給定頂點座標均是整點（或正方形格點）的簡單多邊形，皮克定理說明了其面積A和內部格點數目i、邊上格點數目b的關系：A = i + b/2 - 1。
證明
因為所有簡單多邊形都可切割為一個三角形和另一個簡單多邊形。考慮一個簡單多邊形P，及跟P有一條共同邊的三角形T。若P符合皮克公式，則只要證明P加上T的PT亦符合皮克公式（I），與及三角形符合皮克公式（II），就可根據數學歸納法，對于所有簡單多邊形皮克公式都是成立的。
多邊形
設P和T的共同邊上有c個格點。
- P的面積： iP + bP/2 - 1
- T的面積： iT + bT/2 - 1
- PT的面積：
- (iT + iP + c - 2) + (bT- c + 2 + bP - c + 2 ) /2 - 1
- = iPT + bPT/2 - 1
三角形
證明分三部分：證明以下的圖形符合皮克定理：
- 所有平行于軸線的矩形；
- 以上述矩形的兩條鄰邊和對角線組成的直角三角形；
- 所有三角形（因為它們都可內接于矩形內，將矩形分割成原三角形和至多3個第二點提到的直角三角形）。
矩形
設矩形R長邊短邊各有m,n個格點：
- AR = (m-1)(n-1)
- iR = (m-2)(n-2)
- bR = 2(m+n)-4
- iR + bR/2 - 1
- = (m-2)(n-2) + (m+n) - 2 - 1
- = mn - (m + n) +1
- = (m-1)(n-1)
直角三角形
易見兩條鄰邊和對角線組成的兩個直角三角形全等，且i,b相等。設其斜邊上有c個格點。
- b = m+n+c-3
- i = ((m-2)(n-2) - c + 2)/2
- i + b/2 - 1
- = ((m-2)(n-2) - c + 2)/2 + (m+n+c-3)/2 - 1
- = (m-2)(n-2)/2 + (m+n - 3)/2
- = (m-1)(n-1)/2
一般三角形
推廣
- 取格點的組成圖形的面積為一單位。在平行四邊形格點，皮克定理依然成立。套用于任意三角形格點，皮克定理則是A = 2i + b - 2。
- 對于非簡單的多邊形P，皮克定理A = i + b/2 - χ(P)，其中χ(P)表示P的歐拉特征數。
- 高維推廣：Ehrhart多項式；一維：植樹問題。
- 皮克定理和歐拉公式（V-E+F=2）等價。
定理提出者
Georg Alexander Pick，1859年生于維也納，1943年死于特萊西恩施塔特集中營。
相關書籍
外部連結
en:Pick's theorem fr:Théorème de Pick it:Teorema di Pick pl:Wzór Picka ru:Теорема Пика
posted on 2009-10-06 17:59
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