皮克定理

From 皮果維客

給定頂點(diǎn)座標(biāo)均是整點(diǎn)（或正方形格點(diǎn)）的簡單多邊形，皮克定理說明了其面積A和內(nèi)部格點(diǎn)數(shù)目i、邊上格點(diǎn)數(shù)目b的關(guān)系：A = i + b/2 - 1。

證明

因?yàn)樗泻唵味噙呅味伎汕懈顬橐粋€(gè)三角形和另一個(gè)簡單多邊形。考慮一個(gè)簡單多邊形P，及跟P有一條共同邊的三角形T。若P符合皮克公式，則只要證明P加上T的PT亦符合皮克公式（I），與及三角形符合皮克公式（II），就可根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，對(duì)于所有簡單多邊形皮克公式都是成立的。

多邊形

設(shè)P和T的共同邊上有c個(gè)格點(diǎn)。

• P的面積： i_P + b_P/2 - 1
• T的面積： i_T + b_T/2 - 1
• PT的面積：

(i_T + i_P + c - 2) + (b_T- c + 2 + b_P - c + 2 ) /2 - 1

= i_PT + b_PT/2 - 1

三角形

證明分三部分：證明以下的圖形符合皮克定理：

1. 所有平行于軸線的矩形；
2. 以上述矩形的兩條鄰邊和對(duì)角線組成的直角三角形；
3. 所有三角形（因?yàn)樗鼈兌伎蓛?nèi)接于矩形內(nèi)，將矩形分割成原三角形和至多3個(gè)第二點(diǎn)提到的直角三角形）。

矩形

設(shè)矩形R長邊短邊各有m,n個(gè)格點(diǎn)：

• A_R = (m-1)(n-1)
• i_R = (m-2)(n-2)
• b_R = 2(m+n)-4

i_R + b_R/2 - 1

= (m-2)(n-2) + (m+n) - 2 - 1

= mn - (m + n) +1

= (m-1)(n-1)

直角三角形

易見兩條鄰邊和對(duì)角線組成的兩個(gè)直角三角形全等，且i,b相等。設(shè)其斜邊上有c個(gè)格點(diǎn)。

• b = m+n+c-3
• i = ((m-2)(n-2) - c + 2)/2

i + b/2 - 1

= ((m-2)(n-2) - c + 2)/2 + (m+n+c-3)/2 - 1

= (m-2)(n-2)/2 + (m+n - 3)/2

= (m-1)(n-1)/2

一般三角形

推廣

• 取格點(diǎn)的組成圖形的面積為一單位。在平行四邊形格點(diǎn)，皮克定理依然成立。套用于任意三角形格點(diǎn)，皮克定理則是A = 2i + b - 2。
• 對(duì)于非簡單的多邊形P，皮克定理A = i + b/2 - χ(P)，其中χ(P)表示P的歐拉特征數(shù)。
• 高維推廣：Ehrhart多項(xiàng)式；一維：植樹問題。
• 皮克定理和歐拉公式（V-E+F=2）等價(jià)。

定理提出者

Georg Alexander Pick，1859年生于維也納，1943年死于特萊西恩施塔特集中營。

相關(guān)書籍

• 《格點(diǎn)和面積》 閔嗣鶴著

外部連結(jié)

• 以皮克定理證明歐拉公式（英）
• 談求面積的 Pick 公式，蔡聰明
• http://www.cut-the-knot.org/ctk/Pick.shtmlde:Satz von Pick

en:Pick's theorem fr:Théorème de Pick it:Teorema di Pick pl:Wzór Picka ru:Теорема Пика