【圖論】

　1、Dijkstra算法
　2、Floyd算法
　3、Kruskal算法
　4、Prim算法
　5、歐拉回路

Dijkstra算法
Dijkstra算法是典型最短路算法，用于計算一個節點到其他所有節點的最短路徑。主要特點是以起始點為中心向外層層擴展，直到擴展到終點為止。Dijkstra算法能得出最短路徑的最優解，但由于它遍歷計算的節點很多，所以效率低。
Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法，在很多專業課程中都作為基本內容有詳細的介紹，如數據結構，圖論，運籌學等等。
Dijkstra一般的表述通常有兩種方式，一種用永久和臨時標號方式，一種是用OPEN, CLOSE表方式，Drew為了和下面要介紹的 A* 算法和 D* 算法表述一致，這里均采用OPEN,CLOSE表的方式。

大概過程：
創建兩個表，OPEN, CLOSE。
OPEN表保存所有已生成而未考察的節點，CLOSED表中記錄已訪問過的節點。
1． 訪問路網中里起始點最近且沒有被檢查過的點，把這個點放入OPEN組中等待檢查。
2． 從OPEN表中找出距起始點最近的點，找出這個點的所有子節點，把這個點放到CLOSE表中。
3． 遍歷考察這個點的子節點。求出這些子節點距起始點的距離值，放子節點到OPEN表中。
4． 重復2，3，步。直到OPEN表為空，或找到目標點。

Floyd算法
Floyd-Warshall 算法用來找出每對點之間的最短距離。它需要用鄰接矩陣來儲存邊，這個算法通過考慮最佳子路徑來得到最佳路徑。

注意單獨一條邊的路徑也不一定是最佳路徑。

從任意一條單邊路徑開始。所有兩點之間的距離是邊的權，或者無窮大，如果兩點之間沒有邊相連。
對于每一對頂點 u 和 v，看看是否存在一個頂點 w 使得從 u 到 w 再到 v 比己知的路徑更短。如果是更新它。
不可思議的是，只要按排適當，就能得到結果。
// dist(i,j) 為從節點i到節點j的最短距離
For i←1 to n do
For j←1 to n do
dist(i,j) = weight(i,j)

For k←1 to n do // k為“媒介節點”
For i←1 to n do
For j←1 to n do
if (dist(i,k) + dist(k,j) < dist(i,j)) then // 是否是更短的路徑？
dist(i,j) = dist(i,k) + dist(k,j)這個算法的效率是O(V3)。它需要鄰接矩陣來儲存圖。
這個算法很容易實現，只要幾行。
即使問題是求單源最短路徑，還是推薦使用這個算法，如果時間和空間允許(只要有放的下鄰接矩陣的空間，時間上就沒問題)。
[編輯] 時間復雜度 O(N^3)

Kruskal算法
基本思想
假設WN=(V,{E})是一個含有n個頂點的連通網，則按照克魯斯卡爾算法構造最小生成樹的過程為：先構造一個只含n個頂點，而邊集為空的子圖，若將該子圖中各個頂點看成是各棵樹上的根結點，則它是一個含有n棵樹的一個森林。之后，從網的邊集E中選取一條權值最小的邊，若該條邊的兩個頂點分屬不同的樹，則將其加入子圖，也就是說，將這兩個頂點分別所在的兩棵樹合成一棵樹；反之，若該條邊的兩個頂點已落在同一棵樹上，則不可取，而應該取下一條權值最小的邊再試之。依次類推，直至森林中只有一棵樹，也即子圖中含有n-1條邊為止。</p>

Procedure kruskal(V,E);
begin
sort(E,1,m);//將邊按照權值排序
for t:=1 to n do begin
if getfather(edge[t].u)<>getfather(edge[t].v) then begin //利用并查集判斷兩個頂點是否在同一集合內
tot:=tot+edge[t].data;//計算權值和
union(edge[t].u,edge[t].v);//合并頂點
inc(k);//合并次數
end;
end;
if k=n-1 then 形成了一棵最小生成樹
else 不存在這樣的最小生成樹；
end;
優化：在判斷兩個頂點是否在同一集合內時可用并查集 　

Prim算法

基本思想
1. 在圖G=(V, E) （V表示頂點 ，E表示邊）中，從集合V中任取一個頂點（例如取頂點v0）放入集合 U中，這時 U={v0}，集合T(E)為空。
2. 從v0出發尋找與U中頂點相鄰（另一頂點在V中）權值最小的邊的另一頂點v1，并使v1加入U。即U={v0,v1 }，同時將該邊加入集合T(E)中。
3. 重復2，直到U=V為止。
這時T(E)中有n-1條邊，T = (U, T(E))就是一棵最小生成樹。

PASCAL代碼
procedure prim(v0:integer);
var
lowcost,closest:array[1..maxn] of integer;
i,j,k,min:integer;
begin
for i:=1 to n do begin
lowcost[i]:=cost[v0,i];
closest[i]:=v0;
end;
for i:=1 to n-1 do begin
{尋找離生成樹最近的未加入頂點k}
min:=maxlongint;
for j:=1 to n do
if (lowcost[j]<min) and (lowcost[j]<>0) then begin
min:=lowcost[j];
k:=j;
end;
lowcost[k]:=0; {將頂點k加入生成樹}
{生成樹中增加一條新的邊k到closest[k]}
{修正各點的lowcost和closest值}
for j:=1 to n do
if cost[k,j]<lowcost[j] then begin
lowcost[j]:=cost[k,j];
closest[j]:=k;
end;
end;
end;{prim}

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歐拉回路
定義：
在一個圖中，尋找一條只通過每條邊一次的路徑，這叫做歐拉路徑，如果起點和終點是同一點，那么這條回路叫做歐拉回路．
判定一個圖中是否存在歐拉回路：并不是每個圖都存在歐拉回路．以下分三種情況：
無向圖：每個點的度數是偶數，則存在歐拉回路．
有向圖：每個結點的入度等于出度，則這個有向圖中存在歐拉回路．
總結：以上兩種情況很簡單，其原理歸根結底是每個結點進入和出去的路徑條數相等，就存在歐拉回路．還有一種更加復雜的情況．那就是混合圖．
混合圖：（有時邊是單向的，有時邊是無向的，就像城市交通網絡，有的街道是單向的，有的街道是雙向的）找一個給每個無向邊定向的策略，這樣就可以把圖轉化成為有向圖，使每個頂點的入度與出度是相等的，這樣就會存在歐拉回路．
具體過程如下：新建一個圖，對于原圖中的無向邊，在新圖中新加一個頂點e(i);對于原圖中的每一個頂點j，在新圖中建一個頂點v(i)，對于原圖中每一個頂點j和k之間有一條無向邊i，那么在新圖中從e(i)出發，添加兩條邊，分別連向v(j)和v(k)，容量都是1．
在新圖中，從源點向所有的e(i)都連一條容量為1的邊．. 對于原圖中每一個頂點j，它原本都有一個入度in、出度out和無向度un。顯然我們的目的是要把所有無向度都變成入度或出度，從而使它的入度等于總度數的一半，也就是(in + out + un) / 2（顯然與此同時出度也是總度數的一半，如果總度數是偶數的話）。當然，如果in已經大于總度數的一半，或者總度數是奇數，那么歐拉回路肯定不存大。如果in小于總度數的一半，并且總度數是偶數，那么我們在新圖中從v（j）到匯點連一條邊，容量就是(in + out + un) / 2 – in，也就是原圖中頂點j還需要多少入度。
按照這個網絡模型算出一個最大流，如果每條從v(j)到匯點的邊都達到滿流量的話，那么歐拉回路成立。

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