求最大公約數九法

湖南省武岡市教研室 周定武

　　一、觀察法．

　　運用能被2、3、5整除的數的特征進行觀察．

　　例如，求225和105的最大公約數．因為225、105都能被3和5整除，所以225和105至少含有公約數（3×5）15．因為225÷15＝15，105÷15＝7．15與7互質，所以225和105的最大公約數是15．

　　二、查找約數法．
先分別找出每個數的所有約數，再從兩個數的約數中找出公有的約數，其中最大的一個就是最大公約數．

　　例如，求12和30的最大公約數．
12的約數有：1、2、3、4、6、12；
30的約數有：1、2、3、5、6、10、15、30．
12和30的公約數有：1、2、3、6，其中6就是12和30的最大公約數．

　　三、分解因式法．

　　先分別把兩個數分解質因數，再找出它們全部公有的質因數，然后把這些公有質因數相乘，得到的積就是這兩個數的最大公約數．

　　例如：求125和300的最大公約數．因為125＝5×5×5，300＝2×2×3×5×5，所以125和300的最大公約數是5×5＝25．

　　四、關系判斷法．

　　當兩個數關系特殊時，可直接判斷兩個數的最大公約數．例如，兩個數互質時，它們的最大公約數就是這兩個數的乘積；兩個數成倍數關系時，它們的最大公約數就是其中較小的那個數．

　　五、短除法．

　　為了簡便，將兩個數的分解過程用同一個短除法來表示，那么最大公約數就是所有除數的乘積．

　　例如：求180和324的最大公約數．

　　因為：

　　5和9互質，所以180和324的最大公約數是4×9＝36．

　　六、除法法．

　　當兩個數中較小的數是質數時，可采用除法求解．即用較大的數除以較小的數，如果能夠整除，則較小的數是這兩個數的最大公約數．

　　例如：求19和152，13和273的最大公約數．因為152÷19＝8，273÷13＝21．（19和13都是質數．）所以19和152的最大公約數是19，13和273的最大公約數是13．

　　七、縮倍法．

　　如果兩個數沒有之間沒有倍數關系，可以把較小的數依次除以2、3、4……直到求得的商是較大數的約數為止，這時的商就是兩個數的最大公約數．例如：求30和24的最大公約數．24÷4＝6，6是30的約數，所以30和24的最大公約數是6．

　　 八、求差判定法．

　　如果兩個數相差不大，可以用大數減去小數，所得的差與小數的最大公約數就是原來兩個數的最大公約數．例如：求78和60的最大公約數．78－60＝18，18和60的最大公約數是6，所以78和60的最大公約數是6．

　　
如果兩個數相差較大，可以用大數減去小數的若干倍，一直減到差比小數小為止，差和小數的最大公約數就是原來兩數的最大公約數．例如：求92和16的最大公約數．92－16＝76，76－16＝60，60－16＝44，44－16＝28，28－16＝12，12和16的最大公約數是4，所以92和16的最大公約數就是4．

　　九、輾轉相除法．

　　當兩個數都較大時，采用輾轉相除法比較方便．其方法是：

　　以小數除大數，如果能整除，那么小數就是所求的最大公約數．否則就用余數來除剛才的除數；再用這新除法的余數去除剛才的余數．依此類推，直到一個除法能夠整除，這時作為除數的數就是所求的最大公約數．

　　例如：求4453和5767的最大公約數時，可作如下除法．

　　5767÷4453＝1余1314

　　4453÷1314＝3余511

　　1314÷511＝2余292

　　511÷292＝1余219

　　292÷219＝1余73

　　219÷73＝3

　　于是得知，5767和4453的最大公約數是73．

　　輾轉相除法適用比較廣，比短除法要好得多，它能保證求出任意兩個數的最大公約數．

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{
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}

輾轉相除法，求一個數組中所有數的最大公約數

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{
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????????????iCurr?=?iRemainder;
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}

最小公倍數就是乘積除以最大公約數

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{
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????for?(int?i?=?0;?i?<?len;?i++)
????????multiple?*=?arr[i];

????return?multiple?/?GetGCD(arr,?len);
}

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