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The Fourth Dimension Space

枯葉北風寒,忽然年以殘,念往昔,語默心酸。二十光陰無一物,韶光賤,寐難安; 不畏形影單,道途阻且慢,哪曲折,如渡飛湍。斬浪劈波酬壯志,同把酒,共言歡! -如夢令

最長不降子序列的nlogn算法 (轉)

所謂“最長不降子序列問題”,就是在一個給定的序列中尋找一個子序列{ai}滿足:

                       a1<=a2<=...<an

這個問題在一般教材上,往往會作為動態規劃的引例。

即使用如下的狀態轉移方程進行計算:

                   F[i]=max{F[j]}+1     aj<=ai

但是它的復雜度是O(n^2)的,對于稍大的規模便無法承受。

那么有沒有改進的方法呢?答案是肯定的。

----------------------------------------------------------------分割線------------------------------------------------------------------------------------------

我們維護一個數組C[i],這里C[i]表示F值為i的最小數。

不難發現   C[1]<=C[2]<=...<=C[n]

因此我們可以利用C[]通過二分查找確定F[j]的值。

----------------------------------------------------------------分割線------------------------------------------------------------------------------------------

實現如下:

const int N = 1001;

int a[N], C[N], f[N]; // f[i]用于記錄a[0...i]的最大長度

int bsearch(const int *C, int size, const int &a)

{

    int l=0, r=size-1;

    while( l <= r )

    {

        int mid = (l+r)/2;

        if( a > C[mid-1] && a <= C[mid] ) return mid; // >&&<= 換為: >= && <

        else if( a < C[mid] ) r = mid-1;

        else l = mid+1;

    }

}

int LIS(const int *a, const int &n){

     int i, j, size = 1;

     C[0] = a[0]; f[0] = 1;

     for( i=1; i < n; ++i ){

          if( a[i] <= C[0] ) j = 0;                 // <= 換為: <

         else if( a[i] >C[size-1] ) j = size++;   // > 換為: >=

         else j = bsearch(C, size, a[i]);

         C[j] = a[i]; f[i] = j+1;

     }

     return size;

}

------------------------------------------------------------------分割線------------------------------------------------------------------------------------------

至此,我們了解了O(nlogn)的算法,它主要是利用了二分查找的方法對樸素的動態規劃進行加速、優化,從而達到理想的效率。



轉自:http://fqq11679.blog.hexun.com/21632261_d.html

posted on 2009-08-12 18:27 abilitytao 閱讀(417) 評論(0)  編輯 收藏 引用

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