- 有 M 個(gè)豬圈（M ≤ 1000），每個(gè)豬圈里初始時(shí)有若干頭豬。
- 一開始所有豬圈都是關(guān)閉的。
- 依次來(lái)了 N 個(gè)顧客（N ≤ 100），每個(gè)顧客分別會(huì)打開指定的幾個(gè)豬圈，從中買若干頭豬。
- 每個(gè)顧客分別都有他能夠買的數(shù)量的上限。
- 每個(gè)顧客走后，他打開的那些豬圈中的豬，都可以被任意地調(diào)換到其它開著的豬圈里，然后所有豬圈重新關(guān)上。
問總共最多能賣出多少頭豬。
舉個(gè)例子來(lái)說。有 3 個(gè)豬圈，初始時(shí)分別有 3、 1 和 10 頭豬。依次來(lái)了 3 個(gè)顧客，第一個(gè)打開 1 號(hào) 和 2 號(hào)豬圈，最多買 2 頭；第二個(gè)打開 1 號(hào) 和 3 號(hào)豬圈，最多買 3 頭；第三個(gè)打開 2 號(hào)豬圈，最多買 6 頭。那么，最好的可能性之一就是第一個(gè)顧客從 1 號(hào)圈買 2 頭，然后把 1 號(hào)圈剩下的 1 頭放到 2 號(hào)圈；第二個(gè)顧客從 3 號(hào)圈買 3 頭；第三個(gè)顧客從 2 號(hào)圈買 2 頭。總共賣出 2 + 3 + 2 = 7 頭。□
不難想像，這個(gè)問題的網(wǎng)絡(luò)模型可以很直觀地構(gòu)造出來(lái)。就拿上面的例子來(lái)說，可以構(gòu)造出
圖 1 所示的模型（圖中凡是沒有標(biāo)數(shù)字的邊，容量都是 +∞）：
- 三個(gè)顧客，就有三輪交易，每一輪分別都有 3 個(gè)豬圈和 1 個(gè)顧客的節(jié)點(diǎn)。
- 從源點(diǎn)到第一輪的各個(gè)豬圈各有一條邊，容量就是各個(gè)豬圈里的豬的初始數(shù)量。
- 從各個(gè)顧客到匯點(diǎn)各有一條邊，容量就是各個(gè)顧客能買的數(shù)量上限。
- 在某一輪中，從該顧客打開的所有豬圈都有一條邊連向該顧客，容量都是 +∞。
- 最后一輪除外，從每一輪的 i 號(hào)豬圈都有一條邊連向下一輪的 i 號(hào)豬圈，容量都是 +∞，表示這一輪剩下的豬可以留到下一輪。
- 最后一輪除外，從每一輪被打開的所有豬圈，到下一輪的同樣這些豬圈，兩兩之間都要連一條邊，表示它們之間可以任意流通。
圖 1
不難想像，這個(gè)網(wǎng)絡(luò)模型的最大流量就是最多能賣出的數(shù)量。圖中最多有 2 + N + M × N ≈ 100,000 個(gè)節(jié)點(diǎn)。□
這個(gè)模型雖然很直觀，但是節(jié)點(diǎn)數(shù)太多了，計(jì)算速度肯定會(huì)很慢。其實(shí)不用再想別的算法，就讓我們繼續(xù)上面的例子，用合并的方法來(lái)簡(jiǎn)化這個(gè)網(wǎng)絡(luò)模型。
首先，最后一輪中沒有打開的豬圈就可以從圖中刪掉了，也就是
圖 2 中
紅色的部分，顯然它們對(duì)整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的流量沒有任何影響。
圖 2
接著，看
圖 2 中
藍(lán)色的部分。根據(jù)我總結(jié)出的以下幾個(gè)規(guī)律，可以把這 4 個(gè)點(diǎn)合并成一個(gè)：
規(guī)律 1. 如果幾個(gè)節(jié)點(diǎn)的流量的來(lái)源完全相同，則可以把它們合并成一個(gè)。
規(guī)律 2. 如果幾個(gè)節(jié)點(diǎn)的流量的去向完全相同，則可以把它們合并成一個(gè)。
規(guī)律 3. 如果從點(diǎn) u 到點(diǎn) v 有一條流容量為 +∞ 的邊，并且點(diǎn) v 除了點(diǎn) u 以外沒有別的流量來(lái)源，則可以把這兩個(gè)節(jié)點(diǎn)合并成一個(gè)。
根據(jù)
規(guī)律 1，可以把
藍(lán)色部分右邊的 1、 2 號(hào)節(jié)點(diǎn)合并成一個(gè)；根據(jù)
規(guī)律 2，可以把
藍(lán)色部分左邊的 1、 2 號(hào)節(jié)點(diǎn)合并成一個(gè)；最后，根據(jù)
規(guī)律 3，可以把
藍(lán)色部分的左邊和右邊（已經(jīng)分別合并成了一個(gè)節(jié)點(diǎn)）合并成一個(gè)節(jié)點(diǎn)。于是，
圖 2 被簡(jiǎn)化成了
圖 3 的樣子。也就是說，最后一輪除外，每一輪被打開的豬圈和下一輪的同樣這些豬圈都可以被合并成一個(gè)點(diǎn)。
圖 3
接著，根據(jù)
規(guī)律 3，
圖 3 中的
藍(lán)色節(jié)點(diǎn)、2 號(hào)豬圈和 1 號(hào)顧客這三點(diǎn)可以合并成一個(gè)；
圖 3 中的兩個(gè) 3 號(hào)豬圈和 2 號(hào)顧客也可以合并成一個(gè)點(diǎn)。當(dāng)然，如果兩點(diǎn)之間有多條同向的邊，則這些邊可以合并成一條，容量相加，這個(gè)道理很簡(jiǎn)單，就不用我多說了。最終，上例中的網(wǎng)絡(luò)模型被簡(jiǎn)化成了
圖 4 的樣子。□
圖 4
讓我們從
圖 4 中重新總結(jié)一下構(gòu)造這個(gè)網(wǎng)絡(luò)模型的規(guī)則：
- 每個(gè)顧客分別用一個(gè)節(jié)點(diǎn)來(lái)表示。
- 對(duì)于每個(gè)豬圈的第一個(gè)顧客，從源點(diǎn)向他連一條邊，容量就是該豬圈里的豬的初始數(shù)量。如果從源點(diǎn)到一名顧客有多條邊，則可以把它們合并成一條，容量相加。
- 對(duì)于每個(gè)豬圈，假設(shè)有 n 個(gè)顧客打開過它，則對(duì)所有整數(shù) i ∈ [1, n)，從該豬圈的第 i 個(gè)顧客向第 i + 1 個(gè)顧客連一條邊，容量為 +∞。
- 從各個(gè)顧客到匯點(diǎn)各有一條邊，容量是各個(gè)顧客能買的數(shù)量上限。
拿我們前面一直在講的例子來(lái)說：1 號(hào)豬圈的第一個(gè)顧客是 1 號(hào)顧客，所以從源點(diǎn)到 1 號(hào)顧客有一條容量為 3 的邊；1 號(hào)豬圈的第二個(gè)顧客是 2 號(hào)顧客，因此從 1 號(hào)顧客到 2 號(hào)顧客有一條容量為 +∞ 的邊；2 號(hào)豬圈的第一個(gè)顧客也是 1 號(hào)顧客，所以從源點(diǎn)到 1 號(hào)顧客有一條容量為 1 的邊，和之前已有的一條邊合并起來(lái)，容量變成 4；2 號(hào)豬圈的第二個(gè)顧客是 3 號(hào)顧客，因此從 1 號(hào)顧客到 3 號(hào)顧客有一條容量為 +∞ 的邊；3 號(hào)豬圈的第一個(gè)顧客是 2 號(hào)顧客，所以從源點(diǎn)到 2 號(hào)顧客有一條容量為 10 的邊。□
新的網(wǎng)絡(luò)模型中最多只有 2 + N = 102 個(gè)節(jié)點(diǎn)，計(jì)算速度就可以相當(dāng)快了。可以這樣理解這個(gè)新的網(wǎng)絡(luò)模型：對(duì)于某一個(gè)顧客，如果他打開了豬圈 h，則在他走后，他打開的所有豬圈里剩下的豬都有可能被換到 h 中，因而這些豬都有可能被 h 的下一個(gè)顧客買走。所以對(duì)于一個(gè)顧客打開的所有豬圈，從該顧客到各豬圈的下一個(gè)顧客，都要連一條容量為 +∞ 的邊。
在面對(duì)網(wǎng)絡(luò)流問題時(shí)，如果一時(shí)想不出很好的構(gòu)圖方法，不如先構(gòu)造一個(gè)最直觀，或者說最“硬來(lái)”的模型，然后再用合并節(jié)點(diǎn)和邊的方法來(lái)簡(jiǎn)直化這個(gè)模型。經(jīng)過簡(jiǎn)化以后，好的構(gòu)圖思路自然就會(huì)涌現(xiàn)出來(lái)了。這是解決網(wǎng)絡(luò)流問題的一個(gè)好方法。
轉(zhuǎn)自：
http://imlazy.ycool.com/post.2059102.html