一個(gè)無向連通網(wǎng)絡(luò)，去掉一個(gè)邊集可以使其變成兩個(gè)連通分量則這個(gè)邊集就是割集；最小割集當(dāng)然就權(quán)和最小的割集。
可以用最小切割最大流定理：
1.min=MAXINT,確定一個(gè)源點(diǎn)
2.枚舉匯點(diǎn)
3.計(jì)算最大流，并確定當(dāng)前源匯的最小割集，若比min小更新min
4.轉(zhuǎn)到2直到枚舉完畢
5.min即為所求輸出min
不難看出復(fù)雜度很高：枚舉匯點(diǎn)要O(n)，最短增廣路最大流算法求最大流是O((n^2)m)復(fù)雜度，在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中O(m)=O(n^2)，算法總復(fù)雜度就是O(n^5)；哪怕采用最高標(biāo)號預(yù)進(jìn)流算法求最大流O((n^2)(m^0.5))，算法總復(fù)雜度也要O(n^4)
所以用網(wǎng)絡(luò)流算法求解最小割集復(fù)雜度不會(huì)低于O(n^4)。
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prim算法不僅僅可以求最小生成樹，也可以求“最大生成樹”。最小割集Stoer-Wagner算法就是典型的應(yīng)用實(shí)例。
求解最小割集普遍采用Stoer-Wagner算法，不提供此算法證明和代碼，只提供算法思路：
1.min=MAXINT，固定一個(gè)頂點(diǎn)P
2.從點(diǎn)P用“類似”prim的s算法擴(kuò)展出“最大生成樹”，記錄最后擴(kuò)展的頂點(diǎn)和最后擴(kuò)展的邊
3.計(jì)算最后擴(kuò)展到的頂點(diǎn)的切割值（即與此頂點(diǎn)相連的所有邊權(quán)和），若比min小更新min
4.合并最后擴(kuò)展的那條邊的兩個(gè)端點(diǎn)為一個(gè)頂點(diǎn)（當(dāng)然他們的邊也要合并，這個(gè)好理解吧？）
5.轉(zhuǎn)到2，合并N-1次后結(jié)束
6.min即為所求，輸出min
prim本身復(fù)雜度是O(n^2)，合并n-1次，算法復(fù)雜度即為O(n^3)
如果在prim中加堆優(yōu)化，復(fù)雜度會(huì)降為O((n^2)logn)
這個(gè)Stoer-Wagner算法可以參見這篇paper(http://docs.google.com/fileview?id=0BwxLvD9mcDNtMjk3MWVkMTAtZjMzNi00ZWE3LTkxYjQtYTQwNzcyZTk3Njk2&hl=en), 其核心思想是迭代縮小規(guī)模, 算法基于這樣一個(gè)事實(shí):
對于圖中任意兩點(diǎn)s和t, 它們要么屬于最小割的兩個(gè)不同集中, 要么屬于同一個(gè)集.
如果是后者, 那么合并s和t后并不影響最小割. 基于這么個(gè)思想, 如果每次能求出圖中某兩點(diǎn)之間的最小割, 然后更新答案后合并它們再繼續(xù)求最小割, 就得到最終答案了. 算法步驟如下:
1. 設(shè)最小割cut=INF, 任選一個(gè)點(diǎn)s到集合A中, 定義W(A, p)為A中的所有點(diǎn)到A外一點(diǎn)p的權(quán)總和.
2. 對剛才選定的s, 更新W(A,p)(該值遞增).
3. 選出A外一點(diǎn)p, 且W(A,p)最大的作為新的s, 若A!=G(V), 則繼續(xù)2.
4. 把最后進(jìn)入A的兩點(diǎn)記為s和t, 用W(A,t)更新cut.
5. 新建頂點(diǎn)u, 邊權(quán)w(u, v)=w(s, v)+w(t, v), 刪除頂點(diǎn)s和t, 以及與它們相連的邊.
6. 若|V|!=1則繼續(xù)1.
看起來很簡單, 每次像做最大生成樹一樣選最大"邊"(注意, 這里其實(shí)不是邊, 而是已經(jīng)累計(jì)的權(quán)值之和, 就當(dāng)是加權(quán)的度好了), 然后把最后進(jìn)入的兩個(gè)點(diǎn)縮到一塊就可以了. 合并點(diǎn)最多有n-1次, 而不加堆優(yōu)化的prim是O(n^2)的, 所以最終復(fù)雜度O(n^3), 要是你有心情敲一大坨代碼, 還可以在稀疏圖上用Fibonacci Heap優(yōu)化一下, 不過網(wǎng)上轉(zhuǎn)了一圈, 大多都是說能用Fibonacci Heap優(yōu)化到怎樣怎樣的復(fù)雜度, 真正能自己寫出來的恐怕也沒幾個(gè), 看看uoregon(俄勒岡大學(xué))的一大坨代碼就有點(diǎn)寒. (http://resnet.uoregon.edu/~gurney_j/jmpc/fib.html)
特別注意幾個(gè)地方, 網(wǎng)上的好幾個(gè)Stoer-Wagner版本都存在一些小錯(cuò)誤:
1. 算法在做"最大生成樹"時(shí)更新的不是普通意義上的最大邊, 而是與之相連的邊的權(quán)值和, 當(dāng)所有邊都是單位權(quán)值時(shí)就是累計(jì)度.
2. "最后進(jìn)入A的兩點(diǎn)記為s和t", 網(wǎng)上對s有兩種解釋, 一是在t之前一個(gè)加進(jìn)去的點(diǎn), 二是t的前趨節(jié)點(diǎn), 也就是最后選擇的那條邊的另一端. 正解是第一種!
3. 對于稠密圖, 比如這題, 我用堆, 映射二分堆, 或者STL的優(yōu)先隊(duì)列都會(huì)TLE, 還不如老老實(shí)實(shí)O(n^3).