我所理解的堆排序算法
堆排序在最壞的情況下，其時間復雜度也能達到O（nlogn）。相對于快速排序來說，這是它最大的優點，此外，堆排序僅需要一個記錄大小供交換用的輔助存儲空間。
堆排序的數據結構是二叉堆，二叉堆的特點有兩個，一個是它是一棵完全二叉樹，另一個是它的根結點小于孩子結點，所以我們很容易找到它的最小結點----根結點；當然如果你想找到最大結點的話，那就要掃描所有的葉子結點，這是很費時間的，如果你想找的是最大結點的話，你最好把它弄成一個大頂堆，即一棵根結點大于孩子結點的完全二叉樹。
二叉堆通常用數組來實現，它舍棄下標0，從下標1開始置數，則很容易滿足，對于數組中任意位置i上的元素，其左兒子的位置在2i上，右兒子的位置在2i+1上，雙親的位置則在i/2上。
堆排序的算法之一是把數組構建成二叉堆----這只要增添一個長度為n+1的輔助空間，然后把原數組的元素依次插入到二叉堆即可。然后刪除二叉堆的根，把它作為排序后的數組的第一個元素,然后使二叉堆的長度減1，并通過上移使得新得到的序列仍為二叉堆，再提取新二叉堆的第一個元素到新數組。依此類推，直到提取最后一個元素，新得到的數組就是排序后的數組。
算法如下：
template <class T>
void Insert(T a[], int len, T x)//把x插入到原長度為len的二叉堆，注意保證新二叉堆不越界
{
int i;
for (i=len; i/2>0 && a[i/2]>x; i/=2)
a[i] = a[i/2];
a[i] = x;
}
template <class T>
T DeleteMin(T a[], int len)//刪除二叉堆的根，并通過上移使得新得到的序列仍為二叉堆
{
if (len == 0)
exit(1);
T min = a[1];//二叉堆的根
T last = a[len--];//二叉堆的最后一個元素
int c;
int i;
for (i=1; i*2<=len; i=c)//把二叉堆的某些元素往前移，使得新得到的序列仍為二叉堆
{
c = i * 2;//i的左兒子
if (c != len && a[c+1] < a[c])//若i有右兒子，且右兒子小于左兒子，c指向右兒子
c++;
if (last > a[c])//若i的小兒子小于二叉堆的最后一個元素，把其移到i的位置
a[i] = a[c];
else
break;
}
a[i] = last; //把二叉堆的最后一個元素放到適當的空位，此時得到的序列仍為二叉堆
return min;
}
template <class T>
void HeapSort(T a[], int len)
{
T *ca = new T[len+1]; //復制原數組到二叉堆
ca[0] = 0;
for (int i=0; i<len; i++) //把元素依次插入到二叉堆
Insert(ca, i+1, a[i]);
for (int i=0; i<len; i++)//依次提取二叉堆的根作為排序后的數組的元素
{
a[i] = DeleteMin(ca, len-i);
}
a[len-1] = ca[1]; //注意不能忘了最后一個元素
delete []ca;
}
在《數據結構習題與解析》（李春葆 編著 清華大學出版社）中看到一個類似的算法，它是把原數組構建成一個大頂堆，然后把大頂堆的第一個元素與最后一個元素交換；再把前n-1個元素重新構造成一個大頂堆，把新大頂堆的第一個元素與最后一個元素交換；依此類推，直到新大頂堆只有一個元素，這樣就得到了一個有序的二叉堆。
算法如下：
template <class T>
void HeapSort(T a[], int len)
{
T *ca = new T[len+1];
ca[0] = 0;
for (int i=0; i<len; i++)
ca[i+1] = a[i];
for (int i=len/2; i>0; i--) //建立初始堆
HeapAdjust(ca, len, i);
for (int i=len; i>1; i--)//進行len-1次循環，完成堆排序
{
Swap(ca[1], ca[i]); //新大頂堆的第一個元素與最后一個元素交換
HeapAdjust(ca, i-1, 1);//篩a[1]元素，得到i-1個元素的堆
}
for (int i=0; i<len; i++)
a[i] = ca[i+1];
delete []ca;
}
template <class T>
void HeapAdjust(T a[], int len, int left) //將i與其小兒子交換位置
{
if (len == 0)
exit(1);
T x = a[left];
int i = left;
int c = 2 * i;
while (c <= len)
{
if (c < len && a[c+1] > a[c])//若i有右兒子，且右兒子大于左兒子，c指向右兒子
c++;
if (last < a[c])//若i的大兒子大于二叉堆的最后一個元素，把其移到i的位置
{
a[i] = a[c];
i = c;
c = 2 * i;
}
else
break;
}
a[i] = x; //把原二叉堆的第一個元素放到適當的空位
}
template <class T>
void Swap(T & a, T & b)
{
T t = a;
a = b;
b = t;
}
還有一種方法是每次都要重新調整大頂堆，使得父親比兒子大，這樣調整的函數較簡單，
但因為每次都要遍歷一半的元素，時間復雜度較大。
算法如下：
template <class T>
void HeapSort(T a[], int len)
{
T *ca = new T[len+1];
ca[0] = 0;
for (int i=0; i<len; i++)
ca[i+1] = a[i];
for (int i=len/2; i>0; i--) //把原數組構建成一個大頂堆
HeapAdjust(ca, len, i);
Swap(ca[1], ca[len]); //把大頂堆的第一個元素與最后一個元素交換
for (int i=len-1; i>0; i--)
{
for (int j=i/2; j>0; j--)//遍歷長度為i的堆，得到新的大頂堆
HeapAdjust(ca, i, j);
Swap(ca[1], ca[i]);
}
for (int i=0; i<len; i++)
a[i] = ca[i+1];
delete []ca;
}
template <class T>
void HeapAdjust(T a[], int len, int i) //將i與其小兒子交換位置
{
int c = 2 * i;
if (c < len)
{
T & max = (a[c] > a[c+1])? a[c] : a[c+1];
if (a[i] < max)
Swap(a[i], max);
}
else
{
if (a[i] < a[c])
Swap(a[i], a[c]);
}
}
template <class T>
void Swap(T & a, T & b)
{
T t = a;
a = b;
b = t;
}
模仿構造大頂堆的方法，我們可以調用HeapAdjust()構造一個二叉堆，并提取二叉堆的根到新數組，
然后把原二叉堆的最后一個元素放到根的位置，再調用HeapAdjust()構造一個新二叉堆，依此類推。
算法如下：
template <class T>
void HeapSort(T a[], int len)
{
T *ca = new T[len+1];
ca[0] = 0;
for (int i=0; i<len; i++)
ca[i+1] = a[i];
for (int i=len/2; i>0; i--) //把原數組構建成一個大頂堆
HeapAdjust(ca, len, i);
a[0] = ca[1];
ca[1] = ca[len]; //把二叉堆的最后一個元素放到根的位置
for (int i=len-1; i>0; i--)
{
for (int j=i/2; j>0; j--)
HeapAdjust(ca, i, j);
a[len-i] = ca[1];
ca[1] = ca[i]; //把二叉堆的最后一個元素放到根的位置
}
delete []ca;
}
template <class T>
void HeapAdjust(T a[], int len, int i)
{
int c = 2 * i;
if (c < len)
{
T & min = (a[c] < a[c+1])? a[c] : a[c+1];
if (a[i] > min)
Swap(a[i], min);
}
else
{
if (a[i] > a[c])
Swap(a[i], a[c]);
}
}
template <class T>
void Swap(T & a, T & b)
{
T t = a;
a = b;
b = t;
}
后面兩種方法采用的是遞歸，容易理解，但時間復雜度較高，因為比前兩種要慢上很多，所以不可能是O（nlogn），估計是O（n^2），但具體我也不會算，請高手指教。