最長(zhǎng)上升子序列問題是各類信息學(xué)競(jìng)賽中的常見題型，也常常用來(lái)做介紹動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法的引例，筆者接下來(lái)將會(huì)對(duì)POJ上出現(xiàn)過的這類題目做一個(gè)總結(jié)，并介紹解決LIS問題的兩個(gè)常用算法(n^2)和(nlogn).
問題描述:給出一個(gè)序列a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7....an,求它的一個(gè)子序列（設(shè)為s1,s2,...sn），使得這個(gè)子序列滿足這樣的性質(zhì)，s1<s2<s3<...<sn并且這個(gè)子序列的長(zhǎng)度最長(zhǎng)。輸出這個(gè)最長(zhǎng)的長(zhǎng)度。（為了簡(jiǎn)化該類問題，我們將諸如最長(zhǎng)下降子序列及最長(zhǎng)不上升子序列等問題都看成同一個(gè)問題，其實(shí)仔細(xì)思考就會(huì)發(fā)現(xiàn)，這其實(shí)只是<符號(hào)定義上的問題，并不影響問題的實(shí)質(zhì)）
例如有一個(gè)序列:1 7 3 5 9 4 8,它的最長(zhǎng)上升子序列就是 1 3 4 8 長(zhǎng)度為4.
算法1(n^2):我們依次遍歷整個(gè)序列，每一次求出從第一個(gè)數(shù)到當(dāng)前這個(gè)數(shù)的最長(zhǎng)上升子序列，直至遍歷到最后一個(gè)數(shù)字為止，然后再取dp數(shù)組里最大的那個(gè)即為整個(gè)序列的最長(zhǎng)上升子序列。我們用dp[i]來(lái)存放序列1-i的最長(zhǎng)上升子序列的長(zhǎng)度，那么dp[i]=max(dp[j])+1,(j∈[1, i-1]); 顯然dp[1]=1,我們從i=2開始遍歷后面的元素即可。
下面是模板：
//最長(zhǎng)上升子序列(n^2)模板
//入口參數(shù)：1.數(shù)組名稱 2.數(shù)組長(zhǎng)度（注意從1號(hào)位置開始）
template<class T>
int LIS(T a[],int n)
{
int i,j;
int ans=1;
int m=0;
int *dp=new int[n+1];
dp[1]=1;
for(i=2;i<=n;i++)
{
m=0;
for(j=1;j<i;j++)
{
if(dp[j]>m&&a[j]<a[i])
m=dp[j];
}
dp[i]=m+1;
if(dp[i]>ans)
ans=dp[i];
}
return ans;
}算法2(nlogn):維護(hù)一個(gè)一維數(shù)組c，并且這個(gè)數(shù)組是動(dòng)態(tài)擴(kuò)展的，初始大小為1，c[i]表示最長(zhǎng)上升子序列長(zhǎng)度是i的所有子串中末尾最小的那個(gè)數(shù)，根據(jù)這個(gè)數(shù)字，我們可以比較知道，只要當(dāng)前考察的這個(gè)數(shù)比c[i]大，那么當(dāng)前這個(gè)數(shù)一定能通過c[i]構(gòu)成一個(gè)長(zhǎng)度為i+1的上升子序列。當(dāng)然我們希望在C數(shù)組中找一個(gè)盡量靠后的數(shù)字，這樣我們得到的上升子串的長(zhǎng)度最長(zhǎng)，查找的時(shí)候使用二分搜索，這樣時(shí)間復(fù)雜度便下降了。
模板如下：
//最長(zhǎng)上升子序列nlogn模板
//入口參數(shù):數(shù)組名+數(shù)組長(zhǎng)度，類型不限，結(jié)構(gòu)體類型可以通過重載運(yùn)算符實(shí)現(xiàn)
//數(shù)組下標(biāo)從1號(hào)開始。
/**//////////////////////////BEGIN_TEMPLATE_BY_ABILITYTAO_ACM////////////////////////////template<class T>
int bsearch(T c[],int n,T a)
{
int l=1, r=n;
while(l<=r)
{
int mid = (l+r)/2;
if( a > c[mid] && a <= c[mid+1] ) return mid+1; // >&&<= 換為: >= && <
else if( a < c[mid] ) r = mid-1;
else l = mid+1;
}
}
template<class T>
int LIS(T a[], int n)
{
int i, j, size = 1;
T *c=new T[n+1];
int *dp=new int[n+1];
c[1] = a[1]; dp[1] = 1;
for(i=2;i<=n;++i)
{
if( a[i] <= c[1] ) j = 1;// <= 換為: <
else if( a[i] >c[size] )
j=++size; // > 換為: >=
else
j = bsearch(c, size, a[i]);
c[j] = a[i]; dp[i] = j;
}
return size;
}
/**//////////////////////////END_TEMPLATE_BY_ABILITYTAO_ACM////////////////////////////
下面是pku上有關(guān)LIS的題
PKU 2533 ——Longest Ordered Subsequence 裸LIS，沒什么可說(shuō)的
#include<iostream>
using namespace std;
int a[2000];
template<class T>
int LIS(T a[],int n)
{
int i,j;
int ans=1;
int m=0;
int *dp=new int[n+1];
dp[1]=1;
for(i=2;i<=n;i++)
{
m=0;
for(j=1;j<i;j++)
{
if(dp[j]>m&&a[j]<a[i])
m=dp[j];
}
dp[i]=m+1;
if(dp[i]>ans)
ans=dp[i];
}
return ans;
}
int main ()
{
int n;
int i;
int finalmax=0;
cin>>n;
for(i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&a[i]);
}
printf("%d\n" ,LIS(a,n));
return 0;
}
PKU 1631——Bridging signals 這題用N^2算法要超時(shí)，必須使用NlogN的算法
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int N = 40000;
int a[N];
//最長(zhǎng)上升子序列nlogn模板
//入口參數(shù):數(shù)組名+數(shù)組長(zhǎng)度，類型不限，結(jié)構(gòu)體類型可以通過重載運(yùn)算符實(shí)現(xiàn)
//數(shù)組下標(biāo)從1號(hào)開始。
/**//////////////////////////BEGIN_TEMPLATE_BY_ABILITYTAO_ACM////////////////////////////template<class T>
int bsearch(T c[],int n,T a)
{
int l=1, r=n;
while(l<=r)
{
int mid = (l+r)/2;
if( a > c[mid] && a <= c[mid+1] ) return mid+1; // >&&<= 換為: >= && <
else if( a < c[mid] ) r = mid-1;
else l = mid+1;
}
}
template<class T>
int LIS(T a[], int n)
{
int i, j, size = 1;
T *c=new T[n+1];
int *dp=new int[n+1];
c[1] = a[1]; dp[1] = 1;
for(i=2;i<=n;++i)
{
if( a[i] <= c[1] ) j = 1;// <= 換為: <
else if( a[i] >c[size] )
j=++size; // > 換為: >=
else
j = bsearch(c, size, a[i]);
c[j] = a[i]; dp[i] = j;
}
return size;
}
/**//////////////////////////END_TEMPLATE_BY_ABILITYTAO_ACM////////////////////////////
int main()
{
int testcase;
int n;
scanf("%d",&testcase);
int i,j;
for(i=1;i<=testcase;i++)
{
scanf("%d",&n);
for(j=1;j<=n;j++)
scanf("%d",&a[j]);
printf("%d\n",LIS(a,n));
}
return 0;
}
PKU 1887——Testing the CATCHER
最長(zhǎng)不升子序列，再次紀(jì)念下第一道動(dòng)歸題
Posted by
abilitytao at 2008-09-25 00:50:48 on
Problem 1887
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int num[10000];
int dp[10000];
int main()
{
int n;
int i,j;
int len;
int max;
int finalmax;
int flag=1;
while(scanf("%d",&n))
{
if(n==-1)
break;
num[0]=n;
for(i=1;;i++)
{
scanf("%d",&n);
if(n==-1)
break;
else
num[i]=n;
}
len=i-1;
dp[len]=1;
for(i=len-1;i>=0;i--)
{
max=0;
for(j=i+1;j<=len;j++)
{
if(dp[j]>max&&num[j]<num[i])
max=dp[j];
}
dp[i]=max+1;
}
finalmax=0;
for(i=0;i<=len;i++)
{
if(dp[i]>finalmax)
finalmax=dp[i];
}
printf("Test #%d:\n maximum possible interceptions: %d\n\n",flag,finalmax);
flag++;
}
return 0;
}
PKU 1609 Tiling Up Blocks 二維最長(zhǎng)不下降子序列
#include<iostream>
#include<cstdlib>
using namespace std;
#define MAX 100001
int dp[MAX];
struct node
{
int a,b;
}l[MAX];
int cmp(const void *a,const void *b)
{
struct node c=(*(node*)a);
struct node d=(*(node*)b);
if(c.a!=d.a)
return c.a-d.a;
else return c.b-d.b;
}
int main()
{
int n;
int i,j;
int maxnum;
while(scanf("%d",&n))
{
maxnum=1;
if(n==0)
{
printf("*\n");
break;
}
for(i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d%d",&l[i].a,&l[i].b);
}
qsort(l+1,n,sizeof(l[1]),cmp);
dp[1]=1;
int temp;
for(i=2;i<=n;i++)
{
temp=0;
for(j=1;j<=i-1;j++)
{
if(dp[j]>temp&&l[i].a>=l[j].a&&l[i].b>=l[j].b)
temp=dp[j];
}
dp[i]=temp+1;
if(dp[i]>maxnum)
maxnum=dp[i];
}
printf("%d\n",maxnum);
}
return 0;
}
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