高斯消元法，是線性代數(shù)中的一個算法，可用來求解線性方程組，并可以求出矩陣的秩，以及求出可逆方陣的逆矩陣。
高斯消元法的原理是：
若用初等行變換將增廣矩陣 化為 ，則AX = B與CX = D是同解方程組。
所以我們可以用初等行變換把增廣矩陣轉(zhuǎn)換為行階梯陣，然后回代求出方程的解。
以上是線性代數(shù)課的回顧，下面來說說高斯消元法在編程中的應(yīng)用。
首先，先介紹程序中高斯消元法的步驟：
(我們設(shè)方程組中方程的個數(shù)為equ，變元的個數(shù)為var，注意：一般情況下是n個方程，n個變元，但是有些題目就故意讓方程數(shù)與變元數(shù)不同)
1. 把方程組轉(zhuǎn)換成增廣矩陣。
2. 利用初等行變換來把增廣矩陣轉(zhuǎn)換成行階梯陣。
枚舉k從0到equ – 1，當(dāng)前處理的列為col(初始為0) ，每次找第k行以下(包括第k行)，col列中元素絕對值最大的列與第k行交換。如果col列中的元素全為0，那么則處理col + 1列，k不變。
3. 轉(zhuǎn)換為行階梯陣，判斷解的情況。
① 無解
當(dāng)方程中出現(xiàn)(0, 0, …, 0, a)的形式，且a != 0時，說明是無解的。
② 唯一解
條件是k = equ，即行階梯陣形成了嚴(yán)格的上三角陣。利用回代逐一求出解集。
③ 無窮解。
條件是k < equ，即不能形成嚴(yán)格的上三角形，自由變元的個數(shù)即為equ – k，但有些題目要求判斷哪些變元是不缺定的。
這里單獨介紹下這種解法：
首先，自由變元有var - k個，即不確定的變元至少有var - k個。我們先把所有的變元視為不確定的。在每個方程中判斷不確定變元的個數(shù)，如果大于1個，則該方程無法求解。如果只有1個變元，那么該變元即可求出，即為確定變元。
以上介紹的是求解整數(shù)線性方程組的求法，復(fù)雜度是O(n3)。浮點數(shù)線性方程組的求法類似，但是要在判斷是否為0時，加入EPS，以消除精度問題。
下面講解幾道OJ上的高斯消元法求解線性方程組的題目：
POJ 1222 EXTENDED LIGHTS OUT
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1222
POJ 1681 Painter's Problem
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1681
POJ 1753 Flip Game
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1753
POJ 1830 開關(guān)問題
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1830
POJ 3185 The Water Bowls
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3185
開關(guān)窗戶，開關(guān)燈問題，很典型的求解線性方程組的問題。方程數(shù)和變量數(shù)均為行數(shù)*列數(shù)，直接套模板求解即可。但是，當(dāng)出現(xiàn)無窮解時，需要枚舉解的情況，因為無法判斷哪種解是題目要求最優(yōu)的。
POJ 2947 Widget Factory
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2947
求解同余方程組問題。與一般求解線性方程組的問題類似，只要在求解過程中加入取余即可。
注意：當(dāng)方程組唯一解時，求解過程中要保證解在[3, 9]之間。
POJ 1166 The Clocks
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1166
經(jīng)典的BFS問題，有各種解法，也可以用逆矩陣進(jìn)行矩陣相乘。
但是這道題用高斯消元法解決好像有些問題(困擾了我N天...持續(xù)困擾中...)，由于周期4不是素數(shù)，故在求解過程中不能進(jìn)行取余(因為取余可能導(dǎo)致解集變大)，但最后求解集時，還是需要進(jìn)行取余操作，那么就不能保證最后求出的解是正確的...在discuss里提問了好幾天也沒人回答...希望哪位路過的大牛指點下～～
POJ 2065 SETI
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2065
同樣是求解同余方程組問題，由于題目中的p是素數(shù)，可以直接在求解時取余，套用模板求解即可。(雖然AC的人很少，但它還是比較水的一道題，)
POJ 1487 Single-Player Games
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1487
很麻煩的一道題目...題目中的敘述貌似用到了編譯原理中的詞法定義(看了就給人不想做的感覺...)
解方程組的思想還是很好看出來了(前提是通讀題目不下5遍...)，但如果把樹的字符串表達(dá)式轉(zhuǎn)換成方程組是個難點，我是用棧 + 遞歸的做法分解的。首先用棧的思想求出該結(jié)點的孩子數(shù)，然后遞歸分別求解各個孩子。
這題解方程組也與眾不同...首先是求解浮點數(shù)方程組，要注意精度問題，然后又詢問不確定的變元，按前面說的方法求解。
一頓折騰后，這題居然寫了6000+B...而且囧的是巨人C++ WA，G++ AC，可能還是精度的問題吧...看這題目，看這代碼，就沒有改的欲望...
hdu OJ 2449
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2449
哈爾濱現(xiàn)場賽的一道純高斯題，當(dāng)時鶴牛敲了1個多小時...主要就是寫一個分?jǐn)?shù)類，套個高精模板(偷懶點就Java...)搞定～～
注意下0和負(fù)數(shù)時的輸出即可。
fze OJ 1704
http://acm.fzu.edu.cn/problem.php?pid=1704
福大月賽的一道題目，還是經(jīng)典的開關(guān)問題，但是方程數(shù)和變元數(shù)不同(考驗?zāi)０宓臅r候到了～～)，最后要求增廣陣的階，要用到高精度～～
Sgu 275 To xor or not to xor
http://acm.sgu.ru/problem.php?contest=0&problem=275
題解:
http://hi.baidu.com/czyuan%5Facm/blog/item/be3403d32549633d970a16ee.html
這里提供下自己寫的還算滿意的求解整數(shù)線性方程組的模板(浮點數(shù)類似，就不提供了)～～
/* 用于求整數(shù)解得方程組. */
#include <iostream>
#include <string>
#include <cmath>
using namespace std;
const int maxn = 105;
int equ, var; // 有equ個方程，var個變元。增廣陣行數(shù)為equ, 分別為0到equ - 1，列數(shù)為var + 1，分別為0到var.
int a[maxn][maxn];
int x[maxn]; // 解集.
bool free_x[maxn]; // 判斷是否是不確定的變元.
int free_num;
void Debug(void)
{
int i, j;
for (i = 0; i < equ; i++)
{
for (j = 0; j < var + 1; j++)
{
cout << a[i][j] << " ";
}
cout << endl;
}
cout << endl;
}
inline int gcd(int a, int b)
{
int t;
while (b != 0)
{
t = b;
b = a % b;
a = t;
}
return a;
}
inline int lcm(int a, int b)
{
return a * b / gcd(a, b);
}
// 高斯消元法解方程組(Gauss-Jordan elimination).(-2表示有浮點數(shù)解，但無整數(shù)解，-1表示無解，0表示唯一解，大于0表示無窮解，并返回自由變元的個數(shù))
int Gauss(void)
{
int i, j, k;
int max_r; // 當(dāng)前這列絕對值最大的行.
int col; // 當(dāng)前處理的列.
int ta, tb;
int LCM;
int temp;
int free_x_num;
int free_index;
// 轉(zhuǎn)換為階梯陣.
col = 0; // 當(dāng)前處理的列.
for (k = 0; k < equ && col < var; k++, col++)
{ // 枚舉當(dāng)前處理的行.
// 找到該col列元素絕對值最大的那行與第k行交換.(為了在除法時減小誤差)
max_r = k;
for (i = k + 1; i < equ; i++)
{
if (abs(a[i][col]) > abs(a[max_r][col])) max_r = i;
}
if (max_r != k)
{ // 與第k行交換.
for (j = k; j < var + 1; j++) swap(a[k][j], a[max_r][j]);
}
if (a[k][col] == 0)
{ // 說明該col列第k行以下全是0了，則處理當(dāng)前行的下一列.
k--; continue;
}
for (i = k + 1; i < equ; i++)
{ // 枚舉要刪去的行.
if (a[i][col] != 0)
{
LCM = lcm(abs(a[i][col]), abs(a[k][col]));
ta = LCM / abs(a[i][col]), tb = LCM / abs(a[k][col]);
if (a[i][col] * a[k][col] < 0) tb = -tb; // 異號的情況是兩個數(shù)相加.
for (j = col; j < var + 1; j++)
{
a[i][j] = a[i][j] * ta - a[k][j] * tb;
}
}
}
}
Debug();
// 1. 無解的情況: 化簡的增廣陣中存在(0, 0, ..., a)這樣的行(a != 0).
for (i = k; i < equ; i++)
{ // 對于無窮解來說，如果要判斷哪些是自由變元，那么初等行變換中的交換就會影響，則要記錄交換.
if (a[i][col] != 0) return -1;
}
// 2. 無窮解的情況: 在var * (var + 1)的增廣陣中出現(xiàn)(0, 0, ..., 0)這樣的行，即說明沒有形成嚴(yán)格的上三角陣.
// 且出現(xiàn)的行數(shù)即為自由變元的個數(shù).
if (k < var)
{
// 首先，自由變元有var - k個，即不確定的變元至少有var - k個.
for (i = k - 1; i >= 0; i--)
{
// 第i行一定不會是(0, 0, ..., 0)的情況，因為這樣的行是在第k行到第equ行.
// 同樣，第i行一定不會是(0, 0, ..., a), a != 0的情況，這樣的無解的.
free_x_num = 0; // 用于判斷該行中的不確定的變元的個數(shù)，如果超過1個，則無法求解，它們?nèi)匀粸椴淮_定的變元.
for (j = 0; j < var; j++)
{
if (a[i][j] != 0 && free_x[j]) free_x_num++, free_index = j;
}
if (free_x_num > 1) continue; // 無法求解出確定的變元.
// 說明就只有一個不確定的變元free_index，那么可以求解出該變元，且該變元是確定的.
temp = a[i][var];
for (j = 0; j < var; j++)
{
if (a[i][j] != 0 && j != free_index) temp -= a[i][j] * x[j];
}
x[free_index] = temp / a[i][free_index]; // 求出該變元.
free_x[free_index] = 0; // 該變元是確定的.
}
return var - k; // 自由變元有var - k個.
}
// 3. 唯一解的情況: 在var * (var + 1)的增廣陣中形成嚴(yán)格的上三角陣.
// 計算出Xn-1, Xn-2 ... X0.
for (i = var - 1; i >= 0; i--)
{
temp = a[i][var];
for (j = i + 1; j < var; j++)
{
if (a[i][j] != 0) temp -= a[i][j] * x[j];
}
if (temp % a[i][i] != 0) return -2; // 說明有浮點數(shù)解，但無整數(shù)解.
x[i] = temp / a[i][i];
}
return 0;
}
int main(void)
{
freopen("Input.txt", "r", stdin);
int i, j;
while (scanf("%d %d", &equ, &var) != EOF)
{
memset(a, 0, sizeof(a));
memset(x, 0, sizeof(x));
memset(free_x, 1, sizeof(free_x)); // 一開始全是不確定的變元.
for (i = 0; i < equ; i++)
{
for (j = 0; j < var + 1; j++)
{
scanf("%d", &a[i][j]);
}
}
// Debug();
free_num = Gauss();
if (free_num == -1) printf("無解!\n");
else if (free_num == -2) printf("有浮點數(shù)解，無整數(shù)解!\n");
else if (free_num > 0)
{
printf("無窮多解! 自由變元個數(shù)為%d\n", free_num);
for (i = 0; i < var; i++)
{
if (free_x[i]) printf("x%d 是不確定的\n", i + 1);
else printf("x%d: %d\n", i + 1, x[i]);
}
}
else
{
for (i = 0; i < var; i++)
{
printf("x%d: %d\n", i + 1, x[i]);
}
}
printf("\n");
}
return 0;
}
轉(zhuǎn)自：http://hi.baidu.com/czyuan_acm/blog/item/ebf41f8fdc0e1ee6f01f36e9.html