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A*算法詳解——by Sunway

寫這篇文章的初衷是應(yīng)一個(gè)網(wǎng)友的要求，當(dāng)然我也發(fā)現(xiàn)現(xiàn)在有關(guān)人工智能的中文站點(diǎn)實(shí)在太少，我在這里拋磚引玉，希望大家都來熱心的參與。還是說正題，我先拿A*算法開刀，是因?yàn)锳*在游戲中有它很典型的用法，是人工智能在游戲中的代表。A*算法在人工智能中是一種典型的啟發(fā)式搜索算法，為了說清楚A*算法，我看還是先說說何謂啟發(fā)式算法。

1、何謂啟發(fā)式搜索算法
　　在說它之前先提提狀態(tài)空間搜索。狀態(tài)空間搜索，如果按專業(yè)點(diǎn)的說法就是將問題求解過程表現(xiàn)為從初始狀態(tài)到目標(biāo)狀態(tài)尋找這個(gè)路徑的過程。通俗點(diǎn)說，就是在解一個(gè)問題時(shí)，找到一條解題的過程可以從求解的開始到問題的結(jié)果（好象并不通俗哦）。由于求解問題的過程中分枝有很多，主要是求解過程中求解條件的不確定性，不完備性造成的，使得求解的路徑很多這就構(gòu)成了一個(gè)圖，我們說這個(gè)圖就是狀態(tài)空間。問題的求解實(shí)際上就是在這個(gè)圖中找到一條路徑可以從開始到結(jié)果。這個(gè)尋找的過程就是狀態(tài)空間搜索。
　　常用的狀態(tài)空間搜索有深度優(yōu)先和廣度優(yōu)先。廣度優(yōu)先是從初始狀態(tài)一層一層向下找，直到找到目標(biāo)為止。深度優(yōu)先是按照一定的順序前查找完一個(gè)分支，再查找另一個(gè)分支，以至找到目標(biāo)為止。這兩種算法在數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)書中都有描述，可以參看這些書得到更詳細(xì)的解釋。
　　前面說的廣度和深度優(yōu)先搜索有一個(gè)很大的缺陷就是他們都是在一個(gè)給定的狀態(tài)空間中窮舉。這在狀態(tài)空間不大的情況下是很合適的算法，可是當(dāng)狀態(tài)空間十分大，且不預(yù)測(cè)的情況下就不可取了。他的效率實(shí)在太低，甚至不可完成。在這里就要用到啟發(fā)式搜索了。
　　啟發(fā)式搜索就是在狀態(tài)空間中的搜索對(duì)每一個(gè)搜索的位置進(jìn)行評(píng)估，得到最好的位置，再?gòu)倪@個(gè)位置進(jìn)行搜索直到目標(biāo)。這樣可以省略大量無畏的搜索路徑，提到了效率。在啟發(fā)式搜索中，對(duì)位置的估價(jià)是十分重要的。采用了不同的估價(jià)可以有不同的效果。我們先看看估價(jià)是如何表示的。
　　啟發(fā)中的估價(jià)是用估價(jià)函數(shù)表示的，如：

f(n) = g(n) + h(n)

　　其中f(n) 是節(jié)點(diǎn)n的估價(jià)函數(shù)，g(n)實(shí)在狀態(tài)空間中從初始節(jié)點(diǎn)到n節(jié)點(diǎn)的實(shí)際代價(jià)，h(n)是從n到目標(biāo)節(jié)點(diǎn)最佳路徑的估計(jì)代價(jià)。在這里主要是h(n)體現(xiàn)了搜索的啟發(fā)信息，因?yàn)間(n)是已知的。如果說詳細(xì)點(diǎn)，g(n)代表了搜索的廣度的優(yōu)先趨勢(shì)。但是當(dāng)h(n) >> g(n)時(shí)，可以省略g(n)，而提高效率。這些就深了，不懂也不影響啦！我們繼續(xù)看看何謂A*算法。

2、初識(shí)A*算法
　　啟發(fā)式搜索其實(shí)有很多的算法，比如：局部擇優(yōu)搜索法、最好優(yōu)先搜索法等等。當(dāng)然A*也是。這些算法都使用了啟發(fā)函數(shù)，但在具體的選取最佳搜索節(jié)點(diǎn)時(shí)的策略不同。象局部擇優(yōu)搜索法，就是在搜索的過程中選取“最佳節(jié)點(diǎn)”后舍棄其他的兄弟節(jié)點(diǎn)，父親節(jié)點(diǎn)，而一直得搜索下去。這種搜索的結(jié)果很明顯，由于舍棄了其他的節(jié)點(diǎn)，可能也把最好的節(jié)點(diǎn)都舍棄了，因?yàn)榍蠼獾淖罴压?jié)點(diǎn)只是在該階段的最佳并不一定是全局的最佳。最好優(yōu)先就聰明多了，他在搜索時(shí)，便沒有舍棄節(jié)點(diǎn)（除非該節(jié)點(diǎn)是死節(jié)點(diǎn)），在每一步的估價(jià)中都把當(dāng)前的節(jié)點(diǎn)和以前的節(jié)點(diǎn)的估價(jià)值比較得到一個(gè)“最佳的節(jié)點(diǎn)”。這樣可以有效的防止“最佳節(jié)點(diǎn)”的丟失。那么A*算法又是一種什么樣的算法呢？其實(shí)A*算法也是一種最好優(yōu)先的算法。只不過要加上一些約束條件罷了。由于在一些問題求解時(shí)，我們希望能夠求解出狀態(tài)空間搜索的最短路徑，也就是用最快的方法求解問題，A*就是干這種事情的！我們先下個(gè)定義，如果一個(gè)估價(jià)函數(shù)可以找出最短的路徑，我們稱之為可采納性。A*算法是一個(gè)可采納的最好優(yōu)先算法。A*算法的估價(jià)函數(shù)可表示為：

f'(n) = g'(n) + h'(n)

　　這里，f'(n)是估價(jià)函數(shù)，g'(n)是起點(diǎn)到終點(diǎn)的最短路徑值，h'(n)是n到目標(biāo)的最斷路經(jīng)的啟發(fā)值。由于這個(gè)f'(n)其實(shí)是無法預(yù)先知道的，所以我們用前面的估價(jià)函數(shù)f(n)做近似。g(n)代替g'(n)，但 g(n)>=g'(n)才可（大多數(shù)情況下都是滿足的，可以不用考慮），h(n)代替h'(n)，但h(n)<=h'(n)才可（這一點(diǎn)特別的重要）。可以證明應(yīng)用這樣的估價(jià)函數(shù)是可以找到最短路徑的，也就是可采納的。我們說應(yīng)用這種估價(jià)函數(shù)的最好優(yōu)先算法就是A*算法。哈。你懂了嗎？肯定沒懂。接著看。
　　舉一個(gè)例子，其實(shí)廣度優(yōu)先算法就是A*算法的特例。其中g(shù)(n)是節(jié)點(diǎn)所在的層數(shù)，h(n)=0，這種h(n)肯定小于h'(n)，所以由前述可知廣度優(yōu)先算法是一種可采納的。實(shí)際也是。當(dāng)然它是一種最臭的A*算法。
再說一個(gè)問題，就是有關(guān)h(n)啟發(fā)函數(shù)的信息性。h(n)的信息性通俗點(diǎn)說其實(shí)就是在估計(jì)一個(gè)節(jié)點(diǎn)的值時(shí)的約束條件，如果信息越多或約束條件越多則排除的節(jié)點(diǎn)就越多，估價(jià)函數(shù)越好或說這個(gè)算法越好。這就是為什么廣度優(yōu)先算法的那么臭的原因了，誰叫它的h(n)=0，一點(diǎn)啟發(fā)信息都沒有。但在游戲開發(fā)中由于實(shí)時(shí)性的問題，h(n)的信息越多，它的計(jì)算量就越大，耗費(fèi)的時(shí)間就越多。就應(yīng)該適當(dāng)?shù)臏p小h(n)的信息，即減小約束條件。但算法的準(zhǔn)確性就差了，這里就有一個(gè)平衡的問題。可難了，這就看你的了！
　　好了我的話也說得差不多了，我想你肯定是一頭的霧水了，其實(shí)這是寫給懂A*算法的同志看的。哈哈。你還是找一本人工智能的書仔細(xì)看看吧！我這幾百字是不足以將A*算法講清楚的。只是起到拋磚引玉的作用希望大家熱情參與嗎。

在這里我將對(duì)A*算法的實(shí)際應(yīng)用進(jìn)行一定的探討，并且舉一個(gè)有關(guān)A*算法在最短路徑搜索的例子。值得注意的是這里并不對(duì)A*的基本的概念作介紹，如果你還對(duì)A*算法不清楚的話，請(qǐng)看姊妹篇《初識(shí)A*算法》。
　　這里所舉的例子是參考AMIT主頁中的一個(gè)源程序，你可以在AMIT的站點(diǎn)上下載也可以在我的站點(diǎn)上下載。你使用這個(gè)源程序時(shí)，應(yīng)該遵守一定的公約。

1、A*算法的程序編寫原理
　　我在《初識(shí)A*算法》中說過，A*算法是最好優(yōu)先算法的一種。只是有一些約束條件而已。我們先來看看最好優(yōu)先算法是如何編寫的吧。如圖有如下的狀態(tài)空間：（起始位置是A，目標(biāo)位置是P，字母后的數(shù)字表示節(jié)點(diǎn)的估價(jià)值）。
　　如圖有如下的狀態(tài)空間：（起始位置是A，目標(biāo)位置是P，字母后的數(shù)字表示節(jié)點(diǎn)的估價(jià)值）


圖1 狀態(tài)空間圖

　　搜索過程中設(shè)置兩個(gè)表：OPEN和CLOSED。OPEN表保存了所有已生成而未考察的節(jié)點(diǎn)，CLOSED表中記錄已訪問過的節(jié)點(diǎn)。算法中有一步是根據(jù)估價(jià)函數(shù)重排OPEN表。這樣循環(huán)中的每一步只考慮OPEN表中狀態(tài)最好的節(jié)點(diǎn)。具體搜索過程如下：

　　1）初始狀態(tài)：
　　　　　 OPEN=[A5];　　　　　　　　　　　　CLOSED=[];
　　2）估算A5，取得搜有子節(jié)點(diǎn)，并放入OPEN表中；
　　　　　 OPEN=[B4, C4, D6];　　　　　　　　CLOSED=[A5]
　　3）估算B4，取得搜有子節(jié)點(diǎn)，并放入OPEN表中；
　　　　　 OPEN=[C4, E5, F5, D6];　　　　　　CLOSED=[B4, A5]
　　4）估算C4；取得搜有子節(jié)點(diǎn)，并放入OPEN表中；
　　　　　 OPEN=[H3, G4, E5, F5, D6]　　　　 CLOSED=[C4, B4, A5]
　　5）估算H3，取得搜有子節(jié)點(diǎn)，并放入OPEN表中；
　　　　　 OPEN=[O2, P3, G4, E5, F5, D6];　　CLOSED=H3C4, B4, A5]
　　6）估算O2，取得搜有子節(jié)點(diǎn)，并放入OPEN表中；
　　　　　 OPEN=[P3, G4, E5, F5, D6];　　　　CLOSED=[O2, H3, C4, B4, A5]
　　7）估算P3，已得到解；

　　看了具體的過程，再看看偽程序吧。算法的偽程序如下：

　　Best_First_Search()
　　{
　　　　Open = [起始節(jié)點(diǎn)];
　　　　Closed = [];
　　　　while ( Open表非空 )
　　　　{
　　　　　　從Open中取得一個(gè)節(jié)點(diǎn)X, 并從OPEN表中刪除.
　　　　　　if (X是目標(biāo)節(jié)點(diǎn))
　　　　　　{
　　　　　　　　求得路徑PATH;
　　　　　　　　返回路徑PATH;
　　　　　　}
　　　　　　for (每一個(gè)X的子節(jié)點(diǎn)Y)
　　　　　　{
　　　　　　　　if( Y不在OPEN表和CLOSE表中 )
　　　　　　　　{
　　　　　　　　　　求Y的估價(jià)值;
　　　　　　　　　　并將Y插入OPEN表中;　//還沒有排序
　　　　　　　　}
　　　　　　　　else if( Y在OPEN表中 )
　　　　　　　　{
　　　　　　　　　　if( Y的估價(jià)值小于OPEN表的估價(jià)值 )
　　　　　　　　　　　　更新OPEN表中的估價(jià)值;
　　　　　　　　}
　　　　　　　　else //Y在CLOSE表中
　　　　　　　　{
　　　　　　　　　　if( Y的估價(jià)值小于CLOSE表的估價(jià)值 )
　　　　　　　　　　{
　　　　　　　　　　　　更新CLOSE表中的估價(jià)值;
　　　　　　　　　　　　從CLOSE表中移出節(jié)點(diǎn), 并放入OPEN表中;
　　　　　　　　　　}
　　　　　　　　}
　　　　　　　　將X節(jié)點(diǎn)插入CLOSE表中;
　　　　　　　　按照估價(jià)值將OPEN表中的節(jié)點(diǎn)排序;
　　　　　　}　//end for
　　　　}　//end while
　　}　//end func

　　啊！偽程序出來了，寫一個(gè)源程序應(yīng)該不是問題了，依葫蘆畫瓢就可以。A*算法的程序與此是一樣的，只要注意估價(jià)函數(shù)中的g(n)的h(n)約束條件就可以了。不清楚的可以看看《初識(shí)A*算法》。好了，我們可以進(jìn)入另一個(gè)重要的話題，用A*算法實(shí)現(xiàn)最短路徑的搜索。在此之前你最好認(rèn)真的理解前面的算法。不清楚可以找我。

2、用A*算法實(shí)現(xiàn)最短路徑的搜索
　　在游戲設(shè)計(jì)中，經(jīng)常要涉及到最短路徑的搜索，現(xiàn)在一個(gè)比較好的方法就是用A*算法進(jìn)行設(shè)計(jì)。他的好處我們就不用管了，反正就是好！
　　注意下面所說的都是以ClassAstar這個(gè)程序?yàn)樗{(lán)本，你可以在這里下載這個(gè)程序。這個(gè)程序是一個(gè)完整的工程。里面帶了一個(gè)EXE文件。可以先看看。
　　先復(fù)習(xí)一下，A*算法的核心是估價(jià)函數(shù)f(n)，它包括g(n)和h(n)兩部分。g(n)是已經(jīng)走過的代價(jià)，h(n)是n到目標(biāo)的估計(jì)代價(jià)。在這個(gè)例子中g(shù)(n)表示在狀態(tài)空間從起始節(jié)點(diǎn)到n節(jié)點(diǎn)的深度，h(n)表示n節(jié)點(diǎn)所在地圖的位置到目標(biāo)位置的直線距離。啊！一個(gè)是狀態(tài)空間，一個(gè)是實(shí)際的地圖，不要搞錯(cuò)了。再詳細(xì)點(diǎn)說，有一個(gè)物體A，在地圖上的坐標(biāo)是(xa,ya)，A所要到達(dá)的目標(biāo)b的坐標(biāo)是(xb,yb)。則開始搜索時(shí)，設(shè)置一個(gè)起始節(jié)點(diǎn)1，生成八個(gè)子節(jié)點(diǎn)2 - 9 因?yàn)橛邪藗€(gè)方向。如圖：


圖2 節(jié)點(diǎn)圖

　　先看搜索主函數(shù)：

　　

void AstarPathfinder::FindPath(int sx, int sy, int dx, int dy)

　　{

　　　　NODE *Node, *BestNode;

　　　　int TileNumDest;

　　　　//得到目標(biāo)位置，作判斷用

　　　　TileNumDest = TileNum(sx, sy);

　　　　//生成Open和Closed表

　　　　OPEN=( NODE* )calloc(1,sizeof( NODE ));

　　　　CLOSED=( NODE* )calloc(1,sizeof( NODE ));

　　　　//生成起始節(jié)點(diǎn)，并放入Open表中

　　　　Node=( NODE* )calloc(1,sizeof( NODE ));

　　　　Node->g = 0;

　　　　//這是計(jì)算h值

　　　　Node->h = (dx-sx)*(dx-sx) + (dy-sy)*(dy-sy); // should really use sqrt().

　　　　//這是計(jì)算f值，即估價(jià)值

　　　　Node->f = Node->g+Node->h;

　　　　Node->NodeNum = TileNum(dx, dy);

　　　　Node->x = dx;

　　　　Node->y = dy;

　　　　OPEN->NextNode=Node; // make Open List point to first node

　　　　for (;;)

　　　　{

　　　　　　//從Open表中取得一個(gè)估價(jià)值最好的節(jié)點(diǎn)

　　　　　　BestNode=ReturnBestNode();

　　　　　　//如果該節(jié)點(diǎn)是目標(biāo)節(jié)點(diǎn)就退出

　　　　　　if (BestNode->NodeNum == TileNumDest) // if we've found the end, break and finish

　　　　　　　　break;

　　　　　　//否則生成子節(jié)點(diǎn)

　　　　　　GenerateSuccessors(BestNode,sx,sy);

　　　　}

　　　　PATH = BestNode;

　　}

　　再看看生成子節(jié)點(diǎn)函數(shù) GenerateSuccessors：

　　

void AstarPathfinder::GenerateSuccessors(NODE *BestNode, int dx, int dy)

　　{

　　　　int x, y;

　　　　//依次生成八個(gè)方向的子節(jié)點(diǎn)，簡(jiǎn)單！

　　　　// Upper-Left

　　　　if ( FreeTile(x=BestNode->x-TILESIZE, y=BestNode->y-TILESIZE) )