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http://www.shnenglu.com/zoyi-zhang/articles/43456.html 歐拉函數 ：歐拉函數是數論中很重要的一個函數，歐拉函數是指：對于一個正整數 n ，小于 n 且和 n 互質的正整數（包括 1）的個數，記作 φ(n) 。 完全余數集合：定義小于 n 且和 n 互質的數構成的集合為 Zn ，稱呼這個集合為 n 的完全余數集合。 顯然 |Zn| ＝φ(n) 。有關性質：對于素數 p ，φ(p) = p -1 。對于兩個不同素數 p， q ，它們的乘積 n = p * q 滿足 φ(n) = (p -1) * (q -1) 。這是因為 Zn = {1, 2, 3, ... , n - 1} - {p, 2p, ... , (q - 1) * p} - {q, 2q, ... , (p - 1) * q} ， 則 φ(n) = (n - 1) - (q - 1) - (p - 1) = (p -1) * (q -1) ＝φ(p) * φ(q) 。歐拉定理 ：對于互質的正整數 a 和 n ，有 aφ(n) ≡ 1 mod n 。證明：
( 1 ) 令 Zn = {x
1, x
2, ..., x
φ(n)}
， S = {a * x
1 mod n, a * x
2 mod n, ... , a * x
φ(n) mod n}
， 則 Zn = S 。 ① 因為 a 與 n 互質， x
i (1 ≤ i ≤ φ(n)) 與 n 互質， 所以 a * x
i 與 n 互質，所以 a * x
i mod n ∈ Zn 。 ② 若 i ≠ j ， 那么 x
i ≠ x
j，且由 a, n互質可得 a * x
i mod n ≠ a * x
j mod n （消去律）。( 2 ) a
φ(n) * x
1 * x
2 *... * x
φ(n) mod n
≡ (a * x
1) * (a * x
2) * ... * (a * x
φ(n)) mod n
≡ (a * x
1 mod n) * (a * x
2 mod n) * ... * (a * x
φ(n) mod n) mod n
≡ x
1 * x
2 * ... * x
φ(n) mod n
對比等式的左右兩端，因為 x
i (1 ≤ i ≤ φ(n)) 與 n 互質，所以 a
φ(n) ≡ 1 mod n （消去律）。
注：
消去律：如果 gcd(c,p) = 1 ，則 ac ≡ bc mod p ⇒ a ≡ b mod p 。
費馬定理 ：若正整數 a 與素數 p 互質，則有
ap - 1 ≡ 1 mod p 。
證明這個定理非常簡單，由于 φ(p) = p -1，代入歐拉定理即可證明。*****************************************************************************
補充：歐拉函數公式
( 1 ) pk 的歐拉函數
對于給定的一個素數 p ， φ(p) = p -1。則對于正整數 n = pk ，
φ(n) = pk - pk -1
證明：
小于 pk 的正整數個數為 pk - 1個，其中
和 pk 不互質的正整數有{p * 1,p * 2,...,p * (pk - 1-1)} 共計 pk - 1 - 1 個
所以 φ(n) = pk - 1 - (pk - 1 - 1) = pk - pk - 1 。
( 2 ) p * q 的歐拉函數
假設 p, q是兩個互質的正整數，則 p * q 的歐拉函數為
φ(p * q) = φ(p) * φ(q) ， gcd(p, q) = 1 。
證明：
令 n = p * q ， gcd(p,q) = 1
根據中國余數定理，有
Zn 和 Zp × Zq 之間存在一一映射
（我的想法是： a ∈ Zp ， b ∈ Zq ⇔ b * p + a * q ∈ Zn 。）
所以 n 的完全余數集合的元素個數等于集合 Zp × Zq 的元素個數。
而后者的元素個數為 φ(p) * φ(q) ，所以有
φ(p * q) = φ(p) * φ(q) 。
( 3 ) 任意正整數的歐拉函數
任意一個整數 n 都可以表示為其素因子的乘積為：
I
n = ∏ piki (I 為 n 的素因子的個數)
i=1
根據前面兩個結論，很容易得出它的歐拉函數為：
I I
Φ(n) = ∏ piki -1(pi -1) = n ∏ (1 - 1 / pi)
i=1 i=1
對于任意 n > 2，2 | Φ(n) ,因為必存在 pi -1 是偶數。
posted on 2012-04-11 07:11
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組合數學