基礎的2-D繞原點旋轉
在2-D的迪卡爾坐標系中，一個位置向量的旋轉公式可以由三角函數的幾何意義推出。比如上圖所示是位置向量R逆時針旋轉角度B前后的情況。在左圖中，我們有關系：
x0 = |R| * cosA
y0 = |R| * sinA
=>
cosA = x0 / |R|
sinA = y0 / |R|
在右圖中，我們有關系：
x1 = |R| * cos（A+B）
y1 = |R| * sin（A+B）
其中（x1， y1）就是（x0， y0）旋轉角B后得到的點，也就是位置向量R最后指向的點。我們展開cos（A+B）和sin（A+B），得到
x1 = |R| * （cosAcosB - sinAsinB）
y1 = |R| * （sinAcosB + cosAsinB）
現在把
cosA = x0 / |R|
sinA = y0 / |R|
代入上面的式子，得到
x1 = |R| * （x0 * cosB / |R| - y0 * sinB / |R|）
y1 = |R| * （y0 * cosB / |R| + x0 * sinB / |R|）
=>
x1 = x0 * cosB - y0 * sinB
y1 = x0 * sinB + y0 * cosB
這樣我們就得到了2-D迪卡爾坐標下向量圍繞圓點的逆時針旋轉公式。順時針旋轉就把角度變為負：
x1 = x0 * cos（-B） - y0 * sin（-B）
y1 = x0 * sin（-B） + y0 * cos（-B）
=>
x1 = x0 * cosB + y0 * sinB
y1 = -x0 * sinB + y0 * cosB
現在我要把這個旋轉公式寫成矩陣的形式，有一個概念我簡單提一下，平面或空間里的每個線性變換（這里就是旋轉變換）都對應一個矩陣，叫做變換矩陣。對一個點實施線性變換就是通過乘上該線性變換的矩陣完成的。好了，打住，不然就跑題了。
所以2-D旋轉變換矩陣就是：
[cosA sinA] [cosA -sinA]
[-sinA cosA] 或者 [sinA cosA]
我們對點進行旋轉變換可以通過矩陣完成，比如我要點（x， y）繞原點逆時針旋轉：
[cosA sinA]
[x, y] x [-sinA cosA] = [x*cosA-y*sinA x*sinA+y*cosA]
為了編程方便，我們把它寫成兩個方陣
[x, y] [cosA sinA] [x*cosA-y*sinA x*sinA+y*cosA]
[0, 0] x [-sinA cosA] = [0 0 ]
也可以寫成
[cosA -sinA] [x 0] [x*cosA-y*sinA 0]
[sinA cosA] x [y 0] = [x*sinA+y*cosA 0]
三、2-D的繞任一點旋轉
下面我們深入一些，思考另一種情況：求一個點圍繞任一個非原點的中心點旋轉。
我們剛剛導出的公式是圍繞原點旋轉的公式，所以我們要想繼續使用它，就要把想要圍繞的那個非原點的中心點移動到原點上來。按照這個思路，我們先將該中心點通過一個位移向量移動到原點，而圍繞點要保持與中心點相對位置不變，也相應的按照這個位移向量位移，此時由于中心點已經移動到了圓點，就可以讓同樣位移后的圍繞點使用上面的公式來計算旋轉后的位置了，計算完后，再讓計算出的點按剛才的位移向量逆位移，就得到圍繞點繞中心點旋轉一定角度后的新位置了。看下面的圖
現在求左下方的藍色點圍繞紅色點旋轉一定角度后的新位置。由于紅色點不在原點，所以可以通過紅色向量把它移動到原點，此時藍色的點也按照這個向量移動，可見，紅色和藍色點的相對位置沒有變。現在紅色點在原點，藍色點可以用上面旋轉變換矩陣進行旋轉，旋轉后的點在通過紅色向量的的逆向量回到它實際圍繞下方紅色點旋轉后的位置。
在這個過程中，我們對圍繞點進行了三次線性變換：位移變換-旋轉變換-位移變換，我們把它寫成矩陣形式：
設紅色向量為（rtx， rty）
[x y 1] [1 0 0] [cosA sinA 0] [1 0 0] [x' y' -]
[0 1 0] x [0 1 0] x [-sinA cosA 0] x [0 1 0] = [- - -]
[0 0 1] [rtx rty 1] [0 0 1] [-rtx -rty 1] [- - -]
最后得到的矩陣的x'和y'就是我們旋轉后的點坐標。