來方便簡潔，以下均不區(qū)別列向量和它的轉(zhuǎn)置，聰明的讀者一看便知）；三，g(x)不是中間那條直線的表達(dá)式，中間那條直線的表達(dá)式是g(x)=0，即wx+b=0，我們也把這個(gè)函數(shù)叫做分類面。

實(shí)際上很容易看出來，中間那條分界線并不是唯一的，我們把它稍微旋轉(zhuǎn)一下，只要不把兩類數(shù)據(jù)分錯(cuò)，仍然可以達(dá)到上面說的效果，稍微平移一下，也可以。此時(shí)就牽涉到一個(gè)問題，對(duì)同一個(gè)問題存在多個(gè)分類函數(shù)的時(shí)候，哪一個(gè)函數(shù)更好呢？顯然必須要先找一個(gè)指標(biāo)來量化“好”的程度，通常使用的都是叫做“分類間隔”的指標(biāo)。下一節(jié)我們就仔細(xì)說說分類間隔，也補(bǔ)一補(bǔ)相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)。

SVM入門（三）線性分類器Part 2

上回說到對(duì)于文本分類這樣的不適定問題（有一個(gè)以上解的問題稱為不適定問題），需要有一個(gè)指標(biāo)來衡量解決方案（即我們通過訓(xùn)練建立的分類模型）的好壞，而分類間隔是一個(gè)比較好的指標(biāo)。

在進(jìn)行文本分類的時(shí)候，我們可以讓計(jì)算機(jī)這樣來看待我們提供給它的訓(xùn)練樣本，每一個(gè)樣本由一個(gè)向量（就是那些文本特征所組成的向量）和一個(gè)標(biāo)記（標(biāo)示出這個(gè)樣本屬于哪個(gè)類別）組成。如下：

Di=(xi,yi)

xi就是文本向量（維數(shù)很高），yi就是分類標(biāo)記。

在二元的線性分類中，這個(gè)表示分類的標(biāo)記只有兩個(gè)值，1和-1（用來表示屬于還是不屬于這個(gè)類）。有了這種表示法，我們就可以定義一個(gè)樣本點(diǎn)到某個(gè)超平面的間隔：

δi=yi(wxi+b)

這個(gè)公式乍一看沒什么神秘的，也說不出什么道理，只是個(gè)定義而已，但我們做做變換，就能看出一些有意思的東西。

首先注意到如果某個(gè)樣本屬于該類別的話，那么wxi+b>0（記得么？這是因?yàn)槲覀兯x的g(x)=wx+b就通過大于0還是小于0來判斷分類），而yi也大于0；若不屬于該類別的話，那么wxi+b<0，而yi也小于0，這意味著yi(wxi+b)總是大于0的，而且它的值就等于|wxi+b|?。ㄒ簿褪莬g(xi)|）

現(xiàn)在把w和b進(jìn)行一下歸一化，即用w/||w||和b/||w||分別代替原來的w和b，那么間隔就可以寫成

【點(diǎn)到直線的距離，做解析幾何中為：  
D = (Ax + By + c) /sqrt(A^2+B^2)  
sqrt(A^2+B^2)就相當(dāng)于||W||, 其中向量W=[A, B];  
(Ax + By + c)就相當(dāng)于g(X), 其中向量X=[x,y]?！?/p>

這個(gè)公式是不是看上去有點(diǎn)眼熟？沒錯(cuò)，這不就是解析幾何中點(diǎn)xi到直線g(x)=0的距離公式嘛?。ㄍ茝V一下，是到超平面g(x)=0的距離， g(x)=0就是上節(jié)中提到的分類超平面）

小Tips：||w||是什么符號(hào)？||w||叫做向量w的范數(shù)，范數(shù)是對(duì)向量長度的一種度量。我們常說的向量長度其實(shí)指的是它的2-范數(shù)，范數(shù)最一般的表示形式為p-范數(shù)，可以寫成如下表達(dá)式

    向量w=(w1, w2, w3,…… wn)

它的p-范數(shù)為

看看把p換成2的時(shí)候，不就是傳統(tǒng)的向量長度么？當(dāng)我們不指明p的時(shí)候，就像||w||這樣使用時(shí)，就意味著我們不關(guān)心p的值，用幾范數(shù)都可以；或者上文已經(jīng)提到了p的值，為了敘述方便不再重復(fù)指明。

當(dāng)用歸一化的w和b代替原值之后的間隔有一個(gè)專門的名稱，叫做幾何間隔，幾何間隔所表示的正是點(diǎn)到超平面的歐氏距離，我們下面就簡稱幾何間隔為“距離”。以上是單個(gè)點(diǎn)到某個(gè)超平面的距離（就是間隔，后面不再區(qū)別這兩個(gè)詞）定義，同樣可以定義一個(gè)點(diǎn)的集合（就是一組樣本）到某個(gè)超平面的距離為此集合中離超平面最近的點(diǎn)的距離。下面這張圖更加直觀的展示出了幾何間隔的現(xiàn)實(shí)含義：

H是分類面，而H1和H2是平行于H，且過離H最近的兩類樣本的直線，H1與H，H2與H之間的距離就是幾何間隔。

之所以如此關(guān)心幾何間隔這個(gè)東西，是因?yàn)閹缀伍g隔與樣本的誤分次數(shù)間存在關(guān)系：

其中的δ是樣本集合到分類面的間隔，R=max ||xi||  i=1,...,n，即R是所有樣本中（xi是以向量表示的第i個(gè)樣本）向量長度最長的值（也就是說代表樣本的分布有多么廣）。先不必追究誤分次數(shù)的具體定義和推導(dǎo)過程，只要記得這個(gè)誤分次數(shù)一定程度上代表分類器的誤差。而從上式可以看出，誤分次數(shù)的上界由幾何間隔決定?。ó?dāng)然，是樣本已知的時(shí)候）

至此我們就明白為何要選擇幾何間隔來作為評(píng)價(jià)一個(gè)解優(yōu)劣的指標(biāo)了，原來幾何間隔越大的解，它的誤差上界越小。因此最大化幾何間隔成了我們訓(xùn)練階段的目標(biāo)，而且，與二把刀作者所寫的不同，最大化分類間隔并不是SVM的專利，而是早在線性分類時(shí)期就已有的思想。

SVM入門（四）線性分類器的求解——問題的描述Part1

上節(jié)說到我們有了一個(gè)線性分類函數(shù)，也有了判斷解優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)——即有了優(yōu)化的目標(biāo)，這個(gè)目標(biāo)就是最大化幾何間隔，但是看過一些關(guān)于SVM的論文的人一定記得什么優(yōu)化的目標(biāo)是要最小化||w||這樣的說法，這是怎么回事呢？回頭再看看我們對(duì)間隔和幾何間隔的定義：

間隔：δ=y(wx+b)=|g(x)|

幾何間隔：

可以看出δ=||w||δ幾何。注意到幾何間隔與||w||是成反比的，因此最大化幾何間隔與最小化||w||完全是一回事。而我們常用的方法并不是固定||w||的大小而尋求最大幾何間隔，而是固定間隔（例如固定為1），尋找最小的||w||。

而凡是求一個(gè)函數(shù)的最小值（或最大值）的問題都可以稱為尋優(yōu)問題（也叫作一個(gè)規(guī)劃問題），又由于找最大值的問題總可以通過加一個(gè)負(fù)號(hào)變?yōu)檎易钚≈档膯栴}，因此我們下面討論的時(shí)候都針對(duì)找最小值的過程來進(jìn)行。一個(gè)尋優(yōu)問題最重要的部分是目標(biāo)函數(shù)，顧名思義，就是指尋優(yōu)的目標(biāo)。例如我們想尋找最小的||w||這件事，就可以用下面的式子表示：

但實(shí)際上對(duì)于這個(gè)目標(biāo)，我們常常使用另一個(gè)完全等價(jià)的目標(biāo)函數(shù)來代替，那就是：

(式1)

不難看出當(dāng)||w||2達(dá)到最小時(shí)，||w||也達(dá)到最小，反之亦然（前提當(dāng)然是||w||描述的是向量的長度，因而是非負(fù)的）。之所以采用這種形式，是因?yàn)楹竺娴那蠼膺^程會(huì)對(duì)目標(biāo)函數(shù)作一系列變換，而式（1）的形式會(huì)使變換后的形式更為簡潔（正如聰明的讀者所料，添加的系數(shù)二分之一和平方，皆是為求導(dǎo)數(shù)所需）。

接下來我們自然會(huì)問的就是，這個(gè)式子是否就描述了我們的問題呢？（回想一下，我們的問題是有一堆點(diǎn)，可以被分成兩類，我們要找出最好的分類面）

如果直接來解這個(gè)求最小值問題，很容易看出當(dāng)||w||=0的時(shí)候就得到了目標(biāo)函數(shù)的最小值。但是你也會(huì)發(fā)現(xiàn)，無論你給什么樣的數(shù)據(jù)，都是這個(gè)解！反映在圖中，就是H1與H2兩條直線間的距離無限大，這個(gè)時(shí)候，所有的樣本點(diǎn)（無論正樣本還是負(fù)樣本）都跑到了H1和H2中間，而我們?cè)镜囊鈭D是，H1右側(cè)的被分為正類，H2 左側(cè)的被分為負(fù)類，位于兩類中間的樣本則拒絕分類（拒絕分類的另一種理解是分給哪一類都有道理，因而分給哪一類也都沒有道理）。這下可好，所有樣本點(diǎn)都進(jìn)入了無法分類的灰色地帶。

造成這種結(jié)果的原因是在描述問題的時(shí)候只考慮了目標(biāo)，而沒有加入約束條件，約束條件就是在求解過程中必須滿足的條件，體現(xiàn)在我們的問題中就是樣本點(diǎn)必須在H1或H2的某一側(cè)（或者至少在H1和H2上），而不能跑到兩者中間。我們前文提到過把間隔固定為1，這是指把所有樣本點(diǎn)中間隔最小的那一點(diǎn)的間隔定為1（這也是集合的間隔的定義，有點(diǎn)繞嘴），也就意味著集合中的其他點(diǎn)間隔都不會(huì)小于1，按照間隔的定義，滿足這些條件就相當(dāng)于讓下面的式子總是成立：

    yi[(w·xi)+b]≥1 (i=1,2,…,l) （l是總的樣本數(shù)）

但我們常常習(xí)慣讓式子的值和0比較，因而經(jīng)常用變換過的形式：

    yi[(w·xi)+b]-1≥0 (i=1,2,…,l) （l是總的樣本數(shù)）

因此我們的兩類分類問題也被我們轉(zhuǎn)化成了它的數(shù)學(xué)形式，一個(gè)帶約束的最小值的問題：

下一節(jié)我們從最一般的意義上看看一個(gè)求最小值的問題有何特征，以及如何來解。

SVM入門（五）線性分類器的求解——問題的描述Part2

從最一般的定義上說，一個(gè)求最小值的問題就是一個(gè)優(yōu)化問題（也叫尋優(yōu)問題，更文縐縐的叫法是規(guī)劃——Programming），它同樣由兩部分組成，目標(biāo)函數(shù)和約束條件，可以用下面的式子表示：

（式1）

約束條件用函數(shù)c來表示，就是constrain的意思啦。你可以看出一共有p+q個(gè)約束條件，其中p個(gè)是不等式約束，q個(gè)等式約束。

關(guān)于這個(gè)式子可以這樣來理解：式中的x是自變量，但不限定它的維數(shù)必須為1（視乎你解決的問題空間維數(shù)，對(duì)我們的文本分類來說，那可是成千上萬?。?。要求f(x)在哪一點(diǎn)上取得最小值（反倒不太關(guān)心這個(gè)最小值到底是多少，關(guān)鍵是哪一點(diǎn)），但不是在整個(gè)空間里找，而是在約束條件所劃定的一個(gè)有限的空間里找，這個(gè)有限的空間就是優(yōu)化理論里所說的可行域。注意可行域中的每一個(gè)點(diǎn)都要求滿足所有p+q個(gè)條件，而不是滿足其中一條或幾條就可以（切記，要滿足每個(gè)約束），同時(shí)可行域邊界上的點(diǎn)有一個(gè)額外好的特性，它們可以使不等式約束取得等號(hào)！而邊界內(nèi)的點(diǎn)不行。

關(guān)于可行域還有個(gè)概念不得不提，那就是凸集，凸集是指有這么一個(gè)點(diǎn)的集合，其中任取兩個(gè)點(diǎn)連一條直線，這條線上的點(diǎn)仍然在這個(gè)集合內(nèi)部，因此說“凸”是很形象的（一個(gè)反例是，二維平面上，一個(gè)月牙形的區(qū)域就不是凸集，你隨便就可以找到兩個(gè)點(diǎn)違反了剛才的規(guī)定）。

回頭再來看我們線性分類器問題的描述，可以看出更多的東西。

（式2）

在這個(gè)問題中，自變量就是w，而目標(biāo)函數(shù)是w的二次函數(shù)，所有的約束條件都是w的線性函數(shù)（哎，千萬不要把xi當(dāng)成變量，它代表樣本，是已知的），這種規(guī)劃問題有個(gè)很有名氣的稱呼——二次規(guī)劃（Quadratic Programming，QP），而且可以更進(jìn)一步的說，由于它的可行域是一個(gè)凸集，因此它是一個(gè)凸二次規(guī)劃。

一下子提了這么多術(shù)語，實(shí)在不是為了讓大家以后能向別人炫耀學(xué)識(shí)的淵博，這其實(shí)是我們繼續(xù)下去的一個(gè)重要前提，因?yàn)樵趧?dòng)手求一個(gè)問題的解之前（好吧，我承認(rèn)，是動(dòng)計(jì)算機(jī)求……），我們必須先問自己：這個(gè)問題是不是有解？如果有解，是否能找到？

對(duì)于一般意義上的規(guī)劃問題，兩個(gè)問題的答案都是不一定，但凸二次規(guī)劃讓人喜歡的地方就在于，它有解（教科書里面為了嚴(yán)謹(jǐn)，常常加限定成分，說它有全局最優(yōu)解，由于我們想找的本來就是全局最優(yōu)的解，所以不加也罷），而且可以找到?。ó?dāng)然，依據(jù)你使用的算法不同，找到這個(gè)解的速度，行話叫收斂速度，會(huì)有所不同）

對(duì)比（式2）和（式1）還可以發(fā)現(xiàn)，我們的線性分類器問題只有不等式約束，因此形式上看似乎比一般意義上的規(guī)劃問題要簡單，但解起來卻并非如此。

因?yàn)槲覀儗?shí)際上并不知道該怎么解一個(gè)帶約束的優(yōu)化問題。如果你仔細(xì)回憶一下高等數(shù)學(xué)的知識(shí)，會(huì)記得我們可以輕松的解一個(gè)不帶任何約束的優(yōu)化問題（實(shí)際上就是當(dāng)年背得爛熟的函數(shù)求極值嘛，求導(dǎo)再找0點(diǎn)唄，誰不會(huì)啊？笑），我們甚至還會(huì)解一個(gè)只帶等式約束的優(yōu)化問題，也是背得爛熟的，求條件極值，記得么，通過添加拉格朗日乘子，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)，來把這個(gè)問題轉(zhuǎn)化為無約束的優(yōu)化問題云云（如果你一時(shí)沒想通，我提醒一下，構(gòu)造出的拉格朗日函數(shù)就是轉(zhuǎn)化之后的問題形式，它顯然沒有帶任何條件）。

讀者問：如果只帶等式約束的問題可以轉(zhuǎn)化為無約束的問題而得以求解，那么可不可以把帶不等式約束的問題向只帶等式約束的問題轉(zhuǎn)化一下而得以求解呢？

聰明，可以，實(shí)際上我們也正是這么做的。下一節(jié)就來說說如何做這個(gè)轉(zhuǎn)化，一旦轉(zhuǎn)化完成，求解對(duì)任何學(xué)過高等數(shù)學(xué)的人來說，都是小菜一碟啦。

SVM入門（六）線性分類器的求解——問題的轉(zhuǎn)化，直觀角度

讓我再一次比較完整的重復(fù)一下我們要解決的問題：我們有屬于兩個(gè)類別的樣本點(diǎn)（并不限定這些點(diǎn)在二維空間中）若干，如圖，

圓形的樣本點(diǎn)定為正樣本（連帶著，我們可以把正樣本所屬的類叫做正類），方形的點(diǎn)定為負(fù)例。我們想求得這樣一個(gè)線性函數(shù)（在n維空間中的線性函數(shù)）：

g(x)=wx+b

使得所有屬于正類的點(diǎn)+代入以后有g(shù)(x+)≥1，而所有屬于負(fù)類的點(diǎn)x-代入后有g(shù)(x-)≤-1（之所以總跟1比較，無論正一還是負(fù)一，都是因?yàn)槲覀児潭碎g隔為1，注意間隔和幾何間隔的區(qū)別）。代入g(x)后的值如果在1和-1之間，我們就拒絕判斷。

求這樣的g(x)的過程就是求w（一個(gè)n維向量）和b（一個(gè)實(shí)數(shù)）兩個(gè)參數(shù)的過程（但實(shí)際上只需要求w，求得以后找某些樣本點(diǎn)代入就可以求得b）。因此在求g(x)的時(shí)候，w才是變量。

你肯定能看出來，一旦求出了w（也就求出了b），那么中間的直線H就知道了（因?yàn)樗褪莣x+b=0嘛，哈哈），那么H1和H2也就知道了（因?yàn)槿呤瞧叫械模蚁喔舻木嚯x還是||w||決定的）。那么w是誰決定的？顯然是你給的樣本決定的，一旦你在空間中給出了那些個(gè)樣本點(diǎn)，三條直線的位置實(shí)際上就唯一確定了（因?yàn)槲覀兦蟮氖亲顑?yōu)的那三條，當(dāng)然是唯一的），我們解優(yōu)化問題的過程也只不過是把這個(gè)確定了的東西算出來而已。

樣本確定了w，用數(shù)學(xué)的語言描述，就是w可以表示為樣本的某種組合：

w=α1x1+α2x2+…+αnxn

式子中的αi是一個(gè)一個(gè)的數(shù)（在嚴(yán)格的證明過程中，這些α被稱為拉格朗日乘子），而xi是樣本點(diǎn)，因而是向量，n就是總樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)。為了方便描述，以下開始嚴(yán)格區(qū)別數(shù)字與向量的乘積和向量間的乘積，我會(huì)用α1x1表示數(shù)字和向量的乘積，而用<x1,x2>表示向量x1,x2的內(nèi)積（也叫點(diǎn)積，注意與向量叉積的區(qū)別）。因此g(x)的表達(dá)式嚴(yán)格的形式應(yīng)該是：

g(x)=<w,x>+b

但是上面的式子還不夠好，你回頭看看圖中正樣本和負(fù)樣本的位置，想像一下，我不動(dòng)所有點(diǎn)的位置，而只是把其中一個(gè)正樣本點(diǎn)定為負(fù)樣本點(diǎn)（也就是把一個(gè)點(diǎn)的形狀從圓形變?yōu)榉叫危?，結(jié)果怎么樣？三條直線都必須移動(dòng)（因?yàn)閷?duì)這三條直線的要求是必須把方形和圓形的點(diǎn)正確分開）！這說明w不僅跟樣本點(diǎn)的位置有關(guān)，還跟樣本的類別有關(guān)（也就是和樣本的“標(biāo)簽”有關(guān)）。因此用下面這個(gè)式子表示才算完整：

w=α1y1x1+α2y2x2+…+αnynxn （式1）

其中的yi就是第i個(gè)樣本的標(biāo)簽，它等于1或者-1。其實(shí)以上式子的那一堆拉格朗日乘子中，只有很少的一部分不等于0（不等于0才對(duì)w起決定作用），這部分不等于0的拉格朗日乘子后面所乘的樣本點(diǎn)，其實(shí)都落在H1和H2上，也正是這部分樣本（而不需要全部樣本）唯一的確定了分類函數(shù)，當(dāng)然，更嚴(yán)格的說，這些樣本的一部分就可以確定，因?yàn)槔绱_定一條直線，只需要兩個(gè)點(diǎn)就可以，即便有三五個(gè)都落在上面，我們也不是全都需要。這部分我們真正需要的樣本點(diǎn)，就叫做支持（撐）向量?。诌€挺形象吧，他們“撐”起了分界線）

式子也可以用求和符號(hào)簡寫一下：

因此原來的g(x)表達(dá)式可以寫為：

注意式子中x才是變量，也就是你要分類哪篇文檔，就把該文檔的向量表示代入到 x的位置，而所有的xi統(tǒng)統(tǒng)都是已知的樣本。還注意到式子中只有xi和x是向量，因此一部分可以從內(nèi)積符號(hào)中拿出來，得到g(x)的式子為：

發(fā)現(xiàn)了什么？w不見啦！從求w變成了求α。

但肯定有人會(huì)說，這并沒有把原問題簡化呀。嘿嘿，其實(shí)簡化了，只不過在你看不見的地方，以這樣的形式描述問題以后，我們的優(yōu)化問題少了很大一部分不等式約束（記得這是我們解不了極值問題的萬惡之源）。但是接下來先跳過線性分類器求解的部分，來看看 SVM在線性分類器上所做的重大改進(jìn)——核函數(shù)。

SVM入門（七）為何需要核函數(shù)

生存？還是毀滅？——哈姆雷特

可分？還是不可分？——支持向量機(jī)

之前一直在討論的線性分類器,器如其名（汗，這是什么說法?。荒軐?duì)線性可分的樣本做處理。如果提供的樣本線性不可分，結(jié)果很簡單，線性分類器的求解程序會(huì)無限循環(huán)，永遠(yuǎn)也解不出來。這必然使得它的適用范圍大大縮小，而它的很多優(yōu)點(diǎn)我們實(shí)在不原意放棄，怎么辦呢？是否有某種方法，讓線性不可分的數(shù)據(jù)變得線性可分呢？

有！其思想說來也簡單，來用一個(gè)二維平面中的分類問題作例子，你一看就會(huì)明白。事先聲明，下面這個(gè)例子是網(wǎng)絡(luò)早就有的，我一時(shí)找不到原作者的正確信息，在此借用，并加進(jìn)了我自己的解說而已。

例子是下面這張圖：

/

我們把橫軸上端點(diǎn)a和b之間紅色部分里的所有點(diǎn)定為正類，兩邊的黑色部分里的點(diǎn)定為負(fù)類。試問能找到一個(gè)線性函數(shù)把兩類正確分開么？不能，因?yàn)槎S空間里的線性函數(shù)就是指直線，顯然找不到符合條件的直線。

但我們可以找到一條曲線，例如下面這一條：

顯然通過點(diǎn)在這條曲線的上方還是下方就可以判斷點(diǎn)所屬的類別（你在橫軸上隨便找一點(diǎn)，算算這一點(diǎn)的函數(shù)值，會(huì)發(fā)現(xiàn)負(fù)類的點(diǎn)函數(shù)值一定比0大，而正類的一定比0?。?。這條曲線就是我們熟知的二次曲線，它的函數(shù)表達(dá)式可以寫為：

問題只是它不是一個(gè)線性函數(shù)，但是，下面要注意看了，新建一個(gè)向量y和a：

這樣g(x)就可以轉(zhuǎn)化為f(y)=<a,y>，你可以把y和a分別回帶一下，看看等不等于原來的g(x)。用內(nèi)積的形式寫你可能看不太清楚，實(shí)際上f(y)的形式就是：

g(x)=f(y)=ay

在任意維度的空間中，這種形式的函數(shù)都是一個(gè)線性函數(shù)（只不過其中的a和y都是多維向量罷了），因?yàn)樽宰兞縴的次數(shù)不大于1。

看出妙在哪了么？原來在二維空間中一個(gè)線性不可分的問題，映射到四維空間后，變成了線性可分的！因此這也形成了我們最初想解決線性不可分問題的基本思路——向高維空間轉(zhuǎn)化，使其變得線性可分。

而轉(zhuǎn)化最關(guān)鍵的部分就在于找到x到y(tǒng)的映射方法。遺憾的是，如何找到這個(gè)映射，沒有系統(tǒng)性的方法（也就是說，純靠猜和湊）。具體到我們的文本分類問題，文本被表示為上千維的向量，即使維數(shù)已經(jīng)如此之高，也常常是線性不可分的，還要向更高的空間轉(zhuǎn)化。其中的難度可想而知。

小Tips:為什么說f(y)=ay是四維空間里的函數(shù)?

大家可能一時(shí)沒看明白?；叵胍幌挛覀兌S空間里的函數(shù)定義 
  g(x)=ax+b 
變量x是一維的，為什么說它是二維空間里的函數(shù)呢？因?yàn)檫€有一個(gè)變量我們沒寫出來，它的完整形式其實(shí)是 
  y=g(x)=ax+b 
即 
  y=ax+b 
看看，有幾個(gè)變量？兩個(gè)。那是幾維空間的函數(shù)？（作者五歲的弟弟答：五維的。作者：……） 
再看看 
f(y)=ay 
里面的y是三維的變量，那f(y)是幾維空間里的函數(shù)？（作者五歲的弟弟答：還是五維的。作者：……）

用一個(gè)具體文本分類的例子來看看這種向高維空間映射從而分類的方法如何運(yùn)作，想象一下，我們文本分類問題的原始空間是1000維的（即每個(gè)要被分類的文檔被表示為一個(gè)1000維的向量），在這個(gè)維度上問題是線性不可分的?，F(xiàn)在我們有一個(gè)2000維空間里的線性函數(shù)

f(x’)=<w’,x’>+b

注意向量的右上角有個(gè) ’哦。它能夠?qū)⒃瓎栴}變得可分。式中的 w’和x’都是2000維的向量，只不過w’是定值，而x’是變量（好吧,嚴(yán)格說來這個(gè)函數(shù)是2001維的,哈哈），現(xiàn)在我們的輸入呢，是一個(gè)1000維的向量x，分類的過程是先把x變換為2000維的向量x’，然后求這個(gè)變換后的向量x’與向量w’的內(nèi)積，再把這個(gè)內(nèi)積的值和b相加，就得到了結(jié)果，看結(jié)果大于閾值還是小于閾值就得到了分類結(jié)果。

你發(fā)現(xiàn)了什么？我們其實(shí)只關(guān)心那個(gè)高維空間里內(nèi)積的值，那個(gè)值算出來了，分類結(jié)果就算出來了。而從理論上說， x’是經(jīng)由x變換來的，因此廣義上可以把它叫做x的函數(shù)（有一個(gè)x，就確定了一個(gè)x’，對(duì)吧，確定不出第二個(gè)），而w’是常量，它是一個(gè)低維空間里的常量w經(jīng)過變換得到的，所以給了一個(gè)w 和x的值，就有一個(gè)確定的f(x’)值與其對(duì)應(yīng)。這讓我們幻想，是否能有這樣一種函數(shù)K(w,x),他接受低維空間的輸入值，卻能算出高維空間的內(nèi)積值<w’,x’>？

如果有這樣的函數(shù)，那么當(dāng)給了一個(gè)低維空間的輸入x以后，

g(x)=K(w,x)+b

f(x’)=<w’,x’>+b

這兩個(gè)函數(shù)的計(jì)算結(jié)果就完全一樣，我們也就用不著費(fèi)力找那個(gè)映射關(guān)系，直接拿低維的輸入往g(x)里面代就可以了（再次提醒，這回的g(x)就不是線性函數(shù)啦，因?yàn)槟悴荒鼙ＷCK(w,x)這個(gè)表達(dá)式里的x次數(shù)不高于1哦）。

萬幸的是，這樣的K(w,x)確實(shí)存在（發(fā)現(xiàn)凡是我們?nèi)祟惸芙鉀Q的問題，大都是巧得不能再巧，特殊得不能再特殊的問題，總是恰好有些能投機(jī)取巧的地方才能解決，由此感到人類的渺?。?，它被稱作核函數(shù)（核，kernel），而且還不止一個(gè)，事實(shí)上，只要是滿足了Mercer條件的函數(shù)，都可以作為核函數(shù)。核函數(shù)的基本作用就是接受兩個(gè)低維空間里的向量，能夠計(jì)算出經(jīng)過某個(gè)變換后在高維空間里的向量內(nèi)積值。幾個(gè)比較常用的核函數(shù)，俄，教課書里都列過，我就不敲了（懶?。?/p>

回想我們上節(jié)說的求一個(gè)線性分類器，它的形式應(yīng)該是：

現(xiàn)在這個(gè)就是高維空間里的線性函數(shù)（為了區(qū)別低維和高維空間里的函數(shù)和向量，我改了函數(shù)的名字，并且給w和x都加上了 ’），我們就可以用一個(gè)低維空間里的函數(shù)（再一次的，這個(gè)低維空間里的函數(shù)就不再是線性的啦）來代替，

又發(fā)現(xiàn)什么了？f(x’) 和g(x)里的α，y，b全都是一樣一樣的！這就是說，盡管給的問題是線性不可分的，但是我們就硬當(dāng)它是線性問題來求解，只不過求解過程中，凡是要求內(nèi)積的時(shí)候就用你選定的核函數(shù)來算。這樣求出來的α再和你選定的核函數(shù)一組合，就得到分類器啦！

明白了以上這些，會(huì)自然的問接下來兩個(gè)問題：

1． 既然有很多的核函數(shù)，針對(duì)具體問題該怎么選擇？

2． 如果使用核函數(shù)向高維空間映射后，問題仍然是線性不可分的，那怎么辦？

第一個(gè)問題現(xiàn)在就可以回答你：對(duì)核函數(shù)的選擇，現(xiàn)在還缺乏指導(dǎo)原則！各種實(shí)驗(yàn)的觀察結(jié)果（不光是文本分類）的確表明，某些問題用某些核函數(shù)效果很好，用另一些就很差，但是一般來講，徑向基核函數(shù)是不會(huì)出太大偏差的一種，首選。（我做文本分類系統(tǒng)的時(shí)候，使用徑向基核函數(shù)，沒有參數(shù)調(diào)優(yōu)的情況下，絕大部分類別的準(zhǔn)確和召回都在85%以上，可見。雖然libSVM的作者林智仁認(rèn)為文本分類用線性核函數(shù)效果更佳，待考證）

對(duì)第二個(gè)問題的解決則引出了我們下一節(jié)的主題：松弛變量。

SVM入門（八）松弛變量

現(xiàn)在我們已經(jīng)把一個(gè)本來線性不可分的文本分類問題，通過映射到高維空間而變成了線性可分的。就像下圖這樣：

圓形和方形的點(diǎn)各有成千上萬個(gè)（畢竟，這就是我們訓(xùn)練集中文檔的數(shù)量嘛，當(dāng)然很大了）?，F(xiàn)在想象我們有另一個(gè)訓(xùn)練集，只比原先這個(gè)訓(xùn)練集多了一篇文章，映射到高維空間以后（當(dāng)然，也使用了相同的核函數(shù)），也就多了一個(gè)樣本點(diǎn)，但是這個(gè)樣本的位置是這樣的：

就是圖中黃色那個(gè)點(diǎn)，它是方形的，因而它是負(fù)類的一個(gè)樣本，這單獨(dú)的一個(gè)樣本，使得原本線性可分的問題變成了線性不可分的。這樣類似的問題（僅有少數(shù)點(diǎn)線性不可分）叫做“近似線性可分”的問題。

以我們?nèi)祟惖某ＷR(shí)來判斷，說有一萬個(gè)點(diǎn)都符合某種規(guī)律（因而線性可分），有一個(gè)點(diǎn)不符合，那這一個(gè)點(diǎn)是否就代表了分類規(guī)則中我們沒有考慮到的方面呢（因而規(guī)則應(yīng)該為它而做出修改）？

其實(shí)我們會(huì)覺得，更有可能的是，這個(gè)樣本點(diǎn)壓根就是錯(cuò)誤，是噪聲，是提供訓(xùn)練集的同學(xué)人工分類時(shí)一打瞌睡錯(cuò)放進(jìn)去的。所以我們會(huì)簡單的忽略這個(gè)樣本點(diǎn)，仍然使用原來的分類器，其效果絲毫不受影響。

但這種對(duì)噪聲的容錯(cuò)性是人的思維帶來的，我們的程序可沒有。由于我們?cè)镜膬?yōu)化問題的表達(dá)式中，確實(shí)要考慮所有的樣本點(diǎn)（不能忽略某一個(gè)，因?yàn)槌绦蛩趺粗涝摵雎阅囊粋€(gè)呢？），在此基礎(chǔ)上尋找正負(fù)類之間的最大幾何間隔，而幾何間隔本身代表的是距離，是非負(fù)的，像上面這種有噪聲的情況會(huì)使得整個(gè)問題無解。這種解法其實(shí)也叫做“硬間隔”分類法，因?yàn)樗残缘囊笏袠颖军c(diǎn)都滿足和分類平面間的距離必須大于某個(gè)值。

因此由上面的例子中也可以看出，硬間隔的分類法其結(jié)果容易受少數(shù)點(diǎn)的控制，這是很危險(xiǎn)的（盡管有句話說真理總是掌握在少數(shù)人手中，但那不過是那一小撮人聊以自慰的詞句罷了，咱還是得民主）。

但解決方法也很明顯，就是仿照人的思路，允許一些點(diǎn)到分類平面的距離不滿足原先的要求。由于不同的訓(xùn)練集各點(diǎn)的間距尺度不太一樣，因此用間隔（而不是幾何間隔）來衡量有利于我們表達(dá)形式的簡潔。我們?cè)葘?duì)樣本點(diǎn)的要求是：

意思是說離分類面最近的樣本點(diǎn)函數(shù)間隔也要比1大。如果要引入容錯(cuò)性，就給1這個(gè)硬性的閾值加一個(gè)松弛變量，即允許

因?yàn)樗沙谧兞渴欠秦?fù)的，因此最終的結(jié)果是要求間隔可以比1小。但是當(dāng)某些點(diǎn)出現(xiàn)這種間隔比1小的情況時(shí)（這些點(diǎn)也叫離群點(diǎn)），意味著我們放棄了對(duì)這些點(diǎn)的精確分類，而這對(duì)我們的分類器來說是種損失。但是放棄這些點(diǎn)也帶來了好處，那就是使分類面不必向這些點(diǎn)的方向移動(dòng)，因而可以得到更大的幾何間隔（在低維空間看來，分類邊界也更平滑）。顯然我們必須權(quán)衡這種損失和好處。好處很明顯，我們得到的分類間隔越大，好處就越多?；仡櫸覀?cè)嫉挠查g隔分類對(duì)應(yīng)的優(yōu)化問題：

||w||2就是我們的目標(biāo)函數(shù)（當(dāng)然系數(shù)可有可無），希望它越小越好，因而損失就必然是一個(gè)能使之變大的量（能使它變小就不叫損失了，我們本來就希望目標(biāo)函數(shù)值越小越好）。那如何來衡量損失，有兩種常用的方式，有人喜歡用

而有人喜歡用

其中l(wèi)都是樣本的數(shù)目。兩種方法沒有大的區(qū)別。如果選擇了第一種，得到的方法的就叫做二階軟間隔分類器，第二種就叫做一階軟間隔分類器。把損失加入到目標(biāo)函數(shù)里的時(shí)候，就需要一個(gè)懲罰因子（cost，也就是libSVM的諸多參數(shù)中的C），原來的優(yōu)化問題就變成了下面這樣：

這個(gè)式子有這么幾點(diǎn)要注意：

一是并非所有的樣本點(diǎn)都有一個(gè)松弛變量與其對(duì)應(yīng)。實(shí)際上只有“離群點(diǎn)”才有，或者也可以這么看，所有沒離群的點(diǎn)松弛變量都等于0（對(duì)負(fù)類來說，離群點(diǎn)就是在前面圖中，跑到H2右側(cè)的那些負(fù)樣本點(diǎn)，對(duì)正類來說，就是跑到H1左側(cè)的那些正樣本點(diǎn)）。

【在迭代求w的時(shí)候如何樣本點(diǎn)非離群點(diǎn)，即分類正確，那么就設(shè)它的松弛變量為0了。。?！?/p>

二是松弛變量的值實(shí)際上標(biāo)示出了對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到底離群有多遠(yuǎn)，值越大，點(diǎn)就越遠(yuǎn)。

三是懲罰因子C決定了你有多重視離群點(diǎn)帶來的損失，顯然當(dāng)所有離群點(diǎn)的松弛變量的和一定時(shí)，你定的C越大，對(duì)目標(biāo)函數(shù)的損失也越大，此時(shí)就暗示著你非常不愿意放棄這些離群點(diǎn)，最極端的情況是你把C定為無限大，這樣只要稍有一個(gè)點(diǎn)離群，目標(biāo)函數(shù)的值馬上變成無限大，馬上讓問題變成無解，這就退化成了硬間隔問題。

四是懲罰因子C不是一個(gè)變量，整個(gè)優(yōu)化問題在解的時(shí)候，C是一個(gè)你必須事先指定的值，指定這個(gè)值以后，解一下，得到一個(gè)分類器，然后用測試數(shù)據(jù)看看結(jié)果怎么樣，如果不夠好，換一個(gè)C的值，再解一次優(yōu)化問題，得到另一個(gè)分類器，再看看效果，如此就是一個(gè)參數(shù)尋優(yōu)的過程，但這和優(yōu)化問題本身決不是一回事，優(yōu)化問題在解的過程中，C一直是定值，要記住。

五是盡管加了松弛變量這么一說，但這個(gè)優(yōu)化問題仍然是一個(gè)優(yōu)化問題（汗，這不廢話么），解它的過程比起原始的硬間隔問題來說，沒有任何更加特殊的地方。

從大的方面說優(yōu)化問題解的過程，就是先試著確定一下w，也就是確定了前面圖中的三條直線，這時(shí)看看間隔有多大，又有多少點(diǎn)離群，把目標(biāo)函數(shù)的值算一算，再換一組三條直線（你可以看到，分類的直線位置如果移動(dòng)了，有些原來離群的點(diǎn)會(huì)變得不再離群，而有的本來不離群的點(diǎn)會(huì)變成離群點(diǎn)），再把目標(biāo)函數(shù)的值算一算，如此往復(fù)（迭代），直到最終找到目標(biāo)函數(shù)最小時(shí)的w。

啰嗦了這么多，讀者一定可以馬上自己總結(jié)出來，松弛變量也就是個(gè)解決線性不可分問題的方法罷了，但是回想一下，核函數(shù)的引入不也是為了解決線性不可分的問題么？為什么要為了一個(gè)問題使用兩種方法呢？

其實(shí)兩者還有微妙的不同。一般的過程應(yīng)該是這樣，還以文本分類為例。在原始的低維空間中，樣本相當(dāng)?shù)牟豢煞郑瑹o論你怎么找分類平面，總會(huì)有大量的離群點(diǎn)，此時(shí)用核函數(shù)向高維空間映射一下，雖然結(jié)果仍然是不可分的，但比原始空間里的要更加接近線性可分的狀態(tài)（就是達(dá)到了近似線性可分的狀態(tài)），此時(shí)再用松弛變量處理那些少數(shù)“冥頑不化”的離群點(diǎn)，就簡單有效得多啦。

本節(jié)中的（式1）也確實(shí)是支持向量機(jī)最最常用的形式。至此一個(gè)比較完整的支持向量機(jī)框架就有了，簡單說來，支持向量機(jī)就是使用了核函數(shù)的軟間隔線性分類法。

下一節(jié)會(huì)說說松弛變量剩下的一點(diǎn)點(diǎn)東西，順便搞個(gè)讀者調(diào)查，看看大家還想侃侃SVM的哪些方面。

SVM入門（九）松弛變量（續(xù)）

接下來要說的東西其實(shí)不是松弛變量本身，但由于是為了使用松弛變量才引入的，因此放在這里也算合適，那就是懲罰因子C?；仡^看一眼引入了松弛變量以后的優(yōu)化問題：

注意其中C的位置，也可以回想一下C所起的作用（表征你有多么重視離群點(diǎn)，C越大越重視，越不想丟掉它們）。這個(gè)式子是以前做SVM的人寫的，大家也就這么用，但沒有任何規(guī)定說必須對(duì)所有的松弛變量都使用同一個(gè)懲罰因子，我們完全可以給每一個(gè)離群點(diǎn)都使用不同的C，這時(shí)就意味著你對(duì)每個(gè)樣本的重視程度都不一樣，有些樣本丟了也就丟了，錯(cuò)了也就錯(cuò)了，這些就給一個(gè)比較小的C；而有些樣本很重要，決不能分類錯(cuò)誤（比如中央下達(dá)的文件啥的，笑），就給一個(gè)很大的C。

當(dāng)然實(shí)際使用的時(shí)候并沒有這么極端，但一種很常用的變形可以用來解決分類問題中樣本的“偏斜”問題。

先來說說樣本的偏斜問題，也叫數(shù)據(jù)集偏斜（unbalanced），它指的是參與分類的兩個(gè)類別（也可以指多個(gè)類別）樣本數(shù)量差異很大。比如說正類有10，000個(gè)樣本，而負(fù)類只給了100個(gè)，這會(huì)引起的問題顯而易見，可以看看下面的圖：

方形的點(diǎn)是負(fù)類。H，H1，H2是根據(jù)給的樣本算出來的分類面，由于負(fù)類的樣本很少很少，所以有一些本來是負(fù)類的樣本點(diǎn)沒有提供，比如圖中兩個(gè)灰色的方形點(diǎn)，如果這兩個(gè)點(diǎn)有提供的話，那算出來的分類面應(yīng)該是H’，H2’和H1，他們顯然和之前的結(jié)果有出入，實(shí)際上負(fù)類給的樣本點(diǎn)越多，就越容易出現(xiàn)在灰色點(diǎn)附近的點(diǎn)，我們算出的結(jié)果也就越接近于真實(shí)的分類面。但現(xiàn)在由于偏斜的現(xiàn)象存在，使得數(shù)量多的正類可以把分類面向負(fù)類的方向“推”，因而影響了結(jié)果的準(zhǔn)確性。

對(duì)付數(shù)據(jù)集偏斜問題的方法之一就是在懲罰因子上作文章，想必大家也猜到了，那就是給樣本數(shù)量少的負(fù)類更大的懲罰因子，表示我們重視這部分樣本（本來數(shù)量就少，再拋棄一些，那人家負(fù)類還活不活了），因此我們的目標(biāo)函數(shù)中因松弛變量而損失的部分就變成了：

其中i=1…p都是正樣本，j=p+1…p+q都是負(fù)樣本。libSVM這個(gè)算法包在解決偏斜問題的時(shí)候用的就是這種方法。

那C+和C-怎么確定呢？它們的大小是試出來的（參數(shù)調(diào)優(yōu)），但是他們的比例可以有些方法來確定。咱們先假定說C+是5這么大，那確定C-的一個(gè)很直觀的方法就是使用兩類樣本數(shù)的比來算，對(duì)應(yīng)到剛才舉的例子，C-就可以定為500這么大（因?yàn)?0，000：100=100：1嘛）。

但是這樣并不夠好，回看剛才的圖，你會(huì)發(fā)現(xiàn)正類之所以可以“欺負(fù)”負(fù)類，其實(shí)并不是因?yàn)樨?fù)類樣本少，真實(shí)的原因是負(fù)類的樣本分布的不夠廣（沒擴(kuò)充到負(fù)類本應(yīng)該有的區(qū)域）。說一個(gè)具體點(diǎn)的例子，現(xiàn)在想給政治類和體育類的文章做分類，政治類文章很多，而體育類只提供了幾篇關(guān)于籃球的文章，這時(shí)分類會(huì)明顯偏向于政治類，如果要給體育類文章增加樣本，但增加的樣本仍然全都是關(guān)于籃球的（也就是說，沒有足球，排球，賽車，游泳等等），那結(jié)果會(huì)怎樣呢？雖然體育類文章在數(shù)量上可以達(dá)到與政治類一樣多，但過于集中了，結(jié)果仍會(huì)偏向于政治類！所以給C+和C-確定比例更好的方法應(yīng)該是衡量他們分布的程度。比如可以算算他們?cè)诳臻g中占據(jù)了多大的體積，例如給負(fù)類找一個(gè)超球——就是高維空間里的球啦——它可以包含所有負(fù)類的樣本，再給正類找一個(gè)，比比兩個(gè)球的半徑，就可以大致確定分布的情況。顯然半徑大的分布就比較廣，就給小一點(diǎn)的懲罰因子。

但是這樣還不夠好，因?yàn)橛械念悇e樣本確實(shí)很集中，這不是提供的樣本數(shù)量多少的問題，這是類別本身的特征（就是某些話題涉及的面很窄，例如計(jì)算機(jī)類的文章就明顯不如文化類的文章那么“天馬行空”），這個(gè)時(shí)候即便超球的半徑差異很大，也不應(yīng)該賦予兩個(gè)類別不同的懲罰因子。

看到這里讀者一定瘋了，因?yàn)檎f來說去，這豈不成了一個(gè)解決不了的問題？然而事實(shí)如此，完全的方法是沒有的，根據(jù)需要，選擇實(shí)現(xiàn)簡單又合用的就好（例如libSVM就直接使用樣本數(shù)量的比）。

SVM入門（十）將SVM用于多類分類

從 SVM的那幾張圖可以看出來，SVM是一種典型的兩類分類器，即它只回答屬于正類還是負(fù)類的問題。而現(xiàn)實(shí)中要解決的問題，往往是多類的問題（少部分例外，例如垃圾郵件過濾，就只需要確定“是”還是“不是”垃圾郵件），比如文本分類，比如數(shù)字識(shí)別。如何由兩類分類器得到多類分類器，就是一個(gè)值得研究的問題。

還以文本分類為例，現(xiàn)成的方法有很多，其中一種一勞永逸的方法，就是真的一次性考慮所有樣本，并求解一個(gè)多目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化問題，一次性得到多個(gè)分類面，就像下圖這樣：

多個(gè)超平面把空間劃分為多個(gè)區(qū)域，每個(gè)區(qū)域?qū)?yīng)一個(gè)類別，給一篇文章，看它落在哪個(gè)區(qū)域就知道了它的分類。

看起來很美對(duì)不對(duì)？只可惜這種算法還基本停留在紙面上，因?yàn)橐淮涡郧蠼獾姆椒ㄓ?jì)算量實(shí)在太大，大到無法實(shí)用的地步。

稍稍退一步，我們就會(huì)想到所謂“一類對(duì)其余”的方法，就是每次仍然解一個(gè)兩類分類的問題。比如我們有5個(gè)類別，第一次就把類別1的樣本定為正樣本，其余2，3，4，5的樣本合起來定為負(fù)樣本，這樣得到一個(gè)兩類分類器，它能夠指出一篇文章是還是不是第1類的；第二次我們把類別2 的樣本定為正樣本，把1，3，4，5的樣本合起來定為負(fù)樣本，得到一個(gè)分類器，如此下去，我們可以得到5個(gè)這樣的兩類分類器（總是和類別的數(shù)目一致）。到了有文章需要分類的時(shí)候，我們就拿著這篇文章挨個(gè)分類器的問：是屬于你的么？是屬于你的么？哪個(gè)分類器點(diǎn)頭說是了，文章的類別就確定了。這種方法的好處是每個(gè)優(yōu)化問題的規(guī)模比較小，而且分類的時(shí)候速度很快（只需要調(diào)用5個(gè)分類器就知道了結(jié)果）。但有時(shí)也會(huì)出現(xiàn)兩種很尷尬的情況，例如拿一篇文章問了一圈，每一個(gè)分類器都說它是屬于它那一類的，或者每一個(gè)分類器都說它不是它那一類的，前者叫分類重疊現(xiàn)象，后者叫不可分類現(xiàn)象。分類重疊倒還好辦，隨便選一個(gè)結(jié)果都不至于太離譜，或者看看這篇文章到各個(gè)超平面的距離，哪個(gè)遠(yuǎn)就判給哪個(gè)。不可分類現(xiàn)象就著實(shí)難辦了，只能把它分給第6個(gè)類別了……更要命的是，本來各個(gè)類別的樣本數(shù)目是差不多的，但“其余”的那一類樣本數(shù)總是要數(shù)倍于正類（因?yàn)樗浅愐酝馄渌悇e的樣本之和嘛），這就人為的造成了上一節(jié)所說的“數(shù)據(jù)集偏斜”問題。

因此我們還得再退一步，還是解兩類分類問題，還是每次選一個(gè)類的樣本作正類樣本，而負(fù)類樣本則變成只選一個(gè)類（稱為“一對(duì)一單挑”的方法，哦，不對(duì)，沒有單挑，就是“一對(duì)一”的方法，呵呵），這就避免了偏斜。因此過程就是算出這樣一些分類器，第一個(gè)只回答“是第1類還是第2類”，第二個(gè)只回答“是第1類還是第3類”，第三個(gè)只回答“是第1類還是第4類”，如此下去，你也可以馬上得出，這樣的分類器應(yīng)該有5 X 4/2=10個(gè)（通式是，如果有k個(gè)類別，則總的兩類分類器數(shù)目為k(k-1)/2）。雖然分類器的數(shù)目多了，但是在訓(xùn)練階段（也就是算出這些分類器的分類平面時(shí)）所用的總時(shí)間卻比“一類對(duì)其余”方法少很多，在真正用來分類的時(shí)候，把一篇文章扔給所有分類器，第一個(gè)分類器會(huì)投票說它是“1”或者“2”，第二個(gè)會(huì)說它是“1”或者“3”，讓每一個(gè)都投上自己的一票，最后統(tǒng)計(jì)票數(shù)，如果類別“1”得票最多，就判這篇文章屬于第1類。這種方法顯然也會(huì)有分類重疊的現(xiàn)象，但不會(huì)有不可分類現(xiàn)象，因?yàn)榭偛豢赡芩蓄悇e的票數(shù)都是0。看起來夠好么？其實(shí)不然，想想分類一篇文章，我們調(diào)用了多少個(gè)分類器？10個(gè)，這還是類別數(shù)為5的時(shí)候，類別數(shù)如果是1000，要調(diào)用的分類器數(shù)目會(huì)上升至約500,000個(gè)（類別數(shù)的平方量級(jí)）。這如何是好？

看來我們必須再退一步，在分類的時(shí)候下功夫，我們還是像一對(duì)一方法那樣來訓(xùn)練，只是在對(duì)一篇文章進(jìn)行分類之前，我們先按照下面圖的樣子來組織分類器（如你所見，這是一個(gè)有向無環(huán)圖，因此這種方法也叫做DAG SVM）

這樣在分類時(shí),我們就可以先問分類器“1對(duì)5”（意思是它能夠回答“是第1類還是第5類”），如果它回答5，我們就往左走，再問“2對(duì)5”這個(gè)分類器，如果它還說是“5”，我們就繼續(xù)往左走，這樣一直問下去，就可以得到分類結(jié)果。好處在哪？我們其實(shí)只調(diào)用了4個(gè)分類器（如果類別數(shù)是k，則只調(diào)用k-1個(gè)），分類速度飛快，且沒有分類重疊和不可分類現(xiàn)象！缺點(diǎn)在哪？假如最一開始的分類器回答錯(cuò)誤（明明是類別1的文章，它說成了5），那么后面的分類器是無論如何也無法糾正它的錯(cuò)誤的（因?yàn)楹竺娴姆诸惼鲏焊鶝]有出現(xiàn)“1”這個(gè)類別標(biāo)簽），其實(shí)對(duì)下面每一層的分類器都存在這種錯(cuò)誤向下累積的現(xiàn)象。。

不過不要被DAG方法的錯(cuò)誤累積嚇倒，錯(cuò)誤累積在一對(duì)其余和一對(duì)一方法中也都存在，DAG方法好于它們的地方就在于，累積的上限，不管是大是小，總是有定論的，有理論證明。而一對(duì)其余和一對(duì)一方法中，盡管每一個(gè)兩類分類器的泛化誤差限是知道的，但是合起來做多類分類的時(shí)候，誤差上界是多少，沒人知道，這意味著準(zhǔn)確率低到0也是有可能的，這多讓人郁悶。

而且現(xiàn)在DAG方法根節(jié)點(diǎn)的選?。ㄒ簿褪侨绾芜x第一個(gè)參與分類的分類器），也有一些方法可以改善整體效果，我們總希望根節(jié)點(diǎn)少犯錯(cuò)誤為好，因此參與第一次分類的兩個(gè)類別，最好是差別特別特別大，大到以至于不太可能把他們分錯(cuò)；或者我們就總?cè)≡趦深惙诸愔姓_率最高的那個(gè)分類器作根節(jié)點(diǎn)，或者我們讓兩類分類器在分類的時(shí)候，不光輸出類別的標(biāo)簽，還輸出一個(gè)類似“置信度”的東東，當(dāng)它對(duì)自己的結(jié)果不太自信的時(shí)候，我們就不光按照它的輸出走，把它旁邊的那條路也走一走，等等。

大Tips：SVM的計(jì)算復(fù)雜度

使用SVM進(jìn)行分類的時(shí)候，實(shí)際上是訓(xùn)練和分類兩個(gè)完全不同的過程，因而討論復(fù)雜度就不能一概而論，我們這里所說的主要是訓(xùn)練階段的復(fù)雜度，即解那個(gè)二次規(guī)劃問題的復(fù)雜度。對(duì)這個(gè)問題的解，基本上要?jiǎng)澐譃閮纱髩K，解析解和數(shù)值解。

解析解就是理論上的解，它的形式是表達(dá)式，因此它是精確的，一個(gè)問題只要有解（無解的問題還跟著摻和什么呀，哈哈），那它的解析解是一定存在的。當(dāng)然存在是一回事，能夠解出來，或者可以在可以承受的時(shí)間范圍內(nèi)解出來，就是另一回事了。對(duì)SVM來說，求得解析解的時(shí)間復(fù)雜度最壞可以達(dá)到O(Nsv3)，其中Nsv是支持向量的個(gè)數(shù)，而雖然沒有固定的比例，但支持向量的個(gè)數(shù)多少也和訓(xùn)練集的大小有關(guān)。

數(shù)值解就是可以使用的解，是一個(gè)一個(gè)的數(shù)，往往都是近似解。求數(shù)值解的過程非常像窮舉法，從一個(gè)數(shù)開始，試一試它當(dāng)解效果怎樣，不滿足一定條件（叫做停機(jī)條件，就是滿足這個(gè)以后就認(rèn)為解足夠精確了，不需要繼續(xù)算下去了）就試下一個(gè)，當(dāng)然下一個(gè)數(shù)不是亂選的，也有一定章法可循。有的算法，每次只嘗試一個(gè)數(shù)，有的就嘗試多個(gè)，而且找下一個(gè)數(shù)字（或下一組數(shù)）的方法也各不相同，停機(jī)條件也各不相同，最終得到的解精度也各不相同，可見對(duì)求數(shù)值解的復(fù)雜度的討論不能脫開具體的算法。

一個(gè)具體的算法，Bunch-Kaufman訓(xùn)練算法，典型的時(shí)間復(fù)雜度在O(Nsv3+LNsv2+dLNsv)和O(dL2)之間，其中Nsv是支持向量的個(gè)數(shù)，L是訓(xùn)練集樣本的個(gè)數(shù)，d是每個(gè)樣本的維數(shù)（原始的維數(shù)，沒有經(jīng)過向高維空間映射之前的維數(shù)）。復(fù)雜度會(huì)有變化，是因?yàn)樗还飧斎雴栴}的規(guī)模有關(guān)（不光和樣本的數(shù)量，維數(shù)有關(guān)），也和問題最終的解有關(guān)（即支持向量有關(guān)），如果支持向量比較少，過程會(huì)快很多，如果支持向量很多，接近于樣本的數(shù)量，就會(huì)產(chǎn)生O(dL2)這個(gè)十分糟糕的結(jié)果（給10，000個(gè)樣本，每個(gè)樣本1000維，基本就不用算了，算不出來，呵呵，而這種輸入規(guī)模對(duì)文本分類來說太正常了）。

這樣再回頭看就會(huì)明白為什么一對(duì)一方法盡管要訓(xùn)練的兩類分類器數(shù)量多，但總時(shí)間實(shí)際上比一對(duì)其余方法要少了，因?yàn)橐粚?duì)其余方法每次訓(xùn)練都考慮了所有樣本（只是每次把不同的部分劃分為正類或者負(fù)類而已），自然慢上很多。