基礎(chǔ)的2-D繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)
在2-D的迪卡爾坐標(biāo)系中，一個位置向量的旋轉(zhuǎn)公式可以由三角函數(shù)的幾何意義推出。比如上圖所示是位置向量R逆時針旋轉(zhuǎn)角度B前后的情況。在左圖中，我們有關(guān)系：
x0 = |R| * cosA
y0 = |R| * sinA
=>
cosA = x0 / |R|
sinA = y0 / |R|
在右圖中，我們有關(guān)系：
x1 = |R| * cos（A+B）
y1 = |R| * sin（A+B）
其中（x1， y1）就是（x0， y0）旋轉(zhuǎn)角B后得到的點(diǎn)，也就是位置向量R最后指向的點(diǎn)。我們展開cos（A+B）和sin（A+B），得到
x1 = |R| * （cosAcosB - sinAsinB）
y1 = |R| * （sinAcosB + cosAsinB）
現(xiàn)在把
cosA = x0 / |R|
sinA = y0 / |R|
代入上面的式子，得到
x1 = |R| * （x0 * cosB / |R| - y0 * sinB / |R|）
y1 = |R| * （y0 * cosB / |R| + x0 * sinB / |R|）
=>
x1 = x0 * cosB - y0 * sinB
y1 = x0 * sinB + y0 * cosB
這樣我們就得到了2-D迪卡爾坐標(biāo)下向量圍繞圓點(diǎn)的逆時針旋轉(zhuǎn)公式。順時針旋轉(zhuǎn)就把角度變?yōu)樨?fù)：
x1 = x0 * cos（-B） - y0 * sin（-B）
y1 = x0 * sin（-B） + y0 * cos（-B）
=>
x1 = x0 * cosB + y0 * sinB
y1 = -x0 * sinB + y0 * cosB
現(xiàn)在我要把這個旋轉(zhuǎn)公式寫成矩陣的形式，有一個概念我簡單提一下，平面或空間里的每個線性變換（這里就是旋轉(zhuǎn)變換）都對應(yīng)一個矩陣，叫做變換矩陣。對一個點(diǎn)實(shí)施線性變換就是通過乘上該線性變換的矩陣完成的。好了，打住，不然就跑題了。
所以2-D旋轉(zhuǎn)變換矩陣就是：
[cosA sinA] [cosA -sinA]
[-sinA cosA] 或者 [sinA cosA]
我們對點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換可以通過矩陣完成，比如我要點(diǎn)（x， y）繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)：
[cosA sinA]
[x, y] x [-sinA cosA] = [x*cosA-y*sinA x*sinA+y*cosA]
為了編程方便，我們把它寫成兩個方陣
[x, y] [cosA sinA] [x*cosA-y*sinA x*sinA+y*cosA]
[0, 0] x [-sinA cosA] = [0 0 ]
也可以寫成
[cosA -sinA] [x 0] [x*cosA-y*sinA 0]
[sinA cosA] x [y 0] = [x*sinA+y*cosA 0]
三、2-D的繞任一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)
下面我們深入一些，思考另一種情況：求一個點(diǎn)圍繞任一個非原點(diǎn)的中心點(diǎn)旋轉(zhuǎn)。
我們剛剛導(dǎo)出的公式是圍繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的公式，所以我們要想繼續(xù)使用它，就要把想要圍繞的那個非原點(diǎn)的中心點(diǎn)移動到原點(diǎn)上來。按照這個思路，我們先將該中心點(diǎn)通過一個位移向量移動到原點(diǎn)，而圍繞點(diǎn)要保持與中心點(diǎn)相對位置不變，也相應(yīng)的按照這個位移向量位移，此時由于中心點(diǎn)已經(jīng)移動到了圓點(diǎn)，就可以讓同樣位移后的圍繞點(diǎn)使用上面的公式來計算旋轉(zhuǎn)后的位置了，計算完后，再讓計算出的點(diǎn)按剛才的位移向量逆位移，就得到圍繞點(diǎn)繞中心點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度后的新位置了。看下面的圖
現(xiàn)在求左下方的藍(lán)色點(diǎn)圍繞紅色點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度后的新位置。由于紅色點(diǎn)不在原點(diǎn)，所以可以通過紅色向量把它移動到原點(diǎn)，此時藍(lán)色的點(diǎn)也按照這個向量移動，可見，紅色和藍(lán)色點(diǎn)的相對位置沒有變。現(xiàn)在紅色點(diǎn)在原點(diǎn)，藍(lán)色點(diǎn)可以用上面旋轉(zhuǎn)變換矩陣進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)在通過紅色向量的的逆向量回到它實(shí)際圍繞下方紅色點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的位置。
在這個過程中，我們對圍繞點(diǎn)進(jìn)行了三次線性變換：位移變換-旋轉(zhuǎn)變換-位移變換，我們把它寫成矩陣形式：
設(shè)紅色向量為（rtx， rty）
[x y 1] [1 0 0] [cosA sinA 0] [1 0 0] [x' y' -]
[0 1 0] x [0 1 0] x [-sinA cosA 0] x [0 1 0] = [- - -]
[0 0 1] [rtx rty 1] [0 0 1] [-rtx -rty 1] [- - -]
最后得到的矩陣的x'和y'就是我們旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)坐標(biāo)。