回溯法:八皇后問題，一個(gè)經(jīng)典問題

     在程序設(shè)計(jì)中還有一種方法叫做"回溯法".他不是按照某種公式或確定的法則,求問題的解,而是通過試探和糾正錯(cuò)誤的策略,找到問題的街.這種方法一般是從一個(gè)原始狀態(tài)出發(fā),通過若干步試探,最后達(dá)到目標(biāo)狀態(tài)終止.
    回溯法在理論上來說,就是在一棵搜索樹中從根結(jié)點(diǎn)出發(fā),找到一條達(dá)到滿足某條件的子結(jié)點(diǎn)的路徑.在搜索過程中,對(duì)于每一個(gè)中間結(jié)點(diǎn),他的位置以及向下搜索過程是相似的,因此完全可以用遞歸來處理.典型的例子就是著名的"八皇后問題".
    "八皇后問題"是在國際象棋棋盤上放置八個(gè)皇后,使她們不能相吃.國際象棋中的皇后可以吃掉與她處于同一行,同一列,同一對(duì)角線上的棋子.因此每一行只能擺放一個(gè)皇后.因共有八行,所以每行有且只有一個(gè)皇后.
    在本例中皇后的位置有一個(gè)一維數(shù)組來存放A(I)=J表示第I行皇后放在第J列.下面主要來看看怎么樣判斷皇后是否安全的問題.(1)首先,用一維數(shù)組來表示,已經(jīng)解決了不在同一行的問題.(2)對(duì)于列可以引進(jìn)一個(gè)標(biāo)志數(shù)組C[J],若J列上已放了皇后,則C[J]=FALSE.(3)對(duì)于左上右下的對(duì)角線I-J為一常量,位于[-7,+7]之間,再此引入標(biāo)志數(shù)組L[-7..7];對(duì)于左下右上的對(duì)角線,類似的有I+J等于常量,用數(shù)組R[2..16]來表示.當(dāng)在第I行,第J列上放置了皇后,則只需設(shè)置:C[J]:=FALSE; L[I-J]:=FLASE; R[I+J]:=FALSE就可以解決皇后的安全問題了.

問題描述：在標(biāo)準(zhǔn)國際象棋的棋盤上（8*8格）準(zhǔn)備放置8只皇后，我們知道，國際象棋中皇后的威力是最大的，她既可以橫走豎走，還可以斜著走，遇到擋在她前進(jìn)路線上的敵人，她就可以吃掉對(duì)手。要求在棋盤上安放8只皇后，使她們彼此互相都不能吃到對(duì)方，求皇后的放法。
/************************************************************************/
/*　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 */
/*　　　　問題：在8×8的國際象棋棋盤上放置8個(gè)皇后，要求任意兩個(gè)皇后　　　　　　 */
/*　　　　　　 不能在同一行、同一列或同一條對(duì)角線上?！　　　　　　　　　　　?*/
/*　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 */
/*　　　　本程序使用遞歸－回溯法求解8皇后問題。Visual C++ 6.0 調(diào)試通過。　　*/
/*　　　　作者 晨星　　　　 2002年5月9日　　　　　　　　　　　　　　　　　　 */
/*　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 */
/************************************************************************/
#include <stdio.h>
#include <conio.h>
#include <math.h>
#define QUEENS 8
//!記錄解的序號(hào)的全局變量。
int iCount = 0;
//!記錄皇后在各列上的放置位置的全局?jǐn)?shù)組。
int Site[QUEENS];
//!遞歸求解的函數(shù)。
void Queen(int n);
//!輸出一個(gè)解。
void Output();
//!判斷第n個(gè)皇后放上去之后，是否有沖突。
int IsValid(int n);
/*----------------------------Main：主函數(shù)。 ----------------------------*/
void main()
{
　　　　 //!從第0列開始遞歸試探。
　　　　 Queen(0);
　　　　 //!按任意鍵返回。
　　　　 getch();
}
/*-----------------Queen：遞歸放置第n個(gè)皇后，程序的核心!----------------*/
void Queen(int n)
{
　　　　 int i;
　　　　 //!參數(shù)n從0開始，等于8時(shí)便試出了一個(gè)解，將它輸出并回溯。
　　　　 if(n == QUEENS)
　　　　 {
　　　　　　　　　　 Output();
　　　　　　　　　　 return;
　　　　 }
　　　　　　
　　　　 //!n還沒到8，在第n列的各個(gè)行上依次試探。
　　　　 for(i = 1 ; i <= QUEENS ; i++)
　　　　 {
　　　　　　　　　　 //!在該列的第i行上放置皇后。
　　　　　　　　　　 Site[n] = i;
　　　　　　　　　　 //!如果放置沒有沖突，就開始下一列的試探。
　　　　　　　　　　 if(IsValid(n))
　　　　　　　　　　　　　　　　 Queen(n + 1);
　　　　 }
}
/*------IsValid：判斷第n個(gè)皇后放上去之后，是否合法，即是否無沖突。------*/
int IsValid(int n)
{
　　　　 int i;
　　　　 //!將第n個(gè)皇后的位置依次于前面n－1個(gè)皇后的位置比較。
　　　　 for(i = 0 ; i < n ; i++)
　　　　 {
　　　　　　　　　　 //!兩個(gè)皇后在同一行上，返回0。
　　　　　　　　　　 if(Site[i] == Site[n])
　　　　　　　　　　　　　　　　 return 0;
　　　　　　　　　　 //!兩個(gè)皇后在同一對(duì)角線上，返回0。
　　　　　　　　　　 if(abs(Site[i] - Site[n]) == (n - i))
　　　　　　　　　　　　　　　　 return 0;
　　　　 }
　　　　 //!沒有沖突，返回1。
　　　　 return 1;
}
/*------------Output：輸出一個(gè)解，即一種沒有沖突的放置方案。------------*/
void Output()
{
　　　　 int i;
　　　　 //!輸出序號(hào)。
　　　　 printf("No.%-5d" , ++iCount);
　　　　 //!依次輸出各個(gè)列上的皇后的位置，即所在的行數(shù)。
　　　　 for(i = 0 ; i < QUEENS ; i++)
　　　　　　　　　　 printf("%d " , Site[i]);
　　　　 printf("n");
}

STL源代碼
用了STL, 方法是一樣的.
#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;
void queen(const string t, const string s)
{
　　　　if (s=="") cout<<t<<endl;
　　　　else
　　　　　　　　for (int i=0; i<s.length(); i++) {
　　　　　　　　　　　　bool safe=true;
　　　　　　　　　　　　for (int j=0;j<t.length();j++) {
　　　　　　　　　　　　　　　　if (t.length()-j==abs(s[i]-t[j])) safe=false;
　　　　　　　　　　　　}
　　　　　　　　　　　　if (safe) queen(t+s[i], s.substr(0,i)+s.substr(i+1));
　　　　}
}
int main()
{
            string s="01234567";
　　　　queen("",s);
　　　　system("PAUSE");
　　　　exit(EXIT_SUCCESS);
}

遞歸解八皇后問題
/*遞歸法解八皇后問題*/
/*作者黃國瑜，《數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)（C語言版）》清華大學(xué)出版社*/
char Chessboard[8][8]; /*聲明8＊8的空白棋盤*/
int N_Queens(int LocX, int LocY, int Queens) /*遞歸*/
{
int i,j;
int Result=0;
if(Queens == 8)/*遞歸結(jié)束條件*/
　　 return 1;
else if(QueenPlace(LocX,LocY))/*遞歸執(zhí)行部分*/
　　{
　　Chessboard[LocX][LocY] = 'Q';
　　for(i=0;i<8;i++)
　　　　for(j=0;j<8;j++)
　　　　{
　　　　Result += N_Queens(i,j,Queens+1);
　　　　if(Result>0)
　　　　　　break;
　　　　}
　　if(Result>0)
　　　　return 1;
　　else
　　　　{
　　　　Chessboard[LocX][LocY] = 'X';
　　　　}
　　}
else
　　return 0;
}
int QueenPlace(int LocX,int LocY) /*判斷傳入坐標(biāo)本身及入八個(gè)方向上是否有皇后*/
{
int i,j;
if(Chessboard[LocX][LocY] != 'X')
　　return 0;
for(j=LocY-1;j>=0;j--)
　　if(Chessboard[LocX][j] != 'X')
　　　　return 0;
for(j=LocY+1;j<8;j++)
　　if(Chessboard[LocX][j] != 'X')
　　　　return 0;
for(i=LocX-1;i>=0;i--)
　　if(Chessboard[i][LocY] != 'X')
　　　　return 0;
for(i=LocX+1;i<8;i++)
　　if(Chessboard[i][LocY] != 'X')
　　　　return 0;
i= LocX - 1;
j= LocY - 1;
while (i>=0&&j>=0)
　　if(Chessboard[i--][j--] != 'X')
　　　　return 0;
i= LocX + 1;
j= LocY - 1;
while (i<8&&j>=0)
　　if(Chessboard[i++][j--] != 'X')
　　　　return 0;
i= LocX - 1;
j= LocY + 1;
while (i>=0&&j<8)
　　if(Chessboard[i--][j++] != 'X')
　　　　return 0;
i= LocX + 1;
j= LocY + 1;
while (i<8&&j<8)
　　if(Chessboard[i++][j--] != 'X')
　　　　return 0;
return 1;
}
main() /*主程序*/
{
int i,j;
for(i=0;i<8;i++)
　　for(j=0;j<8;j++)
　　　　Chessboard[i][j] = 'X';
N_Queens(0,0,0);
printf("the graph of 8 Queens on the Chessboard.is:n");
for(i=0;i<8;i++)
　　for(j=0;j<8;j++)
　　{
　　if(Chessboard[i][j] == 'Q')
　　　　printf("(%d,%d)n",i,j);
　　}
getch();
}
/*********************************************************
*****************八皇后問題*******************************
************根據(jù)嚴(yán)書給的類c算法求得************************
*********************************************************/
#include<stdio.h>
#define N 8
int col=1,row=1,slash=1,bslash=1;
int a[N][N];
int p,q,k,l;
int num=0;
void trial(int i)
{
int j;　　 /*注 意，這里的j 一定要設(shè)為內(nèi)部變量*/
if(i==N)
{
num++;
for(k=0;k<N;k++)
{
for(l=0;l<N;l++)
{
　　if(a[k][l]==1)
　　 printf("@");
　　else printf("*");
}
printf("n");
}
printf("nn");
getchar();
}
else
{
for(j=0;j<N;j++)
{
for(k=0;k<i;k++)
　　if(a[k][j]==1)
　　{
　　 col=0;
　　 break;
　　}　　　　 /*列*/
p=i-1;
q=j+1;
while((p>=0)&&(q<N))
{
　　if(a[p][q]==1)
　　{
　　 slash=0;
　　 break;
　　}
　　p--;
　　q++;
}
p=i-1;
q=j-1; /*對(duì)角*/
while((p>=0)&&(q>=0))
{
　　if(a[p][q]==1)
　　{
　　 bslash=0;
　　 break;
　　}
　　p--;
　　q--;
}　　　　　　/*斜對(duì)角*/
if((col==1)&&(slash==1)&&(bslash==1)) /*條件判斷*/
{
　　a[i][j]=1;
　　trial(i+1);
}
col=1;slash=1;bslash=1;
a[i][j]=0;
}
}
}
void main()
{
trial(0);
printf("%dn",num);
getchar();
}