什么是最優(yōu)化，可分為幾大類？
答：Levenberg-Marquardt算法是最優(yōu)化算法中的一種。最優(yōu)化是尋找使得函數(shù)值最小的參數(shù)向量。它的應(yīng)用領(lǐng)域非常廣泛，如：經(jīng)濟(jì)學(xué)、管理優(yōu)化、網(wǎng)絡(luò)分析、最優(yōu)設(shè)計(jì)、機(jī)械或電子設(shè)計(jì)等等。
根據(jù)求導(dǎo)數(shù)的方法，可分為2大類。第一類，若f具有解析函數(shù)形式，知道x后求導(dǎo)數(shù)速度快。第二類，使用數(shù)值差分來求導(dǎo)數(shù)。
根據(jù) 使用模型不同，分為非約束最優(yōu)化、約束最優(yōu)化、最小二乘最優(yōu)化。
什么是Levenberg-Marquardt算法？
它是使用最廣泛的非線性最小二乘算法，中文為列文伯格-馬夸爾特法。它是利用梯度求最大（小）值的算法，形象的說，屬于“爬山”法的一種。它同時(shí)具有梯度 法和牛頓法的優(yōu)點(diǎn)。當(dāng)λ很小時(shí)，步長等于牛頓法步長，當(dāng)λ很大時(shí)，步長約等于梯度下降法的步長。在作者的科研項(xiàng)目中曾經(jīng)使用過多次。圖1顯示了算法從起 點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)梯度信息，不斷爬升直到最高點(diǎn)（最大值）的迭代過程。共進(jìn)行了12步。（備注：圖1中綠色線條為迭代過程）。
圖1 LM算法迭代過程形象描述
圖1中，算法從山腳開始不斷迭代。可以看到，它的尋優(yōu)速度是比較快的，在山腰部分直接利用梯度大幅度提升（參見后文例子程序中lamda較小時(shí)），快到山頂時(shí)經(jīng)過幾次嘗試（lamda較大時(shí)），最后達(dá)到頂峰（最大值點(diǎn)），算法終止。
如何快速學(xué)習(xí)LM算法？
學(xué) 習(xí)該算法的主要困難是入門難。 要么國內(nèi)中文教材太艱澀難懂，要么太抽象例子太少。目前，我看到的最好的英文入門教程是K. Madsen等人的《Methods for non-linear least squares problems》本來想把原文翻譯一下，貼到這里。請(qǐng)讓我偷個(gè)懶吧。能找到這里的讀者，應(yīng)該都是E文好手，我翻譯得不清不楚，反而事倍功半了。
可在 下面的鏈接中找到
http://www2.imm.dtu.dk/pubdb/public/publications.php? year=&pubtype=7&pubsubtype=§ion=1&cmd=full_view&lastndays=&order=author
或者直接下載pdf原文：
http://www2.imm.dtu.dk/pubdb/views/edoc_download.php/3215/pdf/imm3215.pdf
例子程序（MATLAB源程序）
本程序不到100行，實(shí)現(xiàn)了 求雅克比矩陣的解析解，Levenberg-Marquardt最優(yōu)化迭代，演示了如何求解擬合問題。采用《數(shù)學(xué)試驗(yàn)》（第二版）中p190例2來演示。在MATLAB中可直接運(yùn)行得到最優(yōu)解。
|
% 計(jì)算函數(shù)f的雅克比矩陣，是解析式
syms a b y x real;
f=a*exp(-b*x);
Jsym=jacobian(f,[a b])
% 擬合用數(shù)據(jù)。參見《數(shù)學(xué)試驗(yàn)》，p190，例2
data_1=[0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8];
obs_1=[19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01];
% 2. LM算法
% 初始猜測(cè)s
a0=10; b0=0.5;
y_init = a0*exp(-b0*data_1);
% 數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)
Ndata=length(obs_1);
% 參數(shù)維數(shù)
Nparams=2;
% 迭代最大次數(shù)
n_iters=50;
% LM算法的阻尼系數(shù)初值
lamda=0.01;
% step1: 變量賦值
updateJ=1;
a_est=a0;
b_est=b0;
% step2: 迭代
for it=1:n_iters
if updateJ==1
% 根據(jù)當(dāng)前估計(jì)值，計(jì)算雅克比矩陣
J=zeros(Ndata,Nparams);
for i=1:length(data_1)
J(i,:)=[exp(-b_est*data_1(i)) -a_est*data_1(i)*exp(-b_est*data_1(i))];
end
% 根據(jù)當(dāng)前參數(shù)，得到函數(shù)值
y_est = a_est*exp(-b_est*data_1);
% 計(jì)算誤差
d=obs_1-y_est;
% 計(jì)算（擬）海塞矩陣
H=J'*J;
% 若是第一次迭代，計(jì)算誤差
if it==1
e=dot(d,d);
end
end
% 根據(jù)阻尼系數(shù)lamda混合得到H矩陣
H_lm=H+(lamda*eye(Nparams,Nparams));
% 計(jì)算步長dp，并根據(jù)步長計(jì)算新的可能的\參數(shù)估計(jì)值
dp=inv(H_lm)*(J'*d(:));
g = J'*d(:);
a_lm=a_est+dp(1);
b_lm=b_est+dp(2);
% 計(jì)算新的可能估計(jì)值對(duì)應(yīng)的y和計(jì)算殘差e
y_est_lm = a_lm*exp(-b_lm*data_1);
d_lm=obs_1-y_est_lm;
e_lm=dot(d_lm,d_lm);
% 根據(jù)誤差，決定如何更新參數(shù)和阻尼系數(shù)
if e_lm<e
lamda=lamda/10;
a_est=a_lm;
b_est=b_lm;
e=e_lm;
disp(e);
updateJ=1;
else
updateJ=0;
lamda=lamda*10;
end
end
%顯示優(yōu)化的結(jié)果
a_est
b_est
|
本程序?qū)?yīng)的C++實(shí)現(xiàn)，待整理后于近期公開。
轉(zhuǎn)自：
http://www.shenlejun.cn/my/article/show.asp?id=17&page=1