隨筆檔案

北大1067

有兩堆石子，數(shù)量任意，可以不同。游戲開始由兩個(gè)人輪流取石子。游戲規(guī)定，每次有兩種不同的取法，一是可以在任意的一堆中取走任意多的石子；二是可以在兩堆中同時(shí)取走相同數(shù)量的石子。最后把石子全部取完者為勝者。現(xiàn)在給出初始的兩堆石子的數(shù)目，如果輪到你先取，假設(shè)雙方都采取最好的策略，問最后你是勝者還是敗者。

題目是這樣的，自己也想了半天，覺得沒有什么思路，后來(lái)在網(wǎng)上查了些資料，然后整理了一下，如下：

用（ak，bk）（ak ≤ bk ,k=0，1，2，...,n)表示兩堆物品的數(shù)量并稱其為局勢(shì)，如果甲面對(duì)（0，0），那么甲已經(jīng)輸了，這種局勢(shì)我們稱為奇異局勢(shì)。前幾個(gè)奇異局勢(shì)是：（0，0）、（1，2）、（3，5）、（4，7）、（6，10）、（8，13）、（9，15）、（11，18）、（12，20）。

    可以看出,a0=b0=0,ak是未在前面出現(xiàn)過的最小自然數(shù),而 bk= ak + k，奇異局勢(shì)有

如下三條性質(zhì)：

 

    1。任何自然數(shù)都包含在一個(gè)且僅有一個(gè)奇異局勢(shì)中。

    由于ak是未在前面出現(xiàn)過的最小自然數(shù)，所以有ak > ak-1 ，而 bk= ak + k > ak-1 + k-1 = bk-1 > ak-1 。所以性質(zhì)1。成立。

    2。任意操作都可將奇異局勢(shì)變?yōu)榉瞧娈惥謩?shì)。

    事實(shí)上，若只改變奇異局勢(shì)（ak，bk）的某一個(gè)分量，那么另一個(gè)分量不可能在其他奇異局勢(shì)中，所以必然是非奇異局勢(shì)。如果使（ak，bk）的兩個(gè)分量同時(shí)減少，則由于其差不變，且不可能是其他奇異局勢(shì)的差，因此也是非奇異局勢(shì)。

    3。采用適當(dāng)?shù)姆椒ǎ梢詫⒎瞧娈惥謩?shì)變?yōu)槠娈惥謩?shì)。

 

    假設(shè)面對(duì)的局勢(shì)是（a,b），若 b = a，則同時(shí)從兩堆中取走 a 個(gè)物體，就變?yōu)榱似娈惥謩?shì)（0，0）；如果a = ak ，b > bk，那么，取走b  - bk個(gè)物體，即變?yōu)槠娈惥謩?shì)；如果 a = ak ，  b < bk ,則同時(shí)從兩堆中拿走 ak - ab - ak個(gè)物體,變?yōu)槠娈惥謩?shì)（ ab - ak , ab - ak+ b - ak）；如果a > ak ，b= ak + k,則從第一堆中拿走多余的數(shù)量a - ak 即可；如果a < ak ，b= ak + k,分兩種情況，第一種，a=aj （j < k）,從第二堆里面拿走 b - bj 即可；第二種，a=bj （j < k）,從第二堆里面拿走 b - aj 即可。

 

    從如上性質(zhì)可知，兩個(gè)人如果都采用正確操作，那么面對(duì)非奇異局勢(shì)，先拿者必勝；反之，則后拿者取勝。

 

    那么任給一個(gè)局勢(shì)（a，b），怎樣判斷它是不是奇異局勢(shì)呢？我們有如下公式：

    ak =[k（1+√5）/2]，bk= ak + k  （k=0，1，2，...,n 方括號(hào)表示取整函數(shù))

奇妙的是其中出現(xiàn)了黃金分割數(shù)（1+√5）/2 = 1。618...,因此,由ak，bk組成的矩形近似為黃金矩形，由于2/（1+√5）=（√5-1）/2，可以先求出j=[a（√5-1）/2]，若 a=[j（1+√5）/2]，那么a = aj，bj = aj + j，若不等于，那么a = aj+1，bj+1 = aj+1+ j + 1，若都不是，那么就不是奇異局勢(shì)。然后再按照上述法則進(jìn)行，一定會(huì)遇到奇異局勢(shì)。

具體的實(shí)現(xiàn)如下：

#include <stdio.h>
#include <math.h>
int main()
{
    int a,b,k,temp,data;
    double r=0.6180339887,R=1/r;
    while(scanf("%d %d",&a,&b)==2)
          {
                if(a>b){
                    temp=b;
                    b=a;
                    a=temp;
                   }
                  k =b-a;
                  data=(int)(k*R);
                  if(a==data)
                      printf("%d\n",0);
                   else
                       printf("%d\n",1);
          }
          return 0;
}

大家好，這是我們算法小組的blog，以后大家做完題目后，可以把做題思路寫到我們的博客哦！