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要使計(jì)算機(jī)能完成人們預(yù)定的工作，首先必須為如何完成預(yù)定的工作設(shè)計(jì)一個(gè)算法，然后再根據(jù)算法編寫程序。計(jì)算機(jī)程序要對(duì)問(wèn)題的每個(gè)對(duì)象和處理規(guī)則給出正確
詳盡的描述，其中程序的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和變量用來(lái)描述問(wèn)題的對(duì)象，程序結(jié)構(gòu)、函數(shù)和語(yǔ)句用來(lái)描述問(wèn)題的算法。算法數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)是程序的兩個(gè)重要方面。
算法是問(wèn)題求解過(guò)程的精確描述，一個(gè)算法由有限條可完全機(jī)械地執(zhí)行的、有確定結(jié)果的指令組成。指令正確地描述了要完成的任務(wù)和它們被執(zhí)行的順序。計(jì)算機(jī)按
算法指令所描述的順序執(zhí)行算法的指令能在有限的步驟內(nèi)終止，或終止于給出問(wèn)題的解，或終止于指出問(wèn)題對(duì)此輸入數(shù)據(jù)無(wú)解。
通常求解一個(gè)問(wèn)題可能會(huì)有多種算法可供選擇，選擇的主要標(biāo)準(zhǔn)是算法的正確性和可靠性，簡(jiǎn)單性和易理解性。其次是算法所需要的存儲(chǔ)空間少和執(zhí)行更快等。
算法設(shè)計(jì)是一件非常困難的工作，經(jīng)常采用的算法設(shè)計(jì)技術(shù)主要有迭代法、窮舉搜索法、遞推法、貪婪法、回溯法、分治法、動(dòng)態(tài)規(guī)劃法等等。另外，為了更簡(jiǎn)潔的形式設(shè)計(jì)和藐視算法，在算法設(shè)計(jì)時(shí)又常常采用遞歸技術(shù)，用遞歸描述算法。
一、迭代法
迭代法是用于求方程或方程組近似根的一種常用的算法設(shè)計(jì)方法。設(shè)方程為f(x)=0，用某種數(shù)學(xué)方法導(dǎo)出等價(jià)的形式x=g(x)，然后按以下步驟執(zhí)行：
（1） 選一個(gè)方程的近似根，賦給變量x0；
（2） 將x0的值保存于變量x1，然后計(jì)算g(x1)，并將結(jié)果存于變量x0；
（3） 當(dāng)x0與x1的差的絕對(duì)值還小于指定的精度要求時(shí)，重復(fù)步驟（2）的計(jì)算。
若方程有根，并且用上述方法計(jì)算出來(lái)的近似根序列收斂，則按上述方法求得的x0就認(rèn)為是方程的根。上述算法用C程序的形式表示為：
【算法】迭代法求方程的根
{ x0=初始近似根；
do {
x1=x0；
x0=g(x1)； /*按特定的方程計(jì)算新的近似根*/
} while ( fabs(x0-x1)>Epsilon)；
printf(“方程的近似根是%f\n”，x0)；
}
迭代算法也常用于求方程組的根，令
X=（x0，x1，…，xn-1）
設(shè)方程組為：
xi=gi(X) (I=0，1，…，n-1)
則求方程組根的迭代算法可描述如下：
【算法】迭代法求方程組的根
{ for (i=0;i
x=初始近似根;
do {
for (i=0;i
y=x;
for (i=0;i
x=gi(X);
for (delta=0.0,i=0;i
if (fabs(y-x)>delta) delta=fabs(y-x)；
} while (delta>Epsilon)；
for (i=0;i
printf(“變量x[%d]的近似根是 %f”，I，x)；
printf(“\n”)；
}
具體使用迭代法求根時(shí)應(yīng)注意以下兩種可能發(fā)生的情況：
（1） 如果方程無(wú)解，算法求出的近似根序列就不會(huì)收斂，迭代過(guò)程會(huì)變成死循環(huán)，因此在使用迭代算法前應(yīng)先考察方程是否有解，并在程序中對(duì)迭代的次數(shù)給予限制；
（2） 方程雖然有解，但迭代公式選擇不當(dāng)，或迭代的初始近似根選擇不合理，也會(huì)導(dǎo)致迭代失敗。
二、窮舉搜索法
窮舉搜索法是對(duì)可能是解的眾多候選解按某種順序進(jìn)行逐一枚舉和檢驗(yàn)，并從眾找出那些符合要求的候選解作為問(wèn)題的解。
【問(wèn)題】 將A、B、C、D、E、F這六個(gè)變量排成如圖所示的三角形，這六個(gè)變量分別取[1，6]上的整數(shù)，且均不相同。求使三角形三條邊上的變量之和相等的全部解。如圖就是一個(gè)解。
程
序引入變量a、b、c、d、e、f，并讓它們分別順序取1至6的證書，在它們互不相同的條件下，測(cè)試由它們排成的如圖所示的三角形三條邊上的變量之和是否
相等，如相等即為一種滿足要求的排列，把它們輸出。當(dāng)這些變量取盡所有的組合后，程序就可得到全部可能的解。細(xì)節(jié)見下面的程序。
【程序1】
# include
void main()
{ int a,b,c,d,e,f;
for (a=1;a<=6;a++)
for (b=1;b<=6;b++) {
if (b==a) continue;
for (c=1;c<=6;c++) {
if (c==a)||(c==b) continue;
for (d=1;d<=6;d++) {
if (d==a)||(d==b)||(d==c) continue;
for (e=1;e<=6;e++) {
if (e==a)||(e==b)||(e==c)||(e==d) continue;
f=21-(a+b+c+d+e);
if ((a+b+c==c+d+e))&&(a+b+c==e+f+a)) {
printf(“%6d,a);
printf(“%4d%4d”,b,f);
printf(“%2d%4d%4d”,c,d,e);
scanf(“%*c”);
}
}
}
}
}
}
按窮舉法編寫的程序通常不能適應(yīng)變化的情況。如問(wèn)題改成有9個(gè)變量排成三角形，每條邊有4個(gè)變量的情況，程序的循環(huán)重?cái)?shù)就要相應(yīng)改變。
對(duì)
一組數(shù)窮盡所有排列，還有更直接的方法。將一個(gè)排列看作一個(gè)長(zhǎng)整數(shù)，則所有排列對(duì)應(yīng)著一組整數(shù)。將這組整數(shù)按從小到大的順序排列排成一個(gè)整數(shù)，從對(duì)應(yīng)最小
的整數(shù)開始。按數(shù)列的遞增順序逐一列舉每個(gè)排列對(duì)應(yīng)的每個(gè)整數(shù)，這能更有效地完成排列的窮舉。從一個(gè)排列找出對(duì)應(yīng)數(shù)列的下一個(gè)排列可在當(dāng)前排列的基礎(chǔ)上作
部分調(diào)整來(lái)實(shí)現(xiàn)。倘若當(dāng)前排列為1，2，4，6，5，3，并令其對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)整數(shù)為124653。要尋找比長(zhǎng)整數(shù)124653更大的排列，可從該排列的最后一
個(gè)數(shù)字順序向前逐位考察，當(dāng)發(fā)現(xiàn)排列中的某個(gè)數(shù)字比它前一個(gè)數(shù)字大時(shí)，如本例中的6比它的前一位數(shù)字4大，這說(shuō)明還有對(duì)應(yīng)更大整數(shù)的排列。但為了順序從小
到大列舉出所有的排列，不能立即調(diào)整得太大，如本例中將數(shù)字6與數(shù)字4交換得到的排列126453就不是排列124653的下一個(gè)排列。為了得到排列
124653的下一個(gè)排列，應(yīng)從已經(jīng)考察過(guò)的那部分?jǐn)?shù)字中選出比數(shù)字大，但又是它們中最小的那一個(gè)數(shù)字，比如數(shù)字5，與數(shù)字4交換。該數(shù)字也是從后向前考
察過(guò)程中第一個(gè)比4大的數(shù)字。5與4交換后，得到排列125643。在前面數(shù)字1，2，5固定的情況下，還應(yīng)選擇對(duì)應(yīng)最小整數(shù)的那個(gè)排列，為此還需將后面
那部分?jǐn)?shù)字的排列順序顛倒，如將數(shù)字6，4，3的排列順序顛倒，得到排列1，2，5，3，4，6，這才是排列1，2，4，6，5，3的下一個(gè)排列。按以上
想法編寫的程序如下。
【程序2】
# include
# define SIDE_N 3
# define LENGTH 3
# define VARIABLES 6
int A,B,C,D,E,F;
int *pt[]={&A,&B,&C,&D,&E,&F};
int *side[SIDE_N][LENGTH]={&A,&B,&C,&C,&D,&E,&E,&F,&A};
int side_total[SIDE_N];
main{}
{ int i,j,t,equal;
for (j=0;j
*pt[j]=j+1;
while(1)
{ for (i=0;i
{ for (t=j=0;j
t+=*side[j];
side_total=t;
}
for (equal=1,i=0;equal&&i
if (side_total!=side_total[i+1] equal=0;
if (equal)
{ for (i=1;i
printf(“%4d”,*pt);
printf(“\n”);
scanf(“%*c”);
}
for (j=VARIABLES-1;j>0;j--)
if (*pt[j]>*pt[j-1]) break;
if (j==0) break;
for (i=VARIABLES-1;i>=j;i--)
if (*pt>*pt[i-1]) break;
t=*pt[j-1];* pt[j-1] =* pt; *pt=t;
for (i=VARIABLES-1;i>j;i--,j++)
{ t=*pt[j]; *pt[j] =* pt; *pt=t; }
}
}
從上述問(wèn)題解決的方法中，最重要的因素就是確定某種方法來(lái)確定所有的候選解。下面再用一個(gè)示例來(lái)加以說(shuō)明。
【問(wèn)題】 背包問(wèn)題
問(wèn)題描述：有不同價(jià)值、不同重量的物品n件，求從這n件物品中選取一部分物品的選擇方案，使選中物品的總重量不超過(guò)指定的限制重量，但選中物品的價(jià)值之和最大。
設(shè)n
個(gè)物品的重量和價(jià)值分別存儲(chǔ)于數(shù)組w[ ]和v[ ]中，限制重量為tw。考慮一個(gè)n元組（x0，x1，…，xn-1），其中xi=0
表示第i個(gè)物品沒有選取，而xi=1則表示第i個(gè)物品被選取。顯然這個(gè)n元組等價(jià)于一個(gè)選擇方案。用枚舉法解決背包問(wèn)題，需要枚舉所有的選取方案，而根據(jù)
上述方法，我們只要枚舉所有的n元組，就可以得到問(wèn)題的解。
顯然，每個(gè)分量取值為0或1的n元組的個(gè)數(shù)共為2n個(gè)。而每個(gè)n元組其實(shí)對(duì)應(yīng)了一個(gè)長(zhǎng)度為n的二進(jìn)制數(shù)，且這些二進(jìn)制數(shù)的取值范圍為0～2n-1。因此，如果把0～2n-1分別轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)，則可以得到我們所需要的2n個(gè)n元組。
【算法】
maxv=0;
for (i=0;i<2n;i++)
{ B[0..n-1]=0;
把i轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制數(shù)，存儲(chǔ)于數(shù)組B中;
temp_w=0;
temp_v=0;
for (j=0;j
{ if (B[j]==1)
{ temp_w=temp_w+w[j];
temp_v=temp_v+v[j];
}
if ((temp_w<=tw)&&(temp_v>maxv))
{ maxv=temp_v;
保存該B數(shù)組；
}
}
}
三、遞推法遞推法是利用問(wèn)題本身所具有的一種遞推關(guān)系求問(wèn)題解的一種方法。設(shè)要求
問(wèn)題規(guī)模為N的解，當(dāng)N=1時(shí)，解或?yàn)橐阎蚰芊浅７奖愕氐玫浇狻Ｄ懿捎眠f推法構(gòu)造算法的問(wèn)題有重要的遞推性質(zhì)，即當(dāng)?shù)玫絾?wèn)題規(guī)模為i-1的解后，由問(wèn)
題的遞推性質(zhì)，能從已求得的規(guī)模為1，2，…，i-1的一系列解，構(gòu)造出問(wèn)題規(guī)模為
I的解。這樣，程序可從i=0或i=1出發(fā)，重復(fù)地，由已知至i-1規(guī)模的解，通過(guò)遞推，獲得規(guī)模為i的解，直至得到規(guī)模為N的解。
【問(wèn)題】 階乘計(jì)算
問(wèn)題描述：編寫程序，對(duì)給定的n（n≦100），計(jì)算并輸出k的階乘k！（k=1，2，…，n）的全部有效數(shù)字。
由于要求的整數(shù)可能大大超出一般整數(shù)的位數(shù)，程序用一維數(shù)組存儲(chǔ)長(zhǎng)整數(shù)，存儲(chǔ)長(zhǎng)整數(shù)數(shù)組的每個(gè)元素只存儲(chǔ)長(zhǎng)整數(shù)的一位數(shù)字。如有m位成整數(shù)N用數(shù)組a[ ]存儲(chǔ)：
N=a[m]×10m-1+a[m-1]×10m-2+ … +a[2]×101+a[1]×100
并用a[0]存儲(chǔ)長(zhǎng)整數(shù)N的位數(shù)m，即a[0]=m。按上述約定，數(shù)組的每個(gè)元素存儲(chǔ)k的階乘k！的一位數(shù)字，并從低位到高位依次存于數(shù)組的第二個(gè)元素、第三個(gè)元素……。例如，5！=120，在數(shù)組中的存儲(chǔ)形式為：
3 0 2 1 ……
首元素3表示長(zhǎng)整數(shù)是一個(gè)3位數(shù)，接著是低位到高位依次是0、2、1，表示成整數(shù)120。
計(jì)算階乘k！可采用對(duì)已求得的階乘(k-1)！連續(xù)累加k-1次后求得。例如，已知4！=24，計(jì)算5！，可對(duì)原來(lái)的24累加4次24后得到120。細(xì)節(jié)見以下程序。
# include
# include
# define MAXN 1000
void pnext(int a[ ],int k)
{ int *b,m=a[0],i,j,r,carry;
b=(int * ) malloc(sizeof(int)* (m+1));
for ( i=1;i<=m;i++) b=a;
for ( j=1;j<=k;j++)
{ for ( carry=0,i=1;i<=m;i++)
{ r=(i
a=r%10;
carry=r/10;
}
if (carry) a[++m]=carry;
}
free(b);
a[0]=m;
}
void write(int *a,int k)
{ int i;
printf(“%4d！=”,k);
for (i=a[0];i>0;i--)
printf(“%d”,a);
printf(“\n\n”);
}
void main()
{ int a[MAXN],n,k;
printf(“Enter the number n: “);
scanf(“%d”,&n);
a[0]=1;
a[1]=1;
write(a,1);
for (k=2;k<=n;k++)
{ pnext(a,k);
write(a,k);
getchar();
}
}
四、遞歸遞歸是設(shè)計(jì)和描述算法的一種有力的工具，由于它在復(fù)雜算法的描述中被經(jīng)常采用，為此在進(jìn)一步介紹其他算法設(shè)計(jì)方法之前先討論它。
能
采用遞歸描述的算法通常有這樣的特征：為求解規(guī)模為N的問(wèn)題，設(shè)法將它分解成規(guī)模較小的問(wèn)題，然后從這些小問(wèn)題的解方便地構(gòu)造出大問(wèn)題的解，并且這些規(guī)模
較小的問(wèn)題也能采用同樣的分解和綜合方法，分解成規(guī)模更小的問(wèn)題，并從這些更小問(wèn)題的解構(gòu)造出規(guī)模較大問(wèn)題的解。特別地，當(dāng)規(guī)模N=1時(shí)，能直接得解。
【問(wèn)題】 編寫計(jì)算斐波那契（Fibonacci）數(shù)列的第n項(xiàng)函數(shù)fib（n）。
斐波那契數(shù)列為：0、1、1、2、3、……，即：
fib(0)=0;
fib(1)=1;
fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) （當(dāng)n>1時(shí)）。
寫成遞歸函數(shù)有：
int fib(int n)
{ if (n==0) return 0;
if (n==1) return 1;
if (n>1) return fib(n-1)+fib(n-2);
}
遞
歸算法的執(zhí)行過(guò)程分遞推和回歸兩個(gè)階段。在遞推階段，把較復(fù)雜的問(wèn)題（規(guī)模為n）的求解推到比原問(wèn)題簡(jiǎn)單一些的問(wèn)題（規(guī)模小于n）的求解。例如上例中，求
解fib(n)，把它推到求解fib(n-1)和fib(n-2)。也就是說(shuō)，為計(jì)算fib(n)，必須先計(jì)算fib(n-1)和fib(n-
2)，而計(jì)算fib(n-1)和fib(n-2)，又必須先計(jì)算fib(n-3)和fib(n-4)。依次類推，直至計(jì)算fib(1)和fib(0)，分
別能立即得到結(jié)果1和0。在遞推階段，必須要有終止遞歸的情況。例如在函數(shù)fib中，當(dāng)n為1和0的情況。
在回歸階段，當(dāng)獲得最簡(jiǎn)單情況的解后，逐級(jí)返回，依次得到稍復(fù)雜問(wèn)題的解，例如得到fib(1)和fib(0)后，返回得到fib(2)的結(jié)果，……，在得到了fib(n-1)和fib(n-2)的結(jié)果后，返回得到fib(n)的結(jié)果。
在編寫遞歸函數(shù)時(shí)要注意，函數(shù)中的局部變量和參數(shù)知識(shí)局限于當(dāng)前調(diào)用層，當(dāng)遞推進(jìn)入“簡(jiǎn)單問(wèn)題”層時(shí)，原來(lái)層次上的參數(shù)和局部變量便被隱蔽起來(lái)。在一系列“簡(jiǎn)單問(wèn)題”層，它們各有自己的參數(shù)和局部變量。
由
于遞歸引起一系列的函數(shù)調(diào)用，并且可能會(huì)有一系列的重復(fù)計(jì)算，遞歸算法的執(zhí)行效率相對(duì)較低。當(dāng)某個(gè)遞歸算法能較方便地轉(zhuǎn)換成遞推算法時(shí)，通常按遞推算法編
寫程序。例如上例計(jì)算斐波那契數(shù)列的第n項(xiàng)的函數(shù)fib(n)應(yīng)采用遞推算法，即從斐波那契數(shù)列的前兩項(xiàng)出發(fā)，逐次由前兩項(xiàng)計(jì)算出下一項(xiàng)，直至計(jì)算出要求
的第n項(xiàng)。
【問(wèn)題】 組合問(wèn)題
問(wèn)題描述：找出從自然數(shù)1、2、……、n中任取r個(gè)數(shù)的所有組合。例如n=5，r=3的所有組合為： （1）5、4、3 （2）5、4、2 （3）5、4、1
（4）5、3、2 （5）5、3、1 （6）5、2、1
（7）4、3、2 （8）4、3、1 （9）4、2、1
（10）3、2、1
分
析所列的10個(gè)組合，可以采用這樣的遞歸思想來(lái)考慮求組合函數(shù)的算法。設(shè)函數(shù)為void comb(int m,int
k)為找出從自然數(shù)1、2、……、m中任取k個(gè)數(shù)的所有組合。當(dāng)組合的第一個(gè)數(shù)字選定時(shí)，其后的數(shù)字是從余下的m-1個(gè)數(shù)中取k-1數(shù)的組合。這就將求m
個(gè)數(shù)中取k個(gè)數(shù)的組合問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求m-1個(gè)數(shù)中取k-1個(gè)數(shù)的組合問(wèn)題。設(shè)函數(shù)引入工作數(shù)組a[
]存放求出的組合的數(shù)字，約定函數(shù)將確定的k個(gè)數(shù)字組合的第一個(gè)數(shù)字放在a[k]中，當(dāng)一個(gè)組合求出后，才將a[
]中的一個(gè)組合輸出。第一個(gè)數(shù)可以是m、m-1、……、k，函數(shù)將確定組合的第一個(gè)數(shù)字放入數(shù)組后，有兩種可能的選擇，因還未去頂組合的其余元素，繼續(xù)遞
歸去確定；或因已確定了組合的全部元素，輸出這個(gè)組合。細(xì)節(jié)見以下程序中的函數(shù)comb。
【程序】
# include
# define MAXN 100
int a[MAXN];
void comb(int m,int k)
{ int i,j;
for (i=m;i>=k;i--)
{ a[k]=i;
if (k>1)
comb(i-1,k-1);
else
{ for (j=a[0];j>0;j--)
printf(“%4d”,a[j]);
printf(“\n”);
}
}
}
void main()
{ a[0]=3;
comb(5,3);
}
【問(wèn)題】 背包問(wèn)題
問(wèn)題描述：有不同價(jià)值、不同重量的物品n件，求從這n件物品中選取一部分物品的選擇方案，使選中物品的總重量不超過(guò)指定的限制重量，但選中物品的價(jià)值之和最大。
設(shè)n
件物品的重量分別為w0、w1、…、wn-1，物品的價(jià)值分別為v0、v1、…、vn-1。采用遞歸尋找物品的選擇方案。設(shè)前面已有了多種選擇的方案，并
保留了其中總價(jià)值最大的方案于數(shù)組option[ ]，該方案的總價(jià)值存于變量maxv。當(dāng)前正在考察新方案，其物品選擇情況保存于數(shù)組cop[
]。假定當(dāng)前方案已考慮了前i-1件物品，現(xiàn)在要考慮第i件物品；當(dāng)前方案已包含的物品的重量之和為tw；至此，若其余物品都選擇是可能的話，本方案能達(dá)
到的總價(jià)值的期望值為tv。算法引入tv是當(dāng)一旦當(dāng)前方案的總價(jià)值的期望值也小于前面方案的總價(jià)值maxv時(shí)，繼續(xù)考察當(dāng)前方案變成無(wú)意義的工作，應(yīng)終止
當(dāng)前方案，立即去考察下一個(gè)方案。因?yàn)楫?dāng)方案的總價(jià)值不比maxv大時(shí)，該方案不會(huì)被再考察，這同時(shí)保證函數(shù)后找到的方案一定會(huì)比前面的方案更好。
對(duì)于第i件物品的選擇考慮有兩種可能：
（1） 考慮物品i被選擇，這種可能性僅當(dāng)包含它不會(huì)超過(guò)方案總重量限制時(shí)才是可行的。選中后，繼續(xù)遞歸去考慮其余物品的選擇。
（2） 考慮物品i不被選擇，這種可能性僅當(dāng)不包含物品i也有可能會(huì)找到價(jià)值更大的方案的情況。
按以上思想寫出遞歸算法如下：
try(物品i，當(dāng)前選擇已達(dá)到的重量和，本方案可能達(dá)到的總價(jià)值tv)
{ /*考慮物品i包含在當(dāng)前方案中的可能性*/
if(包含物品i是可以接受的)
{ 將物品i包含在當(dāng)前方案中；
if (i
try(i+1,tw+物品i的重量,tv);
else
/*又一個(gè)完整方案，因?yàn)樗惹懊娴姆桨负茫运鳛樽罴逊桨?/
以當(dāng)前方案作為臨時(shí)最佳方案保存;
恢復(fù)物品i不包含狀態(tài)；
}
/*考慮物品i不包含在當(dāng)前方案中的可能性*/
if (不包含物品i僅是可男考慮的)
if (i
try(i+1,tw,tv-物品i的價(jià)值)；
else
/*又一個(gè)完整方案，因它比前面的方案好，以它作為最佳方案*/
以當(dāng)前方案作為臨時(shí)最佳方案保存;
}
為了理解上述算法，特舉以下實(shí)例。設(shè)有4件物品，它們的重量和價(jià)值見表：
物品 0 1 2 3
重量 5 3 2 1
價(jià)值 4 4 3 1
并設(shè)限制重量為7。則按以上算法，下圖表示找解過(guò)程。由圖知，一旦找到一個(gè)解，算法就進(jìn)一步找更好的佳。如能判定某個(gè)查找分支不會(huì)找到更好的解，算法不會(huì)在該分支繼續(xù)查找，而是立即終止該分支，并去考察下一個(gè)分支。
按上述算法編寫函數(shù)和程序如下：
【程序】
# include
# define N 100
double limitW,totV,maxV;
int option[N],cop[N];
struct { double weight;
double value;
}a[N];
int n;
void find(int i,double tw,double tv)
{ int k;
/*考慮物品i包含在當(dāng)前方案中的可能性*/
if (tw+a.weight<=limitW)
{ cop=1;
if (i
else
{ for (k=0;k
option[k]=cop[k];
maxv=tv;
}
cop=0;
}
/*考慮物品i不包含在當(dāng)前方案中的可能性*/
if (tv-a.value>maxV)
if (i
else
{ for (k=0;k
option[k]=cop[k];
maxv=tv-a.value;
}
}
void main()
{ int k;
double w,v;
printf(“輸入物品種數(shù)\n”);
scanf((“%d”,&n);
printf(“輸入各物品的重量和價(jià)值\n”);
for (totv=0.0,k=0;k
{ scanf(“%1f%1f”,&w,&v);
a[k].weight=w;
a[k].value=v;
totV+=V;
}
printf(“輸入限制重量\n”);
scanf(“%1f”,&limitV);
maxv=0.0;
for (k=0;k find(0,0.0,totV);
for (k=0;k
if (option[k]) printf(“%4d”,k+1);
printf(“\n總價(jià)值為%.2f\n”,maxv);
}
作
為對(duì)比，下面以同樣的解題思想，考慮非遞歸的程序解。為了提高找解速度，程序不是簡(jiǎn)單地逐一生成所有候選解，而是從每個(gè)物品對(duì)候選解的影響來(lái)形成值得進(jìn)一
步考慮的候選解，一個(gè)候選解是通過(guò)依次考察每個(gè)物品形成的。對(duì)物品i的考察有這樣幾種情況：當(dāng)該物品被包含在候選解中依舊滿足解的總重量的限制，該物品被
包含在候選解中是應(yīng)該繼續(xù)考慮的；反之，該物品不應(yīng)該包括在當(dāng)前正在形成的候選解中。同樣地，僅當(dāng)物品不被包括在候選解中，還是有可能找到比目前臨時(shí)最佳
解更好的候選解時(shí)，才去考慮該物品不被包括在候選解中；反之，該物品不包括在當(dāng)前候選解中的方案也不應(yīng)繼續(xù)考慮。對(duì)于任一值得繼續(xù)考慮的方案，程序就去進(jìn)
一步考慮下一個(gè)物品。
【程序】
# include
# define N 100
double limitW;
int cop[N];
struct ele { double weight;
double value;
} a[N];
int k,n;
struct { int ;
double tw;
double tv;
}twv[N];
void next(int i,double tw,double tv)
{ twv.=1;
twv.tw=tw;
twv.tv=tv;
}
double find(struct ele *a,int n)
{ int i,k,f;
double maxv,tw,tv,totv;
maxv=0;
for (totv=0.0,k=0;k
totv+=a[k].value;
next(0,0.0,totv);
i=0;
While (i>=0)
{ f=twv.;
tw=twv.tw;
tv=twv.tv;
switch(f)
{ case 1: twv.++;
if (tw+a.weight<=limitW)
if (i
{ next(i+1,tw+a.weight,tv);
i++;
}
else
{ maxv=tv;
for (k=0;k
cop[k]=twv[k].!=0;
}
break;
case 0: i--;
break;
default: twv.=0;
if (tv-a.value>maxv)
if (i
{ next(i+1,tw,tv-a.value);
i++;
}
else
{ maxv=tv-a.value;
for (k=0;k
cop[k]=twv[k].!=0;
}
break;
}
}
return maxv;
}
void main()
{ double maxv;
printf(“輸入物品種數(shù)\n”);
scanf((“%d”,&n);
printf(“輸入限制重量\n”);
scanf(“%1f”,&limitW);
printf(“輸入各物品的重量和價(jià)值\n”);
for (k=0;k
scanf(“%1f%1f”,&a[k].weight,&a[k].value);
maxv=find(a,n);
printf(“\n選中的物品為\n”);
for (k=0;k
if (option[k]) printf(“%4d”,k+1);
printf(“\n總價(jià)值為%.2f\n”,maxv);
}
五、回溯法回溯法也稱為試探法，該方法首先暫時(shí)放棄關(guān)于問(wèn)題規(guī)模大小的限制，并將
問(wèn)題的候選解按某種順序逐一枚舉和檢驗(yàn)。當(dāng)發(fā)現(xiàn)當(dāng)前候選解不可能是解時(shí)，就選擇下一個(gè)候選解；倘若當(dāng)前候選解除了還不滿足問(wèn)題規(guī)模要求外，滿足所有其他要
求時(shí)，繼續(xù)擴(kuò)大當(dāng)前候選解的規(guī)模，并繼續(xù)試探。如果當(dāng)前候選解滿足包括問(wèn)題規(guī)模在內(nèi)的所有要求時(shí)，該候選解就是問(wèn)題的一個(gè)解。在回溯法中，放棄當(dāng)前候選
解，尋找下一個(gè)候選解的過(guò)程稱為回溯。擴(kuò)大當(dāng)前候選解的規(guī)模，以繼續(xù)試探的過(guò)程稱為向前試探。
1、回溯法的一般描述
可用回溯法求解的問(wèn)題
P，通常要能表達(dá)為：對(duì)于已知的由n元組（x1，x2，…，xn）組成的一個(gè)狀態(tài)空間 E={（x1，x2，…，xn）∣xi∈Si
，i=1，2，…，n}，給定關(guān)于n元組中的一個(gè)分量的一個(gè)約束集D，要求E中滿足D的全部約束條件的所有n元組。其中Si是分量xi的定義域，且
|Si| 有限，i=1，2，…，n。我們稱E中滿足D的全部約束條件的任一n元組為問(wèn)題P的一個(gè)解。
解問(wèn)題P的最樸素的方法就是枚舉法，即對(duì)E中的所有n元組逐一地檢測(cè)其是否滿足D的全部約束，若滿足，則為問(wèn)題P的一個(gè)解。但顯然，其計(jì)算量是相當(dāng)大的。
我
們發(fā)現(xiàn)，對(duì)于許多問(wèn)題，所給定的約束集D具有完備性，即i元組（x1，x2，…，xi）滿足D中僅涉及到x1，x2，…，xi的所有約束意味著j
（jj。因此，對(duì)于約束集D具有完備性的問(wèn)題P，一旦檢測(cè)斷定某個(gè)j元組（x1，x2，…，xj）違反D中僅涉及x1，x2，…，xj的一個(gè)約束，就可以
肯定，以（x1，x2，…，xj）為前綴的任何n元組（x1，x2，…，xj，xj+1，…，xn）都不會(huì)是問(wèn)題P的解，因而就不必去搜索它們、檢測(cè)它
們。回溯法正是針對(duì)這類問(wèn)題，利用這類問(wèn)題的上述性質(zhì)而提出來(lái)的比枚舉法效率更高的算法。
回溯法首先將問(wèn)題P的n元組的狀態(tài)空間E表示成一棵高為n的帶權(quán)有序樹T，把在E中求問(wèn)題P的所有解轉(zhuǎn)化為在T中搜索問(wèn)題P的所有解。樹T類似于檢索樹，它可以這樣構(gòu)造：
設(shè)Si
中的元素可排成xi(1) ，xi(2) ，…，xi(mi-1) ，|Si|
=mi，i=1，2，…，n。從根開始，讓T的第I層的每一個(gè)結(jié)點(diǎn)都有mi個(gè)兒子。這mi個(gè)兒子到它們的雙親的邊，按從左到右的次序，分別帶權(quán)xi+1
(1) ，xi+1(2) ，…，xi+1(mi)
，i=0，1，2，…，n-1。照這種構(gòu)造方式，E中的一個(gè)n元組（x1，x2，…，xn）對(duì)應(yīng)于T中的一個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)，T的根到這個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)的路徑上依次
的n條邊的權(quán)分別為x1，x2，…，xn，反之亦然。另外，對(duì)于任意的0≤i≤n-1，E中n元組（x1，x2，…，xn）的一個(gè)前綴I元組（x1，
x2，…，xi）對(duì)應(yīng)于T中的一個(gè)非葉子結(jié)點(diǎn)，T的根到這個(gè)非葉子結(jié)點(diǎn)的路徑上依次的I條邊的權(quán)分別為x1，x2，…，xi，反之亦然。特別，E中的任意
一個(gè)n元組的空前綴（），對(duì)應(yīng)于T的根。
因而，在E中尋找問(wèn)題P的一個(gè)解等價(jià)于在T中搜索一個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)，要求從T的根到該葉子結(jié)點(diǎn)的路徑上依次的
n條邊相應(yīng)帶的n個(gè)權(quán)x1，x2，…，xn滿足約束集D的全部約束。在T中搜索所要求的葉子結(jié)點(diǎn)，很自然的一種方式是從根出發(fā)，按深度優(yōu)先的策略逐步深
入，即依次搜索滿足約束條件的前綴1元組（x1i）、前綴2元組（x1，x2）、…，前綴I元組（x1，x2，…，xi），…，直到i=n為止。
在回溯法中，上述引入的樹被稱為問(wèn)題P的狀態(tài)空間樹；樹T上任意一個(gè)結(jié)點(diǎn)被稱為問(wèn)題P的狀態(tài)結(jié)點(diǎn)；樹T上的任意一個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)被稱為問(wèn)題P的一個(gè)解狀態(tài)結(jié)點(diǎn)；樹T上滿足約束集D的全部約束的任意一個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)被稱為問(wèn)題P的一個(gè)回答狀態(tài)結(jié)點(diǎn)，它對(duì)應(yīng)于問(wèn)題P的一個(gè)解。
【問(wèn)題】 組合問(wèn)題
問(wèn)題描述：找出從自然數(shù)1、2、……、n中任取r個(gè)數(shù)的所有組合。
例如n=5，r=3的所有組合為：
（1）1、2、3 （2）1、2、4 （3）1、2、5
（4）1、3、4 （5）1、3、5 （6）1、4、5
（7）2、3、4 （8）2、3、5 （9）2、4、5
（10）3、4、5
則該問(wèn)題的狀態(tài)空間為：
E={（x1，x2，x3）∣xi∈S ，i=1，2，3 } 其中：S={1，2，3，4，5}
約束集為： x1
顯然該約束集具有完備性。
2、回溯法的方法
對(duì)于具有完備約束集D的一般問(wèn)題P及其相應(yīng)的狀態(tài)空間樹T，利用T的層次結(jié)構(gòu)和D的完備性，在T中搜索問(wèn)題P的所有解的回溯法可以形象地描述為：
從T
的根出發(fā)，按深度優(yōu)先的策略，系統(tǒng)地搜索以其為根的子樹中可能包含著回答結(jié)點(diǎn)的所有狀態(tài)結(jié)點(diǎn)，而跳過(guò)對(duì)肯定不含回答結(jié)點(diǎn)的所有子樹的搜索，以提高搜索效
率。具體地說(shuō)，當(dāng)搜索按深度優(yōu)先策略到達(dá)一個(gè)滿足D中所有有關(guān)約束的狀態(tài)結(jié)點(diǎn)時(shí)，即“激活”該狀態(tài)結(jié)點(diǎn)，以便繼續(xù)往深層搜索；否則跳過(guò)對(duì)以該狀態(tài)結(jié)點(diǎn)為根
的子樹的搜索，而一邊逐層地向該狀態(tài)結(jié)點(diǎn)的祖先結(jié)點(diǎn)回溯，一邊“殺死”其兒子結(jié)點(diǎn)已被搜索遍的祖先結(jié)點(diǎn)，直到遇到其兒子結(jié)點(diǎn)未被搜索遍的祖先結(jié)點(diǎn)，即轉(zhuǎn)向
其未被搜索的一個(gè)兒子結(jié)點(diǎn)繼續(xù)搜索。
在搜索過(guò)程中，只要所激活的狀態(tài)結(jié)點(diǎn)又滿足終結(jié)條件，那么它就是回答結(jié)點(diǎn)，應(yīng)該把它輸出或保存。由于在回溯法求解問(wèn)題時(shí)，一般要求出問(wèn)題的所有解，因此在得到回答結(jié)點(diǎn)后，同時(shí)也要進(jìn)行回溯，以便得到問(wèn)題的其他解，直至回溯到T的根且根的所有兒子結(jié)點(diǎn)均已被搜索過(guò)為止。
例
如在組合問(wèn)題中，從T的根出發(fā)深度優(yōu)先遍歷該樹。當(dāng)遍歷到結(jié)點(diǎn)（1，2）時(shí)，雖然它滿足約束條件，但還不是回答結(jié)點(diǎn)，則應(yīng)繼續(xù)深度遍歷；當(dāng)遍歷到葉子結(jié)點(diǎn)
（1，2，5）時(shí)，由于它已是一個(gè)回答結(jié)點(diǎn)，則保存（或輸出）該結(jié)點(diǎn)，并回溯到其雙親結(jié)點(diǎn)，繼續(xù)深度遍歷；當(dāng)遍歷到結(jié)點(diǎn)（1，5）時(shí)，由于它已是葉子結(jié)
點(diǎn)，但不滿足約束條件，故也需回溯。
3、回溯法的一般流程和技術(shù)
在用回溯法求解有關(guān)問(wèn)題的過(guò)程中，一般是一邊建樹，一邊遍歷該樹。在回溯法中我們一般采用非遞歸方法。下面，我們給出回溯法的非遞歸算法的一般流程：
在用回溯法求解問(wèn)題，也即在遍歷狀態(tài)空間樹的過(guò)程中，如果采用非遞歸方法，則我們一般要用到棧的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。這時(shí)，不僅可以用棧來(lái)表示正在遍歷的樹的結(jié)點(diǎn)，而且可以很方便地表示建立孩子結(jié)點(diǎn)和回溯過(guò)程。
例
如在組合問(wèn)題中，我們用一個(gè)一維數(shù)組Stack[
]表示棧。開始棧空，則表示了樹的根結(jié)點(diǎn)。如果元素1進(jìn)棧，則表示建立并遍歷（1）結(jié)點(diǎn)；這時(shí)如果元素2進(jìn)棧，則表示建立并遍歷（1，2）結(jié)點(diǎn)；元素3再
進(jìn)棧，則表示建立并遍歷（1，2，3）結(jié)點(diǎn)。這時(shí)可以判斷它滿足所有約束條件，是問(wèn)題的一個(gè)解，輸出（或保存）。這時(shí)只要棧頂元素（3）出棧，即表示從結(jié)
點(diǎn)（1，2，3）回溯到結(jié)點(diǎn)（1，2）。
【問(wèn)題】 組合問(wèn)題
問(wèn)題描述：找出從自然數(shù)1，2，…，n中任取r個(gè)數(shù)的所有組合。
采用回溯法找問(wèn)題的解，將找到的組合以從小到大順序存于a[0]，a[1]，…，a[r-1]中，組合的元素滿足以下性質(zhì)：
（1） a[i+1]>a，后一個(gè)數(shù)字比前一個(gè)大；
（2） a-i<=n-r+1。
按回溯法的思想，找解過(guò)程可以敘述如下：
首
先放棄組合數(shù)個(gè)數(shù)為r的條件，候選組合從只有一個(gè)數(shù)字1開始。因該候選解滿足除問(wèn)題規(guī)模之外的全部條件，擴(kuò)大其規(guī)模，并使其滿足上述條件（1），候選組合
改為1，2。繼續(xù)這一過(guò)程，得到候選組合1，2，3。該候選解滿足包括問(wèn)題規(guī)模在內(nèi)的全部條件，因而是一個(gè)解。在該解的基礎(chǔ)上，選下一個(gè)候選解，因a
[2]上的3調(diào)整為4，以及以后調(diào)整為5都滿足問(wèn)題的全部要求，得到解1，2，4和1，2，5。由于對(duì)5不能再作調(diào)整，就要從a[2]回溯到a[1]，這
時(shí)，a[1]=2，可以調(diào)整為3，并向前試探，得到解1，3，4。重復(fù)上述向前試探和向后回溯，直至要從a[0]再回溯時(shí)，說(shuō)明已經(jīng)找完問(wèn)題的全部解。按
上述思想寫成程序如下：
【程序】
# define MAXN 100
int a[MAXN];
void comb(int m,int r)
{ int i,j;
i=0;
a=1;
do {
if (a-i<=m-r+1
{ if (i==r-1)
{ for (j=0;j
printf(“%4d”,a[j]);
printf(“\n”);
}
a++;
continue;
}
else
{ if (i==0)
return;
a[--i]++;
}
} while (1)
}
main()
{ comb(5,3);
}
【問(wèn)題】 填字游戲
問(wèn)題描述：在3×3個(gè)方格的方陣中要填入數(shù)字1到N（N≥10）內(nèi)的某9個(gè)數(shù)字，每個(gè)方格填一個(gè)整數(shù)，似的所有相鄰兩個(gè)方格內(nèi)的兩個(gè)整數(shù)之和為質(zhì)數(shù)。試求出所有滿足這個(gè)要求的各種數(shù)字填法。
可
用試探發(fā)找到問(wèn)題的解，即從第一個(gè)方格開始，為當(dāng)前方格尋找一個(gè)合理的整數(shù)填入，并在當(dāng)前位置正確填入后，為下一方格尋找可填入的合理整數(shù)。如不能為當(dāng)前
方格找到一個(gè)合理的可填證書，就要回退到前一方格，調(diào)整前一方格的填入數(shù)。當(dāng)?shù)诰艂€(gè)方格也填入合理的整數(shù)后，就找到了一個(gè)解，將該解輸出，并調(diào)整第九個(gè)的
填入的整數(shù)，尋找下一個(gè)解。
為找到一個(gè)滿足要求的9個(gè)數(shù)的填法，從還未填一個(gè)數(shù)開始，按某種順序（如從小到大的順序）每次在當(dāng)前位置填入一個(gè)整
數(shù)，然后檢查當(dāng)前填入的整數(shù)是否能滿足要求。在滿足要求的情況下，繼續(xù)用同樣的方法為下一方格填入整數(shù)。如果最近填入的整數(shù)不能滿足要求，就改變填入的整
數(shù)。如對(duì)當(dāng)前方格試盡所有可能的整數(shù)，都不能滿足要求，就得回退到前一方格，并調(diào)整前一方格填入的整數(shù)。如此重復(fù)執(zhí)行擴(kuò)展、檢查或調(diào)整、檢查，直到找到一
個(gè)滿足問(wèn)題要求的解，將解輸出。
回溯法找一個(gè)解的算法：
{ int m=0,ok=1;
int n=8;
do{
if (ok) 擴(kuò)展;
else 調(diào)整;
ok=檢查前m個(gè)整數(shù)填放的合理性;
} while ((!ok||m!=n)&&(m!=0))
if (m!=0) 輸出解;
else 輸出無(wú)解報(bào)告；
}
如果程序要找全部解，則在將找到的解輸出后，應(yīng)繼續(xù)調(diào)整最后位置上填放的整數(shù)，試圖去找下一個(gè)解。相應(yīng)的算法如下：
回溯法找全部解的算法：
{ int m=0,ok=1;
int n=8;
do{
if (ok)
{ if (m==n)
{ 輸出解；
調(diào)整；
}
else 擴(kuò)展;
}
else 調(diào)整;
ok=檢查前m個(gè)整數(shù)填放的合理性;
} while (m!=0);
}
為
了確保程序能夠終止，調(diào)整時(shí)必須保證曾被放棄過(guò)的填數(shù)序列不會(huì)再次實(shí)驗(yàn)，即要求按某種有許模型生成填數(shù)序列。給解的候選者設(shè)定一個(gè)被檢驗(yàn)的順序，按這個(gè)順
序逐一形成候選者并檢驗(yàn)。從小到大或從大到小，都是可以采用的方法。如擴(kuò)展時(shí)，先在新位置填入整數(shù)1，調(diào)整時(shí)，找當(dāng)前候選解中下一個(gè)還未被使用過(guò)的整數(shù)。
將上述擴(kuò)展、調(diào)整、檢驗(yàn)都編寫成程序，細(xì)節(jié)見以下找全部解的程序。
【程序】
# include
# define N 12
void write(int a[ ])
{ int i,j;
for (i=0;i<3;i++)
{ for (j=0;j<3;j++)
printf(“%3d”,a[3*i+j]);
printf(“\n”);
}
scanf(“%*c”);
}
int b[N+1];
int a[10];
int isprime(int m)
{ int i;
int primes[ ]={2,3,5,7,11,17,19,23,29,-1};
if (m==1||m%2=0) return 0;
for (i=0;primes>0;i++)
if (m==primes) return 1;
for (i=3;i*i<=m;)
{ if (m%i==0) return 0;
i+=2;
}
return 1;
}
int checkmatrix[ ][3]={ {-1},{0,-1},{1,-1},{0,-1},{1,3,-1},
{2,4,-1},{3,-1},{4,6,-1},{5,7,-1}};
int selectnum(int start)
{ int j;
for (j=start;j<=N;j++)
if (b[j]) return j
return 0;
}
int check(int pos)
{ int i,j;
if (pos<0) return 0;
for (i=0;(j=checkmatrix[pos])>=0;i++)
if (!isprime(a[pos]+a[j])
return 0;
return 1;
}
int extend(int pos)
{ a[++pos]=selectnum(1);
b[a][pos]]=0;
return pos;
}
int change(int pos)
{ int j;
while (pos>=0&&(j=selectnum(a[pos]+1))==0)
b[a[pos--]]=1;
if (pos<0) return –1
b[a[pos]]=1;
a[pos]=j;
b[j]=0;
return pos;
}
void find()
{ int ok=0,pos=0;
a[pos]=1;
b[a[pos]]=0;
do {
if (ok)
if (pos==8)
{ write(a);
pos=change(pos);
}
else pos=extend(pos);
else pos=change(pos);
ok=check(pos);
} while (pos>=0)
}
void main()
{ int i;
for (i=1;i<=N;i++)
b=1;
find();
}
【問(wèn)題】 n皇后問(wèn)題
問(wèn)題描述：求出在一個(gè)n×n的棋盤上，放置n個(gè)不能互相捕捉的國(guó)際象棋“皇后”的所有布局。
這是來(lái)源于國(guó)際象棋的一個(gè)問(wèn)題。皇后可以沿著縱橫和兩條斜線4個(gè)方向相互捕捉。如圖所示，一個(gè)皇后放在棋盤的第4行第3列位置上，則棋盤上凡打“×”的位置上的皇后就能與這個(gè)皇后相互捕捉。
1 2 3 4 5 6 7 8
× ×
× × ×
× × ×
× × Q × × × × ×
× × ×
× × ×
× ×
× ×
從圖中可以得到以下啟示：一個(gè)合適的解應(yīng)是在每列、每行上只有一個(gè)皇后，且一條斜線上也只有一個(gè)皇后。
求
解過(guò)程從空配置開始。在第1列至第m列為合理配置的基礎(chǔ)上，再配置第m+1列，直至第n列配置也是合理時(shí)，就找到了一個(gè)解。接著改變第n列配置，希望獲得
下一個(gè)解。另外，在任一列上，可能有n種配置。開始時(shí)配置在第1行，以后改變時(shí)，順次選擇第2行、第3行、…、直到第n行。當(dāng)?shù)趎行配置也找不到一個(gè)合理
的配置時(shí)，就要回溯，去改變前一列的配置。得到求解皇后問(wèn)題的算法如下：
{ 輸入棋盤大小值n；
m=0;
good=1;
do {
if (good)
if (m==n)
{ 輸出解；
改變之，形成下一個(gè)候選解;
}
else 擴(kuò)展當(dāng)前候選接至下一列；
else 改變之，形成下一個(gè)候選解；
good=檢查當(dāng)前候選解的合理性；
} while (m!=0);
}
在
編寫程序之前，先確定邊式棋盤的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。比較直觀的方法是采用一個(gè)二維數(shù)組，但仔細(xì)觀察就會(huì)發(fā)現(xiàn)，這種表示方法給調(diào)整候選解及檢查其合理性帶來(lái)困難。更
好的方法乃是盡可能直接表示那些常用的信息。對(duì)于本題來(lái)說(shuō)，“常用信息”并不是皇后的具體位置，而是“一個(gè)皇后是否已經(jīng)在某行和某條斜線合理地安置好
了”。因在某一列上恰好放一個(gè)皇后，引入一個(gè)一維數(shù)組（col[
]），值col表示在棋盤第i列、col行有一個(gè)皇后。例如：col[3]=4，就表示在棋盤的第3列、第4行上有一個(gè)皇后。另外，為了使程序在找完了全
部解后回溯到最初位置，設(shè)定col[0]的初值為0當(dāng)回溯到第0列時(shí)，說(shuō)明程序已求得全部解，結(jié)束程序運(yùn)行。
為使程序在檢查皇后配置的合理性方面簡(jiǎn)易方便，引入以下三個(gè)工作數(shù)組：
（1） 數(shù)組a[ ]，a[k]表示第k行上還沒有皇后；
（2） 數(shù)組b[ ]，b[k]表示第k列右高左低斜線上沒有皇后；
（3） 數(shù)組 c[ ]，c[k]表示第k列左高右低斜線上沒有皇后；
棋盤中同一右高左低斜線上的方格，他們的行號(hào)與列號(hào)之和相同；同一左高右低斜線上的方格，他們的行號(hào)與列號(hào)之差均相同。
初
始時(shí)，所有行和斜線上均沒有皇后，從第1列的第1行配置第一個(gè)皇后開始，在第m列col[m]行放置了一個(gè)合理的皇后后，準(zhǔn)備考察第m+1列時(shí)，在數(shù)組
a[ ]、b[ ]和c[
]中為第m列，col[m]行的位置設(shè)定有皇后標(biāo)志；當(dāng)從第m列回溯到第m-1列，并準(zhǔn)備調(diào)整第m-1列的皇后配置時(shí)，清除在數(shù)組a[ ]、b[
]和c[ ]中設(shè)置的關(guān)于第m-1列，col[m-1]行有皇后的標(biāo)志。一個(gè)皇后在m列，col[m]行方格內(nèi)配置是合理的，由數(shù)組a[ ]、b[
]和c[ ]對(duì)應(yīng)位置的值都為1來(lái)確定。細(xì)節(jié)見以下程序：
【程序】
# include
# include
# define MAXN 20
int n,m,good;
int col[MAXN+1],a[MAXN+1],b[2*MAXN+1],c[2*MAXN+1];
void main()
{ int j;
char awn;
printf(“Enter n: “); scanf(“%d”,&n);
for (j=0;j<=n;j++) a[j]=1;
for (j=0;j<=2*n;j++) cb[j]=c[j]=1;
m=1; col[1]=1; good=1; col[0]=0;
do {
if (good)
if (m==n)
{ printf(“列\(zhòng)t行”);
for (j=1;j<=n;j++)
printf(“%3d\t%d\n”,j,col[j]);
printf(“Enter a character (Q/q for exit)!\n”);
scanf(“%c”,&awn);
if (awn==’Q’||awn==’q’) exit(0);
while (col[m]==n)
{ m--;
a[col[m]]=b[m+col[m]]=c[n+m-col[m]]=1;
}
col[m]++;
}
else
{ a[col[m]]=b[m+col[m]]=c[n+m-col[m]]=0;
col[++m]=1;
}
else
{ while (col[m]==n)
{ m--;
a[col[m]]=b[m+col[m]]=c[n+m-col[m]]=1;
}
col[m]++;
}
good=a[col[m]]&&b[m+col[m]]&&c[n+m-col[m]];
} while (m!=0);
}
試探法找解算法也常常被編寫成遞歸函數(shù)，下面兩程序中的函數(shù)queen_all()和函數(shù)queen_one()能分別用來(lái)解皇后問(wèn)題的全部解和一個(gè)解。
【程序】
# include
# include
# define MAXN 20
int n;
int col[MAXN+1],a[MAXN+1],b[2*MAXN+1],c[2*MAXN+1];
void main()
{ int j;
printf(“Enter n: “); scanf(“%d”,&n);
for (j=0;j<=n;j++) a[j]=1;
for (j=0;j<=2*n;j++) cb[j]=c[j]=1;
queen_all(1,n);
}
void queen_all(int k,int n)
{ int i,j;
char awn;
for (i=1;i<=n;i++)
if (a&&b[k+i]&&c[n+k-i])
{ col[k]=i;
a=b[k+i]=c[n+k-i]=0;
if (k==n)
{ printf(“列\(zhòng)t行”);
for (j=1;j<=n;j++)
printf(“%3d\t%d\n”,j,col[j]);
printf(“Enter a character (Q/q for exit)!\n”);
scanf(“%c”,&awn);
if (awn==’Q’||awn==’q’) exit(0);
}
queen_all(k+1,n);
a=b[k+i]=c[n+k-i];
}
}
采
用遞歸方法找一個(gè)解與找全部解稍有不同，在找一個(gè)解的算法中，遞歸算法要對(duì)當(dāng)前候選解最終是否能成為解要有回答。當(dāng)它成為最終解時(shí)，遞歸函數(shù)就不再遞歸試
探，立即返回；若不能成為解，就得繼續(xù)試探。設(shè)函數(shù)queen_one()返回1表示找到解，返回0表示當(dāng)前候選解不能成為解。細(xì)節(jié)見以下函數(shù)。
【程序】
# define MAXN 20
int n;
int col[MAXN+1],a[MAXN+1],b[2*MAXN+1],c[2*MAXN+1];
int queen_one(int k,int n)
{ int i,found;
i=found=0;
While (!found&&i
{ i++;
if (a&&b[k+i]&&c[n+k-i])
{ col[k]=i;
a=b[k+i]=c[n+k-i]=0;
if (k==n) return 1;
else
found=queen_one(k+1,n);
a=b[k+i]=c[n+k-i]=1;
}
}
return found;
}
六、貪婪法貪婪法是一種不追求最優(yōu)解，只希望得到較為滿意解的方法。貪婪法一般可以快速得到滿意的解，因?yàn)樗∪チ藶檎易顑?yōu)解要窮盡所有可能而必須耗費(fèi)的大量時(shí)間。貪婪法常以當(dāng)前情況為基礎(chǔ)作最優(yōu)選擇，而不考慮各種可能的整體情況，所以貪婪法不要回溯。
例
如平時(shí)購(gòu)物找錢時(shí)，為使找回的零錢的硬幣數(shù)最少，不考慮找零錢的所有各種發(fā)表方案，而是從最大面值的幣種開始，按遞減的順序考慮各幣種，先盡量用大面值的
幣種，當(dāng)不足大面值幣種的金額時(shí)才去考慮下一種較小面值的幣種。這就是在使用貪婪法。這種方法在這里總是最優(yōu)，是因?yàn)殂y行對(duì)其發(fā)行的硬幣種類和硬幣面值的
巧妙安排。如只有面值分別為1、5和11單位的硬幣，而希望找回總額為15單位的硬幣。按貪婪算法，應(yīng)找1個(gè)11單位面值的硬幣和4個(gè)1單位面值的硬幣，
共找回5個(gè)硬幣。但最優(yōu)的解應(yīng)是3個(gè)5單位面值的硬幣。
【問(wèn)題】 裝箱問(wèn)題
問(wèn)題描述：裝箱問(wèn)題可簡(jiǎn)述如下：設(shè)有編號(hào)為0、
1、…、n-1的n種物品，體積分別為v0、v1、…、vn-1。將這n種物品裝到容量都為V的若干箱子里。約定這n種物品的體積均不超過(guò)V，即對(duì)于
0≤i＜n，有0＜vi≤V。不同的裝箱方案所需要的箱子數(shù)目可能不同。裝箱問(wèn)題要求使裝盡這n種物品的箱子數(shù)要少。
若考察將n種物品的集合分劃
成n個(gè)或小于n個(gè)物品的所有子集，最優(yōu)解就可以找到。但所有可能劃分的總數(shù)太大。對(duì)適當(dāng)大的n，找出所有可能的劃分要花費(fèi)的時(shí)間是無(wú)法承受的。為此，對(duì)裝
箱問(wèn)題采用非常簡(jiǎn)單的近似算法，即貪婪法。該算法依次將物品放到它第一個(gè)能放進(jìn)去的箱子中，該算法雖不能保證找到最優(yōu)解，但還是能找到非常好的解。不失一
般性，設(shè)n件物品的體積是按從大到小排好序的，即有v0≥v1≥…≥vn-1。如不滿足上述要求，只要先對(duì)這n件物品按它們的體積從大到小排序，然后按排
序結(jié)果對(duì)物品重新編號(hào)即可。裝箱算法簡(jiǎn)單描述如下：
{ 輸入箱子的容積；
輸入物品種數(shù)n；
按體積從大到小順序，輸入各物品的體積；
預(yù)置已用箱子鏈為空；
預(yù)置已用箱子計(jì)數(shù)器box_count為0；
for (i=0;i
{ 從已用的第一只箱子開始順序?qū)ふ夷芊湃胛锲穒 的箱子j；
if （已用箱子都不能再放物品i）
{ 另用一個(gè)箱子，并將物品i放入該箱子；
box_count++；
}
else
將物品i放入箱子j；
}
}
上
述算法能求出需要的箱子數(shù)box_count，并能求出各箱子所裝物品。下面的例子說(shuō)明該算法不一定能找到最優(yōu)解，設(shè)有6種物品，它們的體積分別為：
60、45、35、20、20和20單位體積，箱子的容積為100個(gè)單位體積。按上述算法計(jì)算，需三只箱子，各箱子所裝物品分別為：第一只箱子裝物品1、
3；第二只箱子裝物品2、4、5；第三只箱子裝物品6。而最優(yōu)解為兩只箱子，分別裝物品1、4、5和2、3、6。
若每只箱子所裝物品用鏈表來(lái)表示，鏈表首結(jié)點(diǎn)指針存于一個(gè)結(jié)構(gòu)中，結(jié)構(gòu)記錄尚剩余的空間量和該箱子所裝物品鏈表的首指針。另將全部箱子的信息也構(gòu)成鏈表。以下是按以上算法編寫的程序。
【程序】
# include
# include
typedef struct ele
{ int vno;
struct ele *link;
} ELE;
typedef struct hnode
{ int remainder;
ELE *head;
Struct hnode *next;
} HNODE;
void main()
{ int n, i, box_count, box_volume, *a;
HNODE *box_h, *box_t, *j;
ELE *p, *q;
Printf(“輸入箱子容積\n”);
Scanf(“%d”,&box_volume);
Printf(“輸入物品種數(shù)\n”);
Scanf(“%d”,&n);
A=(int *)malloc(sizeof(int)*n);
Printf(“請(qǐng)按體積從大到小順序輸入各物品的體積：”);
For (i=0;i
Box_h=box_t=NULL;
Box_count=0;
For (i=0;i
{ p=(ELE *)malloc(sizeof(ELE));
p->vno=i;
for (j=box_h;j!=NULL;j=j->next)
if (j->remainder>=a) break;
if (j==NULL)
{ j=(HNODE *)malloc(sizeof(HNODE));
j->remainder=box_volume-a;
j->head=NULL;
if (box_h==NULL) box_h=box_t=j;
else box_t=boix_t->next=j;
j->next=NULL;
box_count++;
}
else j->remainder-=a;
for (q=j->next;q!=NULL&&q->link!=NULL;q=q->link);
if (q==NULL)
{ p->link=j->head;
j->head=p;
}
else
{ p->link=NULL;
q->link=p;
}
}
printf(“共使用了%d只箱子”，box_count);
printf(“各箱子裝物品情況如下：”);
for (j=box_h,i=1;j!=NULL;j=j->next,i++)
{ printf(“第%2d只箱子，還剩余容積%4d，所裝物品有；\n”,I,j->remainder);
for (p=j->head;p!=NULL;p=p->link)
printf(“%4d”,p->vno+1);
printf(“\n”);
}
}
【問(wèn)題】 馬的遍歷
問(wèn)題描述：在8×8方格的棋盤上，從任意指定的方格出發(fā)，為馬尋找一條走遍棋盤每一格并且只經(jīng)過(guò)一次的一條路徑。
馬
在某個(gè)方格，可以在一步內(nèi)到達(dá)的不同位置最多有8個(gè)，如圖所示。如用二維數(shù)組board[ ][
]表示棋盤，其元素記錄馬經(jīng)過(guò)該位置時(shí)的步驟號(hào)。另對(duì)馬的8種可能走法（稱為著法）設(shè)定一個(gè)順序，如當(dāng)前位置在棋盤的（i，j）方格，下一個(gè)可能的位置依
次為（i+2，j+1）、（i+1，j+2）、（i-1，j+2）、（i-2，j+1）、（i-2，j-1）、（i-1，j-2）、（i+1，j-2）、
（i+2，j-1），實(shí)際可以走的位置盡限于還未走過(guò)的和不越出邊界的那些位置。為便于程序的同意處理，可以引入兩個(gè)數(shù)組，分別存儲(chǔ)各種可能走法對(duì)當(dāng)前位
置的縱橫增量。
4 3
5 2
馬
6 1
7 0
對(duì)于本題，一般可以采用回溯法，這里采用
Warnsdoff策略求解，這也是一種貪婪法，其選擇下一出口的貪婪標(biāo)準(zhǔn)是在那些允許走的位置中，選擇出口最少的那個(gè)位置。如馬的當(dāng)前位置（i，j）只
有三個(gè)出口，他們是位置（i+2，j+1）、（i-2，j+1）和（i-1，j-2），如分別走到這些位置，這三個(gè)位置又分別會(huì)有不同的出口，假定這三個(gè)
位置的出口個(gè)數(shù)分別為4、2、3，則程序就選擇讓馬走向（i-2，j+1）位置。
由于程序采用的是一種貪婪法，整個(gè)找解過(guò)程是一直向前，沒有回
溯，所以能非常快地找到解。但是，對(duì)于某些開始位置，實(shí)際上有解，而該算法不能找到解。對(duì)于找不到解的情況，程序只要改變8種可能出口的選擇順序，就能找
到解。改變出口選擇順序，就是改變有相同出口時(shí)的選擇標(biāo)準(zhǔn)。以下程序考慮到這種情況，引入變量start，用于控制8種可能著法的選擇順序。開始時(shí)為0，
當(dāng)不能找到解時(shí)，就讓start增1，重新找解。細(xì)節(jié)以下程序。
【程序】
# include
int delta_i[ ]={2,1,-1,-2,-2,-1,1,2};
int delta_j[ ]={1,2,2,1,-1,-2,-2,-1};
int board[8][8];
int exitn(int i,int j,int s,int a[ ])
{ int i1,j1,k,count;
for (count=k=0;k<8;k++)
{ i1=i+delta_i[(s+k)%8];
j1=i+delta_j[(s+k)%8];
if (i1>=0&&i1<8&&j1>=0&&j1<8&&board[I1][j1]==0)
a[count++]=(s+k)%8;
}
return count;
}
int next(int i,int j,int s)
{ int m,k,mm,min,a[8],b[8],temp;
m=exitn(i,j,s,a);
if (m==0) return –1;
for (min=9,k=0;k
{ temp=exitn(I+delta_i[a[k]],j+delta_j[a[k]],s,b);
if (temp
{ min=temp;
kk=a[k];
}
}
return kk;
}
void main()
{ int sx,sy,i,j,step,no,start;
for (sx=0;sx<8;sx++)
for (sy=0;sy<8;sy++)
{ start=0;
do {
for (i=0;i<8;i++)
for (j=0;j<8;j++)
board[j]=0;
board[sx][sy]=1;
I=sx; j=sy;
For (step=2;step<64;step++)
{ if ((no=next(i,j,start))==-1) break;
I+=delta_i[no];
j+=delta_j[no];
board[j]=step;
}
if (step>64) break;
start++;
} while(step<=64)
for (i=0;i<8;i++)
{ for (j=0;j<8;j++)
printf(“%4d”,board[j]);
printf(“\n\n”);
}
scanf(“%*c”);
}
}
七、分治法【問(wèn)題】 大整數(shù)乘法
問(wèn)題描述：
通常，在分析一個(gè)算法的計(jì)算復(fù)雜性時(shí)，都將加法和乘法運(yùn)算當(dāng)作是基本運(yùn)算來(lái)處理，即將執(zhí)行一次加法或乘法運(yùn)
算所需的計(jì)算時(shí)間當(dāng)作一個(gè)僅取決于計(jì)算機(jī)硬件處理速度的常數(shù)。
這個(gè)假定僅在計(jì)算機(jī)硬件能對(duì)參加運(yùn)算的整數(shù)直接表示和處理時(shí)才是合理的。然而，在某些情況下，我們要處理很
大的整數(shù)，它無(wú)法在計(jì)算機(jī)硬件能直接表示的范圍內(nèi)進(jìn)行處理。若用浮點(diǎn)數(shù)來(lái)表示它，則只能近似地表示它的大小
，計(jì)算結(jié)果中的有效數(shù)字也受到限制。若要精確地表示大整數(shù)并在計(jì)算結(jié)果中要求精確地得到所有位數(shù)上的數(shù)字，
就必須用軟件的方法來(lái)實(shí)現(xiàn)大整數(shù)的算術(shù)運(yùn)算。
請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)有效的算法，可以進(jìn)行兩個(gè)n位大整數(shù)的乘法運(yùn)算。
設(shè)X和Y都是n位的二進(jìn)制整數(shù)，現(xiàn)在要計(jì)算它們的乘積XY。我們可以用小學(xué)所學(xué)的方法來(lái)設(shè)計(jì)一個(gè)計(jì)算乘積XY的算
法，但是這樣做計(jì)算步驟太多，顯得效率較低。如果將每2個(gè)1位數(shù)的乘法或加法看作一步運(yùn)算，那么這種方法要作
O(n2)步運(yùn)算才能求出乘積XY。下面我們用分治法來(lái)設(shè)計(jì)一個(gè)更有效的大整數(shù)乘積算法。
圖6-3 大整數(shù)X和Y的分段
我們將n位的二進(jìn)制整數(shù)X和Y各分為2段，每段的長(zhǎng)為n/2位（為簡(jiǎn)單起見，假設(shè)n是2的冪），如圖6-3所示。
由此，X=A2n/2+B，Y=C2n/2+D。這樣，X和Y的乘積為：
XY=(A2n/2+B)(C2n/2+D)=AC2n+(AD+CB)2n/2+BD （1）
如果按式（1）計(jì)算XY，則我們必須進(jìn)行4次n/2位整數(shù)的乘法(AC，AD，BC和BD)，以及3次不超過(guò)n位的整數(shù)加法（
分別對(duì)應(yīng)于式（1）中的加號(hào)），此外還要做2次移位（分別對(duì)應(yīng)于式（1）中乘2n和乘2n/2）。所有這些加法和移
位共用O（n）步運(yùn)算。設(shè)T（n）是2個(gè)n位整數(shù)相乘所需的運(yùn)算總數(shù)，則由式（1），我們有：
（2）
由此可得T（n）=O（n2）。因此，用（1）式來(lái)計(jì)算X和Y的乘積并不比小學(xué)生的方法更有效。要想改進(jìn)算法的計(jì)算
復(fù)雜性，必須減少乘法次數(shù)。為此我們把XY寫成另一種形式：
XY=AC2n+[(A-B)(D-C)+AC+BD]2n/2+BD （3）
雖然，式（3）看起來(lái)比式（1）復(fù)雜些，但它僅需做3次n/2位整數(shù)的乘法（AC，BD和（A-B）（D-C）），6次加、
減法和2次移位。由此可得：
（4）
用解遞歸方程的套用公式法馬上可得其解為T(n)=O(nlog3)=O(n1.59)。利用式（3），并考慮到X和Y的符號(hào)對(duì)結(jié)果
的影響，我們給出大整數(shù)相乘的完整算法MULT如下：
function MULT(X，Y，n); {X和Y為2個(gè)小于2n的整數(shù)，返回結(jié)果為X和Y的乘積XY}
begin
S=SIGN(X)*SIGN(Y); {S為X和Y的符號(hào)乘積}
X=ABS(X);
Y=ABS(Y); {X和Y分別取絕對(duì)值}
if n=1 then
if (X=1)and(Y=1) then return(S)
else return(0)
else begin
A=X的左邊n/2位;
B=X的右邊n/2位;
C=Y的左邊n/2位;
D=Y的右邊n/2位;
ml=MULT(A,C,n/2);
m2=MULT(A-B,D-C,n/2);
m3=MULT(B,D,n/2);
S=S*(m1*2n+(m1+m2+m3)*2n/2+m3);
return(S);
end;
end;
上述二進(jìn)制大整數(shù)乘法同樣可應(yīng)用于十進(jìn)制大整數(shù)的乘法以提高乘法的效率減少乘法次數(shù)。
【問(wèn)題】 最接近點(diǎn)對(duì)問(wèn)題
問(wèn)題描述：
在應(yīng)用中，常用諸如點(diǎn)、圓等簡(jiǎn)單的幾何對(duì)象代表現(xiàn)實(shí)世界中的實(shí)體。在涉及這些幾何對(duì)象的問(wèn)題中，常需要了解
其鄰域中其他幾何對(duì)象的信息。例如，在空中交通控制問(wèn)題中，若將飛機(jī)作為空間中移動(dòng)的一個(gè)點(diǎn)來(lái)看待，則具有
最大碰撞危險(xiǎn)的2架飛機(jī)，就是這個(gè)空間中最接近的一對(duì)點(diǎn)。這類問(wèn)題是計(jì)算幾何學(xué)中研究的基本問(wèn)題之一。下面
我們著重考慮平面上的最接近點(diǎn)對(duì)問(wèn)題。
最接近點(diǎn)對(duì)問(wèn)題的提法是：給定平面上n個(gè)點(diǎn)，找其中的一對(duì)點(diǎn)，使得在n個(gè)點(diǎn)的所有點(diǎn)對(duì)中，該點(diǎn)對(duì)的距離最小。
嚴(yán)格地說(shuō)，最接近點(diǎn)對(duì)可能多于1對(duì)。為了簡(jiǎn)單起見，這里只限于找其中的一對(duì)。
這個(gè)問(wèn)題很容易理解，似乎也不難解決。我們只要將每一點(diǎn)與其他n-1個(gè)點(diǎn)的距離算出，找出達(dá)到最小距離的兩個(gè)
點(diǎn)即可。然而，這樣做效率太低，需要O(n2)的計(jì)算時(shí)間。我們能否找到問(wèn)題的一個(gè)O (nlogn)算法。
這個(gè)問(wèn)題顯然滿足分治法的第一個(gè)和第二個(gè)適用條件，我們考慮將所給的平面上n個(gè)點(diǎn)的集合S分成2個(gè)子集S1和S2
，每個(gè)子集中約有n/2個(gè)點(diǎn)，然后在每個(gè)子集中遞歸地求其最接近的點(diǎn)對(duì)。在這里，一個(gè)關(guān)鍵的問(wèn)題是如何實(shí)現(xiàn)分
治法中的合并步驟，即由S1和S2的最接近點(diǎn)對(duì)，如何求得原集合S中的最接近點(diǎn)對(duì)，因?yàn)?S1和S2的最接近點(diǎn)對(duì)未必
就是S的最接近點(diǎn)對(duì)。如果組成S的最接近點(diǎn)對(duì)的2個(gè)點(diǎn)都在S1中或都在S2中，則問(wèn)題很容易解決。但是，如果這2個(gè)
點(diǎn)分別在 S1和S2中，則對(duì)于S1中任一點(diǎn)p，S2中最多只有n/2個(gè)點(diǎn)與它構(gòu)成最接近點(diǎn)對(duì)的候選者，仍需做n2/4次計(jì)
算和比較才能確定S的最接近點(diǎn)對(duì)。因此，依此思路，合并步驟耗時(shí)為O(n2)。整個(gè)算法所需計(jì)算時(shí)間T(n)應(yīng)滿足：
T(n)=2T(n/2)+O(n2)
它的解為T(n)=O(n2)，即與合并步驟的耗時(shí)同階，顯示不出比用窮舉的方法好。從解遞歸方程的套用公式法，我們
看到問(wèn)題出在合并步驟耗時(shí)太多。這啟發(fā)我們把注意力放在合并步驟上。
為了使問(wèn)題易于理解和分析，我們先來(lái)考慮一維的情形。此時(shí)S中的n個(gè)點(diǎn)退化為x軸上的n個(gè)實(shí)數(shù)x1、x2、…、xn。
最接近點(diǎn)對(duì)即為這n個(gè)實(shí)數(shù)中相差最小的 2個(gè)實(shí)數(shù)。我們顯然可以先將x1、x2、…、xn排好序，然后，用一次線性
掃描就可以找出最接近點(diǎn)對(duì)。這種方法主要計(jì)算時(shí)間花在排序上，因此如在排序算法中所證明的，耗時(shí)為O(nlogn)
。然而這種方法無(wú)法直接推廣到二維的情形。因此，對(duì)這種一維的簡(jiǎn)單情形，我們還是嘗試用分治法來(lái)求解，并希
望能推廣到二維的情形。
假設(shè)我們用x軸上某個(gè)點(diǎn)m將S劃分為2個(gè)子集S1和S2，使得S1={x∈S | x≤m}；S2={x∈S | x>m}。這樣一來(lái)，對(duì)于
所有p∈S1和q∈S2有p
遞歸地在S1和S2上找出其最接近點(diǎn)對(duì){p1，p2}和{q1，q2}，并設(shè)δ=min{|p1-p2|，|q1-q2|}，S中的最接近點(diǎn)對(duì)或
者是{p1，p2}，或者是{q1，q2}，或者是某個(gè){p3，q3}，其中p3∈S1且q3∈S2。如圖1所示。
圖1 一維情形的分治法
我們注意到，如果S的最接近點(diǎn)對(duì)是{p3，q3}，即 | p3-q3 | < δ，則p3和q3兩者與m的距離不超過(guò)δ，即 | p3-m
| < δ，| q3-m | < δ，也就是說(shuō)，p3∈(m-δ，m)，q3∈(m，m+δ)。由于在S1中，每個(gè)長(zhǎng)度為δ的半閉區(qū)間至
多包含一個(gè)點(diǎn)（否則必有兩點(diǎn)距離小于δ），并且m是 S1和S2的分割點(diǎn)，因此(m-δ，m)中至多包含S中的一個(gè)點(diǎn)。
同理，(m，m+δ)中也至多包含S中的一個(gè)點(diǎn)。由圖1可以看出，如果(m-δ，m)中有S中的點(diǎn)，則此點(diǎn)就是S1中最大
點(diǎn)。同理，如果(m，m+δ)中有S中的點(diǎn)，則此點(diǎn)就是S2中最小點(diǎn)。因此，我們用線性時(shí)間就能找到區(qū)間(m-δ，m)
和(m，m+δ)中所有點(diǎn)，即p3和q3。從而我們用線性時(shí)間就可以將S1的解和S2的解合并成為S的解。也就是說(shuō)，按這
種分治策略，合并步可在O(n) 時(shí)間內(nèi)完成。這樣是否就可以得到一個(gè)有效的算法了呢？
還有一個(gè)問(wèn)題需要認(rèn)真考慮，即分割點(diǎn)m的選取，及S1和S2的劃分。選取分割點(diǎn)m的一個(gè)基本要求是由此導(dǎo)出集合S
的一個(gè)線性分割，即S=S1∪S2 ，S1∩S2=Φ，且S1 {x | x≤m}；S2 {x | x>m}。容易看出，如果選取m=[max（S）
+min（S）]/2，可以滿足線性分割的要求。選取分割點(diǎn)后，再用O(n)時(shí)間即可將S劃分成 S1={x∈S |
x≤m}和S2={x∈S | x>m}。然而，這樣選取分割點(diǎn)m，有可能造成劃分出的子集S1和S2的不平衡。例如在最壞情況
下，|S1|=1，|S2|=n-1，由此產(chǎn)生的分治法在最壞情況下所需的計(jì)算時(shí)間T（n）應(yīng)滿足遞歸方程：
T（n）=T（n-1）+O（n）
它的解是T（n）=O（n2）。這種效率降低的現(xiàn)象可以通過(guò)分治法中“平衡子問(wèn)題”的方法加以解決。也就是說(shuō)，我
們可以通過(guò)適當(dāng)選擇分割點(diǎn)m，使S1和 S2中有大致相等個(gè)數(shù)的點(diǎn)。自然地，我們會(huì)想到用S的n個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)的中位數(shù)
來(lái)作分割點(diǎn)。在選擇算法中介紹的選取中位數(shù)的線性時(shí)間算法使我們可以在O（n）時(shí)間內(nèi)確定一個(gè)平衡的分割點(diǎn)m
。
至此，我們可以設(shè)計(jì)出一個(gè)求一維點(diǎn)集S中最接近點(diǎn)對(duì)的距離的算法pair如下。
Float pair（S）;
{ if | S | =2 δ= | x[2]－x[1] | /*x[1..n]存放的是S中n個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)*/
else
{ if ( | S | =1) δ=∞
else
{ m=S中各點(diǎn)的坐標(biāo)值的中位數(shù);
構(gòu)造S1和S2，使S1={x∈S | x≤m}，S2={x∈S | x＞m};
δ1=pair(S1);
δ2=pair(S2);
p=max(S1);
q=min(S2);
δ=min(δ1，δ2，q-p);
}
return(δ);
}
由以上的分析可知，該算法的分割步驟和合并步驟總共耗時(shí)O(n)。因此，算法耗費(fèi)的計(jì)算時(shí)間T(n)滿足遞歸方程：
解此遞歸方程可得T(n)=O(nlogn)。
【問(wèn)題】循環(huán)賽日程表
問(wèn)題描述：設(shè)有n=2k個(gè)運(yùn)動(dòng)員要進(jìn)行網(wǎng)球循環(huán)賽。現(xiàn)要設(shè)計(jì)一個(gè)滿足以下要求的比賽日程表：
（1）每個(gè)選手必須與其他n-1個(gè)選手各賽一次；
（2）每個(gè)選手一天只能參賽一次；
（3）循環(huán)賽在n-1天內(nèi)結(jié)束。
請(qǐng)按此要求將比賽日程表設(shè)計(jì)成有n行和n-1列的一個(gè)表。在表中的第i行，第j列處填入第i個(gè)選手在第j天所遇到的
選手。其中1≤i≤n，1≤j≤n-1。
按分治策略，我們可以將所有的選手分為兩半，則n個(gè)選手的比賽日程表可以通過(guò)n/2個(gè)選手的比賽日程表來(lái)決定。
遞歸地用這種一分為二的策略對(duì)選手進(jìn)行劃分，直到只剩下兩個(gè)選手時(shí)，比賽日程表的制定就變得很簡(jiǎn)單。這時(shí)只
要讓這兩個(gè)選手進(jìn)行比賽就可以了。
1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 4 5 6 7 8
2 1 4 3 6 7 8 5
3 4 1 2 7 8 5 6
1 2 3 4 3 2 1 8 5 6 7
1 2 3 4 5 6 7 8 1 4 3 2
1 2 1 4 3 6 5 8 7 2 1 4 3
1 2 3 4 1 2 7 8 5 6 3 2 1 4
2 1 4 3 2 1 8 7 6 5 4 3 2 1
（1） （2） （3）
圖1 2個(gè)、4個(gè)和8個(gè)選手的比賽日程表
圖1 所列出的正方形表（3）是8個(gè)選手的比賽日程表。其中左上角與左下角的兩小塊分別為選手1至選手4和選手5
至選手8前3天的比賽日程。據(jù)此，將左上角小塊中的所有數(shù)字按其相對(duì)位置抄到右下角，又將左下角小塊中的所有
數(shù)字按其相對(duì)位置抄到右上角，這樣我們就分別安排好了選手1至選手4和選手5至選手8在后4 天的比賽日程。依此
思想容易將這個(gè)比賽日程表推廣到具有任意多個(gè)選手的情形。
八、動(dòng)態(tài)規(guī)劃法經(jīng)常會(huì)遇到復(fù)雜問(wèn)題不能簡(jiǎn)單地分解成幾個(gè)子問(wèn)題，而會(huì)分解出一系列的子問(wèn)題。簡(jiǎn)單地采用把大問(wèn)題分解成子問(wèn)
題，并綜合子問(wèn)題的解導(dǎo)出大問(wèn)題的解的方法，問(wèn)題求解耗時(shí)會(huì)按問(wèn)題規(guī)模呈冪級(jí)數(shù)增加。
為了節(jié)約重復(fù)求相同子問(wèn)題的時(shí)間，引入一個(gè)數(shù)組，不管它們是否對(duì)最終解有用，把所有子問(wèn)題的解存于該數(shù)組中
，這就是動(dòng)態(tài)規(guī)劃法所采用的基本方法。以下先用實(shí)例說(shuō)明動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法的使用。
【問(wèn)題】 求兩字符序列的最長(zhǎng)公共字符子序列
問(wèn)題描述：字符序列的子序列是指從給定字符序列中隨意地（不一定連續(xù)）去掉若干個(gè)字符（可能一個(gè)也不去掉）
后所形成的字符序列。令給定的字符序列X= “x0，x1，…，xm-1”，序列Y=“y0，y1，…，yk-1”是X的子序列，
存在X的一個(gè)嚴(yán)格遞增下標(biāo)序列，使得對(duì)所有的j=0，1，…，k-1，有xij=yj。例如，X=“ABCBDAB”，Y=“BCDB”
是X的一個(gè)子序列。
給定兩個(gè)序列A和B，稱序列Z是A和B的公共子序列，是指Z同是A和B的子序列。問(wèn)題要求已知兩序列A和B的最長(zhǎng)公共
子序列。
如采用列舉A的所有子序列，并一一檢查其是否又是B的子序列，并隨時(shí)記錄所發(fā)現(xiàn)的子序列，最終求出最長(zhǎng)公共子
序列。這種方法因耗時(shí)太多而不可取。
考慮最長(zhǎng)公共子序列問(wèn)題如何分解成子問(wèn)題，設(shè)A=“a0，a1，…，am-1”，B=“b0，b1，…，bm-1”，并Z=“z0，
z1，…，zk-1”為它們的最長(zhǎng)公共子序列。不難證明有以下性質(zhì)：
（1）
如果am-1=bn-1，則zk-1=am-1=bn-1，且“z0，z1，…，zk-2”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-2”
的一個(gè)最長(zhǎng)公共子序列；
（2） 如果am-1!=bn-1，則若zk-1!=am-1，蘊(yùn)涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，
bn-1”的一個(gè)最長(zhǎng)公共子序列；
（3） 如果am-1!=bn-1，則若zk-1!=bn-1，蘊(yùn)涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，
bn-2”的一個(gè)最長(zhǎng)公共子序列。
這樣，在找A和B的公共子序列時(shí)，如有am-1=bn-1，則進(jìn)一步解決一個(gè)子問(wèn)題，找“a0，a1，…，am-2”和“b0，b
1，…，bm-2”的一個(gè)最長(zhǎng)公共子序列；如果am-1!=bn-1，則要解決兩個(gè)子問(wèn)題，找出“a0，a1，…，am-2”和“b
0，b1，…，bn-1”的一個(gè)最長(zhǎng)公共子序列和找出“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一個(gè)最長(zhǎng)公共
子序列，再取兩者中較長(zhǎng)者作為A和B的最長(zhǎng)公共子序列。
定義c[j]為序列“a0，a1，…，ai-2”和“b0，b1，…，bj-1”的最長(zhǎng)公共子序列的長(zhǎng)度，計(jì)算c[j]可遞歸
地表述如下：
（1）c[j]=0 如果i=0或j=0；
（2）c[j]= c[i-1][j-1]+1 如果I，j>0，且a[i-1]=b[j-1]；
（3）c[j]=max（c[j-1]，c[i-1][j]） 如果I，j>0，且a[i-1]!=b[j-1]。
按此算式可寫出計(jì)算兩個(gè)序列的最長(zhǎng)公共子序列的長(zhǎng)度函數(shù)。由于c[j]的產(chǎn)生僅依賴于c[i-1][j-1]、c[i-1][j
]和c[j-1]，故可以從c[m][n]開始，跟蹤c[j]的產(chǎn)生過(guò)程，逆向構(gòu)造出最長(zhǎng)公共子序列。細(xì)節(jié)見程序。
# include
# include
# define N 100
char a[N],b[N],str[N];
int lcs_len(char *a, char *b, int c[ ][ N])
{ int m=strlen(a), n=strlen(b), i,j;
for (i=0;i<=m;i++) c[0]=0;
for (i=0;i<=n;i++) c[0]=0;
for (i=1;i<=m;i++)
for (j=1;j<=m;j++)
if (a[i-1]==b[j-1])
c[j]=c[i-1][j-1]+1;
else if (c[i-1][j]>=c[j-1])
c[j]=c[i-1][j];
else
c[j]=c[j-1];
return c[m][n];
}
char *buile_lcs(char s[ ],char *a, char *b)
{ int k, i=strlen(a), j=strlen(b);
k=lcs_len(a,b,c);
s[k]=’\0’;
while (k>0)
if (c[j]==c[i-1][j]) i--;
else if (c[j]==c[j-1]) j--;
else { s[--k]=a[i-1];
i--; j--;
}
return s;
}
void main()
{ printf (“Enter two string（<%d）!\n”,N);
scanf(“%s%s”,a,b);
printf(“LCS=%s\n”,build_lcs(str,a,b));
}
1、動(dòng)態(tài)規(guī)劃的適用條件
任何思想方法都有一定的局限性，超出了特定條件，它就失去了作用。同樣，動(dòng)態(tài)規(guī)劃也并不是萬(wàn)能的。適用動(dòng)態(tài)
規(guī)劃的問(wèn)題必須滿足最優(yōu)化原理和無(wú)后效性。
（1）最優(yōu)化原理（最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)）
最優(yōu)化原理可這樣闡述：一個(gè)最優(yōu)化策略具有這樣的性質(zhì)，不論過(guò)去狀態(tài)和決策如何，對(duì)前面的決策所形成的狀態(tài)
而言，余下的諸決策必須構(gòu)成最優(yōu)策略。簡(jiǎn)而言之，一個(gè)最優(yōu)化策略的子策略總是最優(yōu)的。一個(gè)問(wèn)題滿足最優(yōu)化原
理又稱其具有最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)。
圖2
例如圖2中，若路線I和J是A到C的最優(yōu)路徑，則根據(jù)最優(yōu)化原理，路線J必是從B到C的最優(yōu)路線。這可用反證法證明
：假設(shè)有另一路徑J’是B到C的最優(yōu)路徑，則A到C的路線取I和J’比I和J更優(yōu)，矛盾。從而證明J’必是B到C的最優(yōu)
路徑。
最優(yōu)化原理是動(dòng)態(tài)規(guī)劃的基礎(chǔ)，任何問(wèn)題，如果失去了最優(yōu)化原理的支持，就不可能用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法計(jì)算。根據(jù)最
優(yōu)化原理導(dǎo)出的動(dòng)態(tài)規(guī)劃基本方程是解決一切動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題的基本方法。
（2）無(wú)后向性
將各階段按照一定的次序排列好之后，對(duì)于某個(gè)給定的階段狀態(tài)，它以前各階段的狀態(tài)無(wú)法直接影響它未來(lái)的決策
，而只能通過(guò)當(dāng)前的這個(gè)狀態(tài)。換句話說(shuō)，每個(gè)狀態(tài)都是過(guò)去歷史的一個(gè)完整總結(jié)。這就是無(wú)后向性，又稱為無(wú)后
效性。
（3）子問(wèn)題的重疊性
動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法的關(guān)鍵在于解決冗余，這是動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法的根本目的。動(dòng)態(tài)規(guī)劃實(shí)質(zhì)上是一種以空間換時(shí)間的技術(shù)，
它在實(shí)現(xiàn)的過(guò)程中，不得不存儲(chǔ)產(chǎn)生過(guò)程中的各種狀態(tài)，所以它的空間復(fù)雜度要大于其它的算法。選擇動(dòng)態(tài)規(guī)劃算
法是因?yàn)閯?dòng)態(tài)規(guī)劃算法在空間上可以承受，而搜索算法在時(shí)間上卻無(wú)法承受，所以我們舍空間而取時(shí)間。
所以，能夠用動(dòng)態(tài)規(guī)劃解決的問(wèn)題還有一個(gè)顯著特征：子問(wèn)題的重疊性。這個(gè)性質(zhì)并不是動(dòng)態(tài)規(guī)劃適用的必要條件
，但是如果該性質(zhì)無(wú)法滿足，動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法同其他算法相比就不具備優(yōu)勢(shì)。
2、動(dòng)態(tài)規(guī)劃的基本思想
前文主要介紹了動(dòng)態(tài)規(guī)劃的一些理論依據(jù)，我們將前文所說(shuō)的具有明顯的階段劃分和狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程的動(dòng)態(tài)規(guī)劃稱為
標(biāo)準(zhǔn)動(dòng)態(tài)規(guī)劃，這種標(biāo)準(zhǔn)動(dòng)態(tài)規(guī)劃是在研究多階段決策問(wèn)題時(shí)推導(dǎo)出來(lái)的，具有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式，適合用于理論上
的分析。在實(shí)際應(yīng)用中，許多問(wèn)題的階段劃分并不明顯，這時(shí)如果刻意地劃分階段法反而麻煩。一般來(lái)說(shuō)，只要該
問(wèn)題可以劃分成規(guī)模更小的子問(wèn)題，并且原問(wèn)題的最優(yōu)解中包含了子問(wèn)題的最優(yōu)解（即滿足最優(yōu)子化原理），則可
以考慮用動(dòng)態(tài)規(guī)劃解決。
動(dòng)態(tài)規(guī)劃的實(shí)質(zhì)是分治思想和解決冗余，因此，動(dòng)態(tài)規(guī)劃是一種將問(wèn)題實(shí)例分解為更小的、相似的子問(wèn)題，并存儲(chǔ)
子問(wèn)題的解而避免計(jì)算重復(fù)的子問(wèn)題，以解決最優(yōu)化問(wèn)題的算法策略。
由此可知，動(dòng)態(tài)規(guī)劃法與分治法和貪心法類似，它們都是將問(wèn)題實(shí)例歸納為更小的、相似的子問(wèn)題，并通過(guò)求解子
問(wèn)題產(chǎn)生一個(gè)全局最優(yōu)解。其中貪心法的當(dāng)前選擇可能要依賴已經(jīng)作出的所有選擇，但不依賴于有待于做出的選擇
和子問(wèn)題。因此貪心法自頂向下，一步一步地作出貪心選擇；而分治法中的各個(gè)子問(wèn)題是獨(dú)立的（即不包含公共的
子子問(wèn)題），因此一旦遞歸地求出各子問(wèn)題的解后，便可自下而上地將子問(wèn)題的解合并成問(wèn)題的解。但不足的是，
如果當(dāng)前選擇可能要依賴子問(wèn)題的解時(shí)，則難以通過(guò)局部的貪心策略達(dá)到全局最優(yōu)解；如果各子問(wèn)題是不獨(dú)立的，
則分治法要做許多不必要的工作，重復(fù)地解公共的子問(wèn)題。
解決上述問(wèn)題的辦法是利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃。該方法主要應(yīng)用于最優(yōu)化問(wèn)題，這類問(wèn)題會(huì)有多種可能的解，每個(gè)解都有一
個(gè)值，而動(dòng)態(tài)規(guī)劃找出其中最優(yōu)（最大或最小）值的解。若存在若干個(gè)取最優(yōu)值的解的話，它只取其中的一個(gè)。在
求解過(guò)程中，該方法也是通過(guò)求解局部子問(wèn)題的解達(dá)到全局最優(yōu)解，但與分治法和貪心法不同的是，動(dòng)態(tài)規(guī)劃允許
這些子問(wèn)題不獨(dú)立，（亦即各子問(wèn)題可包含公共的子子問(wèn)題）也允許其通過(guò)自身子問(wèn)題的解作出選擇，該方法對(duì)每
一個(gè)子問(wèn)題只解一次，并將結(jié)果保存起來(lái)，避免每次碰到時(shí)都要重復(fù)計(jì)算。
因此，動(dòng)態(tài)規(guī)劃法所針對(duì)的問(wèn)題有一個(gè)顯著的特征，即它所對(duì)應(yīng)的子問(wèn)題樹中的子問(wèn)題呈現(xiàn)大量的重復(fù)。動(dòng)態(tài)規(guī)劃
法的關(guān)鍵就在于，對(duì)于重復(fù)出現(xiàn)的子問(wèn)題，只在第一次遇到時(shí)加以求解，并把答案保存起來(lái)，讓以后再遇到時(shí)直接
引用，不必重新求解。
3、動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法的基本步驟
設(shè)計(jì)一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法，通常可按以下幾個(gè)步驟進(jìn)行：
（1）劃分階段：按照問(wèn)題的時(shí)間或空間特征，把問(wèn)題分為若干個(gè)階段。注意這若干個(gè)階段一定要是有序的或者是
可排序的（即無(wú)后向性），否則問(wèn)題就無(wú)法用動(dòng)態(tài)規(guī)劃求解。
（2）選擇狀態(tài)：將問(wèn)題發(fā)展到各個(gè)階段時(shí)所處于的各種客觀情況用不同的狀態(tài)表示出來(lái)。當(dāng)然，狀態(tài)的選擇要滿
足無(wú)后效性。
（3）確定決策并寫出狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：之所以把這兩步放在一起，是因?yàn)闆Q策和狀態(tài)轉(zhuǎn)移有著天然的聯(lián)系，狀態(tài)轉(zhuǎn)
移就是根據(jù)上一階段的狀態(tài)和決策來(lái)導(dǎo)出本階段的狀態(tài)。所以，如果我們確定了決策，狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程也就寫出來(lái)了
。但事實(shí)上，我們常常是反過(guò)來(lái)做，根據(jù)相鄰兩段的各狀態(tài)之間的關(guān)系來(lái)確定決策。
（4）寫出規(guī)劃方程（包括邊界條件）：動(dòng)態(tài)規(guī)劃的基本方程是規(guī)劃方程的通用形式化表達(dá)式。
一般說(shuō)來(lái)，只要階段、狀態(tài)、決策和狀態(tài)轉(zhuǎn)移確定了，這一步還是比較簡(jiǎn)單的。動(dòng)態(tài)規(guī)劃的主要難點(diǎn)在于理論上的
設(shè)計(jì)，一旦設(shè)計(jì)完成，實(shí)現(xiàn)部分就會(huì)非常簡(jiǎn)單。根據(jù)動(dòng)態(tài)規(guī)劃的基本方程可以直接遞歸計(jì)算最優(yōu)值，但是一般將其
改為遞推計(jì)算，實(shí)現(xiàn)的大體上的框架如下：
標(biāo)準(zhǔn)動(dòng)態(tài)規(guī)劃的基本框架
1. 對(duì)fn+1(xn+1)初始化; {邊界條件}
for k:=n downto 1 do
for 每一個(gè)xk∈Xk do
for 每一個(gè)uk∈Uk(xk) do
begin
5. fk(xk):=一個(gè)極值; {∞或－∞}
6. xk+1:=Tk(xk,uk); {狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程}
7. t:=φ(fk+1(xk+1),vk(xk,uk)); {基本方程(9)式}
if t比f(wàn)k(xk)更優(yōu) then fk(xk):=t; {計(jì)算fk(xk)的最優(yōu)值}
end;
9. t:=一個(gè)極值; {∞或－∞}
for 每一個(gè)x1∈X1 do
11. if f1(x1)比t更優(yōu) then t:=f1(x1); {按照10式求出最優(yōu)指標(biāo)}
12. 輸出t;
但是，實(shí)際應(yīng)用當(dāng)中經(jīng)常不顯式地按照上面步驟設(shè)計(jì)動(dòng)態(tài)規(guī)劃，而是按以下幾個(gè)步驟進(jìn)行：
（1）分析最優(yōu)解的性質(zhì)，并刻劃其結(jié)構(gòu)特征。
（2）遞歸地定義最優(yōu)值。
（3）以自底向上的方式或自頂向下的記憶化方法（備忘錄法）計(jì)算出最優(yōu)值。
（4）根據(jù)計(jì)算最優(yōu)值時(shí)得到的信息，構(gòu)造一個(gè)最優(yōu)解。
步驟（1）～（3）是動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法的基本步驟。在只需要求出最優(yōu)值的情形，步驟（4）可以省略，若需要求出問(wèn)
題的一個(gè)最優(yōu)解，則必須執(zhí)行步驟（4）。此時(shí)，在步驟（3）中計(jì)算最優(yōu)值時(shí)，通常需記錄更多的信息，以便在步
驟（4）中，根據(jù)所記錄的信息，快速地構(gòu)造出一個(gè)最優(yōu)解。
1、分治法的基本思想
任
何一個(gè)可以用計(jì)算機(jī)求解的問(wèn)題所需的計(jì)算時(shí)間都與其規(guī)模N有關(guān)。問(wèn)題的規(guī)模越小，越容易直接求解，解題所需的計(jì)算時(shí)間也越少。例如，對(duì)于n個(gè)元素的排序問(wèn)
題，當(dāng)n=1時(shí)，不需任何計(jì)算；n=2時(shí)，只要作一次比較即可排好序；n=3時(shí)只要作3次比較即可，…。而當(dāng)n較大時(shí)，問(wèn)題就不那么容易處理了。要想直接
解決一個(gè)規(guī)模較大的問(wèn)題，有時(shí)是相當(dāng)困難的。
分治法的設(shè)計(jì)思想是，將一個(gè)難以直接解決的大問(wèn)題，分割成一些規(guī)模較小的相同問(wèn)題，以便各個(gè)擊破，分而治之。
如果原問(wèn)題可分割成k個(gè)子問(wèn)題（1
2、分治法的適用條件
分治法所能解決的問(wèn)題一般具有以下幾個(gè)特征：
（1）該問(wèn)題的規(guī)模縮小到一定的程度就可以容易地解決；
（2）該問(wèn)題可以分解為若干個(gè)規(guī)模較小的相同問(wèn)題，即該問(wèn)題具有最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)；
（3）利用該問(wèn)題分解出的子問(wèn)題的解可以合并為該問(wèn)題的解；
（4）該問(wèn)題所分解出的各個(gè)子問(wèn)題是相互獨(dú)立的，即子問(wèn)題之間不包含公共的子子問(wèn)題。
上
述的第一條特征是絕大多數(shù)問(wèn)題都可以滿足的，因?yàn)閱?wèn)題的計(jì)算復(fù)雜性一般是隨著問(wèn)題規(guī)模的增加而增加；第二條特征是應(yīng)用分治法的前提，它也是大多數(shù)問(wèn)題可以
滿足的，此特征反映了遞歸思想的應(yīng)用；第三條特征是關(guān)鍵，能否利用分治法完全取決于問(wèn)題是否具有第三條特征，如果具備了第一條和第二條特征，而不具備第三
條特征，則可以考慮貪心法或動(dòng)態(tài)規(guī)劃法。第四條特征涉及到分治法的效率，如果各子問(wèn)題是不獨(dú)立的，則分治法要做許多不必要的工作，重復(fù)地解公共的子問(wèn)題，
此時(shí)雖然可用分治法，但一般用動(dòng)態(tài)規(guī)劃法較好。
3、分治法的基本步驟
分治法在每一層遞歸上都有三個(gè)步驟：
（1）分解：將原問(wèn)題分解為若干個(gè)規(guī)模較小，相互獨(dú)立，與原問(wèn)題形式相同的子問(wèn)題；
（2）解決：若子問(wèn)題規(guī)模較小而容易被解決則直接解，否則遞歸地解各個(gè)子問(wèn)題；
（3）合并：將各個(gè)子問(wèn)題的解合并為原問(wèn)題的解。
它的一般的算法設(shè)計(jì)模式如下：
Divide_and_Conquer（P）
if |P|≤n0
then return（ADHOC（P））
將P分解為較小的子問(wèn)題P1、P2、…、Pk
for i←1 to k
do
yi ← Divide-and-Conquer（Pi） △ 遞歸解決Pi
T ← MERGE（y1，y2，…，yk） △ 合并子問(wèn)題
Return（T）
其中 |P| 表示問(wèn)題P的規(guī)模；n0為一閾值，表示當(dāng)問(wèn)題P的規(guī)模不超過(guò)n0時(shí)，問(wèn)題已容易直接解出，不必再繼續(xù)分解。ADHOC（P）是該分治法中的基本子算法，用于直接解小規(guī)模的問(wèn)題P。因此，當(dāng)P的規(guī)模不超過(guò)n0時(shí)，直接用算法ADHOC（P）求解。
算法MERGE（y1，y2，…，yk）是該分治法中的合并子算法，用于將P的子問(wèn)題P1、P2、…、Pk的相應(yīng)的解y1、y2、…、yk合并為P的解。
根
據(jù)分治法的分割原則，原問(wèn)題應(yīng)該分為多少個(gè)子問(wèn)題才較適宜？各個(gè)子問(wèn)題的規(guī)模應(yīng)該怎樣才為適當(dāng)？這些問(wèn)題很難予以肯定的回答。但人們從大量實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，在
用分治法設(shè)計(jì)算法時(shí)，最好使子問(wèn)題的規(guī)模大致相同。換句話說(shuō)，將一個(gè)問(wèn)題分成大小相等的k個(gè)子問(wèn)題的處理方法是行之有效的。許多問(wèn)題可以取k=2。這種使
子問(wèn)題規(guī)模大致相等的做法是出自一種平衡子問(wèn)題的思想，它幾乎總是比子問(wèn)題規(guī)模不等的做法要好。
分治法的合并步驟是算法的關(guān)鍵所在。有些問(wèn)題的合并方法比較明顯，有些問(wèn)題合并方法比較復(fù)雜，或者是有多種合并方案；或者是合并方案不明顯。究竟應(yīng)該怎樣合并，沒有統(tǒng)一的模式，需要具體問(wèn)題具體分析。
【問(wèn)題】 凸多邊形的最優(yōu)三角剖分問(wèn)題
問(wèn)題描述：多邊形是平面上一條分段線性的閉曲線。也就是說(shuō)，多邊形是由一系列首尾相接的直線段組成的。組成
多邊形的各直線段稱為該多邊形的邊。多邊形相接兩條邊的連接點(diǎn)稱為多邊形的頂點(diǎn)。若多邊形的邊之間除了連接
頂點(diǎn)外沒有別的公共點(diǎn)，則稱該多邊形為簡(jiǎn)單多邊形。一個(gè)簡(jiǎn)單多邊形將平面分為3個(gè)部分：被包圍在多邊形內(nèi)的
所有點(diǎn)構(gòu)成了多邊形的內(nèi)部；多邊形本身構(gòu)成多邊形的邊界；而平面上其余的點(diǎn)構(gòu)成了多邊形的外部。當(dāng)一個(gè)簡(jiǎn)單
多邊形及其內(nèi)部構(gòu)成一個(gè)閉凸集時(shí)，稱該簡(jiǎn)單多邊形為凸多邊形。也就是說(shuō)凸多邊形邊界上或內(nèi)部的任意兩點(diǎn)所連
成的直線段上所有的點(diǎn)均在該凸多邊形的內(nèi)部或邊界上。
通常，用多邊形頂點(diǎn)的逆時(shí)針序列來(lái)表示一個(gè)凸多邊形，即P=表示具有n條邊v0v1，v1v2，…，vn-1vn的一個(gè)凸多
邊形，其中，約定v0=vn 。
若vi與vj是多邊形上不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)，則線段vivj稱為多邊形的一條弦。弦將多邊形分割成凸的兩個(gè)子多邊形和
。多邊形的三角剖分是一個(gè)將多邊形分割成互不重迭的三角形的弦的集合T。圖1是一個(gè)凸多邊形的兩個(gè)不同的三角
剖分。
(a) (b)
圖1 一個(gè)凸多邊形的2個(gè)不同的三角剖分
在凸多邊形P的一個(gè)三角剖分T中，各弦互不相交且弦數(shù)已達(dá)到最大，即P的任一不在T中的弦必與T中某一弦相交。
在一個(gè)有n個(gè)頂點(diǎn)的凸多邊形的三角刮分中，恰好有n-3條弦和n-2個(gè)三角形。
凸多邊形最優(yōu)三角剖分的問(wèn)題是：給定一個(gè)凸多邊形P=以及定義在由多邊形的邊和弦組成的三角形上的權(quán)函數(shù)ω。
要求確定該凸多邊形的一個(gè)三角剖分，使得該三角剖分對(duì)應(yīng)的權(quán)即剖分中諸三角形上的權(quán)之和為最小。
可以定義三角形上各種各樣的權(quán)函數(shù)ω。例如：定義ω(△vivjvk)=| vivj |+| vivk |+| vkvj |，其中，| vivj
|是點(diǎn)vi到vj的歐氏距離。相應(yīng)于此權(quán)函數(shù)的最優(yōu)三角剖分即為最小弦長(zhǎng)三角剖分。
（1）最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)
凸多邊形的最優(yōu)三角剖分問(wèn)題有最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)。事實(shí)上，若凸（n+1）邊形P=的一個(gè)最優(yōu)三角剖分T包含三角形v0
vkvn，1≤k≤n-1，則T的權(quán)為3個(gè)部分權(quán)的和，即三角形v0vkvn的權(quán)，子多邊形 的權(quán)和的權(quán)之和。可以斷言由T所
確定的這兩個(gè)子多邊形的三角剖分也是最優(yōu)的，因?yàn)槿粲谢虻母?quán)的三角剖分，將會(huì)導(dǎo)致T不是最優(yōu)三角剖分的
矛盾。
（2）最優(yōu)三角剖分對(duì)應(yīng)的權(quán)的遞歸結(jié)構(gòu)
首先，定義t[i，j]（1≤i的最優(yōu)三角剖分所對(duì)應(yīng)的權(quán)值，即最優(yōu)值。為方便起見，設(shè)退化的多邊形具有權(quán)值0。據(jù)
此定義，要計(jì)算的凸（n+1）邊多邊形P對(duì)應(yīng)的權(quán)的最優(yōu)值為t[1，n]。
t[i，j]的值可以利用最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)遞歸地計(jì)算。由于退化的2頂點(diǎn)多邊形的權(quán)值為0，所以t[i，i]=0，i=1，2，
…，n 。當(dāng)j一i≥1時(shí)，子多邊形至少有3個(gè)頂點(diǎn)。由最優(yōu)于結(jié)構(gòu)性質(zhì)，t[i，j]的值應(yīng)為t[i，k]的值加上t [k+1，
j]的值，再加上△vi-1vkvj的權(quán)值，并在i≤k≤j-1的范圍內(nèi)取最小。由此，t[i，j]可遞歸地定義為：
（3）計(jì)算最優(yōu)值
下面描述的計(jì)算凸（n+1）邊形P=的三角剖分最優(yōu)權(quán)值的動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法MINIMUM_WEIGHT，輸入是凸多邊形P=的權(quán)函
數(shù)ω，輸出是最優(yōu)值t[i，j]和使得t[i，k]+t[k+1，j]+ω（△vi-1vkvj）達(dá)到最優(yōu)的位置（k=）s[i，j]，1≤i≤
j≤n 。
Procedure MINIMUM_WEIGHT(P，w)；
Begin
n=length[p]-1;
for i=1 to n do t[i,i]:=0;
for ll=2 to n do
for i=1 to n-ll+1 do
begin
j=i+ll-1;
t[i,j]=∞;
for k=i to j-1 do
begin
q=t[i,k]+t[k+1,j]+ω(△vi-1vkvj);
if q
begin
t[i,j]=q;
s[i,j]=k;
end;
end;
end;
return(t,s);
end;
算法MINIMUM_WEIGHT_占用θ(n2)空間，耗時(shí)θ(n3)。
（4）構(gòu)造最優(yōu)三角剖分
如我們所看到的，對(duì)于任意的1≤i≤j≤n ，算法MINIMUM_WEIGHT在計(jì)算每一個(gè)子多邊形的最優(yōu)三角剖分所對(duì)應(yīng)的
權(quán)值t[i，j]的同時(shí)，還在 s[i，j]中記錄了此最優(yōu)三角剖分中與邊（或弦）vi-1vj構(gòu)成的三角形的第三個(gè)頂點(diǎn)的
位置。因此，利用最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)并借助于s[i，j]， 1≤i≤j≤n ，凸（n+l）邊形P=的最優(yōu)三角剖分可容易地在
Ο(n)時(shí)間內(nèi)構(gòu)造出來(lái)。
習(xí)題：
1、汽車加油問(wèn)題：
設(shè)有路程長(zhǎng)度為L(zhǎng)公里的公路上，分布著m個(gè)加油站，它們的位置分別為p（i=1，2，……，m），而汽車油箱加
滿油后（油箱最多可以加油k升），可以行駛n公里。設(shè)計(jì)一個(gè)方案，使汽車經(jīng)過(guò)此公路的加油次數(shù)盡量少（汽車出
發(fā)時(shí)是加滿油的）。
2、最短路徑：
設(shè)有一個(gè)網(wǎng)絡(luò)，要求從某個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)到其他頂點(diǎn)的最短路徑
3、跳馬問(wèn)題：
在8*8方格的棋盤上，從任意指定的方格出發(fā)，為馬尋找一條走遍棋盤每一格并且只經(jīng)過(guò)一次的一條路徑。
4、二叉樹的遍歷
5、背包問(wèn)題
6、用分治法實(shí)現(xiàn)兩個(gè)大整數(shù)相乘
7、設(shè)x1，x2，…，xn是直線上的n個(gè)點(diǎn)，若要用單位長(zhǎng)度的閉區(qū)間去覆蓋這n個(gè)點(diǎn)，至少需要多少個(gè)這樣的單位閉區(qū)間？
8、用關(guān)系“＜”和“＝”將3個(gè)數(shù)A、B和C依次排列時(shí)，有13種不同的序關(guān)系：
A＝B＝C，A＝B＜C，A＜B＝C，A＜B＜C，A＜C＜B，A＝C＜B，B＜A＝C，
B＜A＜C，B＜C＜A，B＝C＜A，C＜A＝B，C＜A＜B，C＜A＜B。
若要將n個(gè)數(shù)依序進(jìn)行排列，試設(shè)計(jì)一個(gè)動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法，計(jì)算出有多少鐘不同的序關(guān)系。
9、有一種單人玩的游戲：設(shè)有n(2<=n<=200)堆薄片，各堆順序用0至 n-1編號(hào)，極端情況，有的堆可能沒有薄片。
在游戲過(guò)程中，一次移動(dòng)只能取某堆上的若干張薄片，移到該堆的相鄰堆上。如指定
I堆k張 k 移到I-1(I>0)堆，和將k 張薄片移至I+1(I
游戲的目標(biāo)是對(duì)給定的堆數(shù)，和各堆上的薄片數(shù)，按上述規(guī)則移動(dòng)薄片，最終使 各堆的薄片數(shù)相同。為了使移動(dòng)
次數(shù)較少些，移動(dòng)哪一堆薄片，和移多少薄片先作以下估算：
設(shè)
ci:I堆的薄片數(shù)(0<=I<=ci<=200);
v：每堆 的平均薄片數(shù)；
ai:I堆的相鄰堆可以從I堆得到的薄片數(shù)。
估算方法如下：
v=c0+a1-a0 a1=v+a0-c0
v=c1+a0+a2-2a1 a2=v+2a1-a0-c1
…….. ……….
V=ci+ai-1+ai+1-2aI ai+1=v+2ai-ai-1-ci
這里并不希望準(zhǔn)確地求出A0 至an-1，而是作以下處理：若令 a0 為0，能按上述算式計(jì)算出 A1至 an-1。程序找出
a 中的最小值，并讓全部a值減去這最小值，使每堆移去的薄片數(shù)大于等于0。
實(shí)際操作采用以下貪心策略：
（1）每次從第一堆出發(fā)順序搜索每一堆，若發(fā)現(xiàn)可從 I堆移走薄片，就完成一次移動(dòng)。即， I堆的相鄰堆從 I堆
取走 ai片薄片。可從I 堆移薄片到相鄰堆取于 I堆薄片數(shù)：若I 堆是處于兩端位置( I=0 I=n-1), 要求 ci>=ai
；若 I堆是中間堆，則要求ci>=2ai。
（2）因在ai>0的所有堆中，薄片數(shù)最多的堆 在平分過(guò)程中被它的相鄰堆取走的薄片數(shù)也最多。在用策略（1）搜
索移動(dòng)時(shí)，當(dāng)發(fā)生沒有滿足條件（1）的可移走薄片的堆時(shí)，采用本策略，讓在ai>0的所有堆中，薄片數(shù)最多的堆
被它的相鄰堆取走它的全部薄片。