描述Q?/strong>在对于Q选一个图中结点ؓ根的DFS搜烦树中建立一个LAB数组与LOW数组QLAB数组存储个结点的~号QLOW数组存储各点及其子树的各l点能到辄最编L点的~号?br>
2 DFS(u)
3 LAB[u] = LOW[u] = lab++
4 for each (u, v) in E(G)
5 if LAB[v] is 0
6 DFS(v)
7 LOW[u] = min{LOW[u], LOW[v]}
8 else if v isnot parent of u
9 LOW[u] = min{LOW[u], LAB[v]}
W?行中Q如?u, v)是树边，则对v做深度优先搜索，q且LOW[u] = min{LOW[u], LOW[v]}Q如?u, v)是反向边Q则LOW[u] = min{LOW[u], LAB[v]}?/span>
三、割?br> 描述Q?/strong>当一个结点u是割Ҏ必满以下两个条件之一Q?br> 1Qu为根且至有两棵子树Q?br> 2Qu不ؓ根且存在一个u在深搜树中的子女v使得LOW[v] ≥ LAB[u]?br> CZQ?/strong>POJ 1523 解题报告?br>四、桥
描述Q?/strong>一条边e=(u, v)是桥Q当且仅当e为树枝边且LOW[v] > LAB[u]?br> CZQ?/strong>POJ 3352 解题报告?/span>
]]>
最费用最大流Q设G是以s为源t为汇的网l，c是G的容量，b是G的单位流量费用，且有b[i][j] = -b[i][j]Qf是G的流Q则b(f)=?fij*bij)Q?i, j)∈E(G) 且fij>0。最费用最大流问题Q就是求|络G的最大流f且费用b(f)最。这L称为最费用最大流?/span>
二、算法思想
用Ford-Fulkerson法的思想Q不断地在残留网l中L增广路，只不q这个增q\是当前网l中s到t的以单位量费用为权的最短\Q对q条增广路进行操作。由于费用有负|用SPFA法?br>三、算法介l?br> 描述Q?/span>
2 for each edge(u, v) in E(G)
3 do f[u, v] = 0
4 f[v, u] = 0
5 while exists a path p from s to t in Gf and p is the shortest path
6 do cf(p) = min{cf(u, v) : (u, v) in p}
7 for each edge(u, v) in p
8 do f[u, v] = f[u, v] + cf(p)
9 f[v, u] = - f[u, v]
mcmf()2
{3
while(true)4
{5
for(int i=1; i<=n+m+1; i++)6
d[i] = MAX;7
d[s] = 0;8
spfa(); //p中存有该点的前?/span>9
if(p[t] == -1) //表示已无增广?/span>10
break;11
int minf = INT_MAX;12
int it = t;13
while(p[it] != -1)14
{15
minf = min(minf, c[p[it]][it] - f[p[it]][it]);16
it = p[it];17
}18
it = t;19
while(p[it] != -1)20
{21
f[p[it]][it] += minf;22
f[it][p[it]] = -f[p[it]][it];23
it = p[it];24
}25
}26
}三、算法示?br> POJ 2516 解题报告
]]>
匚wQ设G(V, E)为无环图Q设M为E的一个非I子集，如果M中的L两条边在G中不盔RQ则UM是图G中的一个匹配。若对图G的Q何匹配M'Q均有|M'|≤|M|Q则UM为G的最大匹配?br> 饱和点：设M是图G中的匚wQG中与M中的边关联的点UCؓM饱和点，否则UCؓM非饱和点。若图中点均是M饱和点，则称M为G的完匹配?br> M交错路：设P是G的一条\Q且在P中，M的边和E-M的边交错出现Q则UP是G的一条M交错路。若M交错路P的两个端点ؓM非饱和点Q则UP为M可增q\?nbsp;
根在x的M交错子图Q设x为G中M非饱和点。G中由L为x的M交错路所能连接的点集所导出的G的导出子图?br> S的邻集：设S为G的Q一点集，G中与S的顶炚w接的所有顶点的集合Q称为S的邻集，CN(S)?br> 最优匹配：对于一个加权二部图Q一个权最大的匚w叫作最优匹配?br> 可行定标Q映lQV(G)→RQ满_G的每条边e={u, v}Q均有l(u)+l(v)≥w(u, v)Q其中w(u, v)表示边e的权Q则Ul为G的可行顶标。oEl={(u, v) | {u, v}∈E(G)Ql(u)+l(v)=w(u, v)}QGlZEl集的G的生成子图，则称Gl为l{子图?br>二、最大匹配（匈牙利算法）
描述Q?/strong>
Q?QG是具有划?V1, V2)的二分图QQl初始匹配MQ?br> Q?Q若M饱和V1则结束；
Q?Q否则，在V1中找一M非饱和点Q，|S={x}Q?T为空Q?br> Q?Q若N(S) = TQ则停止Q否则Q选一点y∈N(S)-TQ?br> Q?Q若y为M非饱和点Q则求一条从x到y的M可增q\PQ置M为M异或Pq{Q?Q；
Q?Q否则，׃y是M的饱和点Q故M中有一边{y, u}Q置S = S∪{u}QT = T∪{y}Q{Q?Q?br> 实现Q?br>
2 for i : 1 to |V2|
3 do match[i] = 0
4 for each vertex u in V1
5 do for i : 1 to |V2|
6 do visit[i] = false
7 DFS(u)
8 DFS(u)
9 for each vertex v in V2
10 if (u, v) in E(G) and visit[v] is false
11 then visit[v]=true
12 if match[v] is 0 or DFS(match[v]) is true
13 then match[v] = u
14 return true
15 return false
说明Q?/strong>W?行的DFS(u)q程Q当存在从u开始的M可增q\Q则q回trueQƈ完成M的扩展，此时|M|加一。如果返回falseQ则表示不存在M可增q\?nbsp;
CZQ?/strong>POJ 1274 解题报告?/span>
三、最优匹配（KM法Q?br> 描述Q?/strong>
Q?Q从L可行标l开始，定l{子图GlQƈ且在Gl中选取匚wM。若M饱和V1Q则M是完匹配，也即M是最优匹配，法l止Q?br> Q?Q否则，q用匈牙利算法，l止于S属于V1QT属于V2且对于GlQN(S)=T。oal=min{l(x)+l(y)-w(x, y) | x∈S, y∈V2-T}Qol'(u)=l(u)-al如果u∈SQl'(u)=l(u)+al如果u∈TQl'(u)=l(u)Q其它。用l'代替lQ用Gl'代替Gl转入Q?Q?br> 实现Q?/strong>
2 for each vertex u in V1
3 do lx[u] = max{w[u][v] | (u, v) in E(G)}
4 for each vertex v in V2
5 do ly[v] = 0
6 for each vertex u in V1
7 do while(true)
8 do for each vertex u in V1
9 do vx[u] = false
10 for each vertex v in V2
11 do vy[v] = false
12 slack[v] = MAX
13 if DFS(u) is true
14 then break
15 d = min{slack[v] | v in V2 and vy[v] is false}
16 for each vertex u in V1
17 do lx[u] = lx[u] - d
18 for each vertex v in V2
19 do ly[v] = ly[v] + d
20 DFS(u)
21 vx[u] = true
22 for each vertex v in V2
23 do if lx[u]+ly[v]==w[u][v] and vy[v] is false
24 then vy[v] = true
25 if match[v] is NIL or DFS(match[v])
26 then match[v] = u
27 return true
28 else if lx[u]+ly[v]>w[u][v]
29 then slack[v] = min{slack[v], lx[u]+ly[v]-w[u][v]}
30 return false
]]>
网l：G=(V, E)是一个有向图Q其中每条边(u, v)∈E均有一个非负容?span lang="EN-US">c(u, v) ≤0Q否?span lang="EN-US">c(u, v)?span lang="EN-US">0.网l中有两个特别的点Q源?span lang="EN-US">s和汇?span lang="EN-US">t。对于每个顶?span lang="EN-US">v∈VQ都存在一条\?span lang="EN-US">s…v…t?span lang="EN-US">
：G上的一个实值函?span lang="EN-US">(V×V→R)Q满?span lang="EN-US">1)对于Lu, v∈VQ?span lang="EN-US">f(u, v)≤c(u, v)Q?span lang="EN-US">2)对于Lu, v∈VQ?span lang="EN-US">f(u, v)=-f(u, v)Q?span lang="EN-US">3)对于Lu∈V-{s, t}Q∑f(u, i)=0。定义流|f|=?span lang="EN-US">f(s, i)?span lang="EN-US">
D留|络Q给定流|络和一个流Q其D留|络由可以容Ux多网l流的边l成。定义残留容?span style="color: red;" lang="EN-US">cf(u, v)=c(u, v)-f(u, v)。残留网l?span lang="EN-US">Gf=(V,Ef),其中Ef={(u, v)∈V×V:cf(u, v)>0}?span lang="EN-US">
增广路径Q增光\?span lang="EN-US">p为残留网l?span lang="EN-US">Gf中从s?span lang="EN-US">t的一条简单\径?span lang="EN-US">
网l的Ԍ网l的?span lang="EN-US">(S, T)?span lang="EN-US">V划分?span lang="EN-US">S?span lang="EN-US">T=V-S两部分，使得s∈SQ?span lang="EN-US">t∈T。穿q割的净定义ؓf(S, T)Q且?span lang="EN-US">f(S, T)=|f|。割的容量ؓc(u, v)。一个网l的最割是|络中所有割中流量最的剌Ӏ?span lang="EN-US">
最大流最割定理Q以下三个条件等P1)f?span lang="EN-US">G的一个最大流Q?span lang="EN-US">2)D留|络Gf不包含增q\径；3)?span lang="EN-US">G的某个割(S, T)Q有|f|=c(S, T)?span lang="EN-US">
前置：是一个函?span lang="EN-US">fQ?span lang="EN-US">V×V→RQ它满1)对于Lu, v∈VQ?span lang="EN-US">f(u, v)≤c(u, v)Q?span lang="EN-US">2)对于Lu, v∈VQ?span lang="EN-US">f(u, v)=-f(u, v)Q?span lang="EN-US">3)对于Lu∈V-{s, t}Q?span lang="EN-US">f[V, u]≥0。定义余?span lang="EN-US">e[u]=f[V, u]Q对?span lang="EN-US">u∈V-{s, t}Q当e[u]>0ӞU顶?span lang="EN-US">u溢出?span lang="EN-US">
高度函数Q函?span lang="EN-US">hQ?span lang="EN-US">V→N满h[s]=|V|Q?span lang="EN-US">h[t]=0Q且Ҏ条残留边(u, v)∈EfQ有h[u]≤h[v]+1?span lang="EN-US">
容许边：如果cf(u, v)>0?span lang="EN-US">h[u]=h[v]+1Q则U?span lang="EN-US">(u, v)是容许边。否则，(u, v)是非容许辏V容许网lؓGf,h=(V, Ef,h)Q其?span lang="EN-US">Ef,h为容许边的集合。根据容许边有关高度的定义，易知Q容许网l不存在回\?br>
二?nbsp; Ford-FulkersonҎ
1Q?nbsp;基本的Ford-Fulkerson法
描述Q?/strong>
2 for each edge(u, v) in E(G)
3 do f[u, v] = 0
4 f[v, u] = 0
5 while exists a path p from s to t in Gf
6 do cf(p) = min{cf(u, v) : (u, v) in p}
7 for each edge(u, v) in p
8 do f[u, v] = f[u, v] + cf(p)
9 f[v, u] = - f[u, v]
分析Q?/strong>Ford-Fulkersonq程的效率取决于如何定增广路径。如果选择不好Q对于非有理的容量，法有可能不能终止。如果容量是整数Q如果容量不是整敎ͼ可以乘以特定的因子{化ؓ整数Q。这ӞW?~4行运行时间ؓO(E),W?~9行，while循环臛_执行|f*|Q这是因为在每次q代后，D增?。故法效率为O(E|f*|)。当最大流f*较小Ӟq个法的效率还是不错的?/span>
2QEdmonds-Karp法
描述Q?/strong>基本的Ford-Fulkerson法的第5行中用广度优先搜索来实现增广路p的计，卛_q\径是D留|络中从s到t的最短\?其中每条边ؓ单位距离或权)Q则能够改进Ford-Fulkerson法的界?br> 分析Q?/strong>随着法的运行，对于所有顶点v∈V-{s, t}Q残留网lGf中的最短\径长?#948;f(s, v)随着每个的增加而单调递增。直观看来，每次增加的操作都将使得当前最短\中的一条边(卛_键边Qcf(a, b)=cf(p))从p中消失，从而得新生成的Gf中的最短\径的长度增加。同ӞL?u, v)臛_能成为|V|/2-1ơ成为关键边。这是因为第iơ成为关键边时有δf(s, v)=δf(s, u)+1Q而第i+1ơ时f[u, v]只可能与上次异号Q则?#948;f'(s, u)=δf'(s, v)+1Q且?#948;f'(s, v)≥δf(s, v)Q则δf'(s, u)=δf'(s, v)+1)≥δf(s, v)+1=δf(s, u)+2。故(u, v)每次成ؓ关键辚w?#948;f(s, u)增加2Q有׃δf(s, u)最大gؓ|V|-2Q则L?u, v)臛_能成为|V|/2-1ơ成为关键边。故该算法的旉复杂性ؓO(VE2)?br> CZQ?/strong>POJ 1273 解题报告
三?nbsp; Push-Relabel法
描述Q?/strong>
2 PUSH(u, v)
3 if cf(u, v)<=0 or h[u] != h[v]+1
4 then return
5 df(u, v) = min{e[u], cf(u, v)}
6 f[u, v] = f[u, v] + df(u, v)
7 f[v, u] = -f[u, v]
8 e[u] = e[u] - df(u, v)
9 e[v] = e[v] + df(u, v)
2 RELABEL(u)
3 if e[u]==0 or there is no v that (u, v) in Ef and h[u]>h[v]
4 then return
5 h[u] = 1 + min{h[v] : (u, v) in Ef}
2 INTIALIZE-PREFLOW(G, s)
3 for each vertex u in V[G]
4 do h[u] = 0
5 e[u] = 0
6 for each edge(u, v) in E[G]
7 do f[u, v] = 0
8 f[v, u] = 0
9 h[s] = |V[G]|
10 for each vertex u in Adj[s]
11 do f[s, u] = c[s, u]
12 f[u, s] = -c[s, u]
13 e[u] = c(s, u)
14 e[s] = e[s] - c(s, u)
2 PUSH-RELABEL(G, s)
3 INTIALIZE-PREFLOW(G, s)
4 while there exists an applicable push or relabel operation
5 do select an applicable push or relabel operation and perform it
正确性：用@环不变式来说?br> 1Q初始化QINITILIZATION-FREFLOW初始化f为前|流
2Q保持：法中只使用了push与relabel操作Qrelabel操作只媄响高度，不媄响fQ而push(u, v)操作Q只会增加点v的流入量即f(V, v)Q?br>所以如果操作以前是前置，操作后还是前|流
3Q终止：在终止时QV-{s, t}中的每个点的余必?Q如果存在不?的点Q则必可以进行push或relabel操作Q，且最l得到的是一个前|流Q故最l得到的是一个流。又在最l的D留|络中，不存在s到t的\径（否则Q如存在一条\径s,v1,...,tQ则s可以向压入流Q得v1溢出Q，Ҏ最大流最割定理Qf是最大流?br> 分析Q?/strong>首先Q证明对于Q意溢出点uQ均存在一条在Gf上的u到s的\Q设U={v|在Gf存在一条s到v的\径}Q设U#=V-UQ假设s不属于UQ对于顶点对(v, w)Qv属于UQw属于U#Q有f(v, w)≤0Q否则，如果f(v, w)>0Q则有cf(v, w)=c(v, w)-f(v, w)=c(v, w)+f(w, v)>0Q这与w不属于U矛盾Qe[u] =f(V, U)=F(U, U)+f(U#, U)=F(U#, U)≤0Q而对于v∈V-{s}Qe[v]≥0Q又e[u]>0Q则U中必有sQ矛盾！
relabel操作Q对于源点与会点Q不存在relabel操作Q而对于其它顶点uQ初始时Qh[u]=0≤2|V|-1Q当uq行relabelӞu溢出Q则Gf中必存在一条u到s的\径p=<u=v0,v1,...,vk=s>Q由高度函数的定?u, v)∈EfQ有h[u]≤h[v]+1Q则h[u]=h[v0]≤h[vk]+k≤h[s]+|V|-1=2|V|-1Q算法中d的relabel操作ơ数为O(V2)?br> 饱和push操作Q进行操作后Q?u, v)边从Ef中消失，则称该push操作为饱和push操作Q进行一?u, v)的饱和push操作必有h[u]=h[v]+1Q同Ӟ要进行下一?u, v)的饱和push操作Q必先经q一?v, u)的饱和push操作Q则两次饱和操作室h[u]增加2Q又h[u]≤2|V|-1Q则每个点臛_q行|V|ơ饱和push操作Q则d的饱和push操作ơ数为O(|V||E|)?br> 不饱和push操作Qpush操作中除去饱和push操作Q剩下的是不饱和push操作。定义一个函数gQgؓ所有e值大?的顶点的高度和，故g≥0。考察三种操作对g值的影响Q?Qrelabel操作不会改变溢出性且只会改变一个点Q而一个点的变化至多ؓ2|V|-1Q则g臛_增加2|V|-1Q?Q饱和push操作可能能增加一个溢出点Qg臛_增加2|V|-1Q?Q不饱和push(u, v)操作会u变ؓ不溢出，而在v从不溢出到溢出时Q减的最，?Q因为h[u]=h[v]+1)。则不饱和push操作的次数至多ؓO(|V|2|E|+|V|3)?br> lgQPush-Relabel法是正的且效率ؓO(V2E)?br> CZQ?/strong>POJ 1459 解题报告
描述QPush、Relabel与Initalize-Flow操作参看Push-RelabQ：
2 DISCHARGE(u)
3 while e[u]>0
4 do v = current[u]
5 if v == NIL
6 then RELABEL(u)
7 current[u] = head[N[u]]
8 else if cf(u, v)>0 and h[u]=h[v]+1
9 then PUSH(u, v)
10 else
11 current[u] = next-neighbor[v]
2 RELABEL-TO-FRONT(G, s, t)
3 INITIALIZE-PREFLOW(G, s)
4 L = V[G]-{s, t}, in any order
5 for each vertex u in V[G]-{s, t}
6 do current[u] = head[N[u]]
7 u = head[L]
8 while u != NIL
9 do old-height = h[u]
10 DISCHARGE(u)
11 if h[u] > old-height
12 then move u to the front of list L
13 u = next[u]
正确性：Relabel-To-Front法只有在Push与relabel操作时才会改变fQ故它是Push-Ralabel的一个实玎ͼ所以只要证明当法l止时只要再无Push与Relabel操作卛_。用循环不变式证明：
1Q初始化Q运行INITIALIZE-PREFLOW后，无容许边Q故L点序列是拓扑排序的顶炏V?br> 2Q保持：容许|络可通过Push和Relabel操作改变Q对于Push操作Q不会生容许边Q故u的前面的点与u不会有余；而对于Relabel(u)操作Q不会生进入u的容许边Q只会生离开u的容许边Q注意Relabel-To-Front法?2行，uUdL的前端，保证Ldu的容许边都满x扑排序，同时Q保证u的前面与u没有余流?br> 3Q终止：循环l止Ӟu恰好在L最后，于是QL中所有的点均无余流Q也再无Push与Relabel操作?br> 分析Q?/strong>该算法是Push-Relabel法的一U实玎ͼ所以每个顶点Relabel操作的界为O(V)Q则全部点的Relabel操作的界为O(V2)。如法?1~13行表明两ơRelabel操作之间Q最多进行|L|ơ，即|V|ơDischarge操作。每ơDischarge操作臛_只会?不饱和Push操作Q则不饱和操作的界ؓO(V3)Q同旉过Push-Ralabel法寚w和Push操作的分析，整个法的界为O(V3+VE)=O(V3)?br> CZQ?/strong>POJ 1149 解题报告
]]>
1、单个点到图中各个点的距?br> 2、图中Q意两个点之间的距?/span>
一?单个点到图中各个点的距离
Bellman-Ford法Q时间复杂性ؓO(n3)Q关于其法的描q及其优化：
Dijkstra法Q时间复杂性ؓO(n2)Q描q如下：
2 for each vertex v in V(G)
3 L[v] = ∞
4 L[u] = 0
5 S = {u}
6 while S != V(G)
7 v = vertex in V(G)-S with the minimum L-value
8 S = S + {v}
9 for each vertex a in V(G)-S
10 if L[v] + w[v, a] < L[v]
11 L[v] = L[v] + w[v, a]
证明Qok表示6行P代的ơ数
(1) 当k=0Ӟ卛_始化后，L[u]?QS为{u}Q显然满_下两个条Ӟ
- 对于在S中的L点v都有L[v]为u到v的最短\的长?/span>
- 对于不再S中的L点v都有L[v]为u只经qS中的点到v的最短\的长?/span>
假设L[vk]不是?span lang="EN-US">u?span lang="EN-US">vk的最短\的长度，׃vk不在k-1ơP代后?span lang="EN-US">S中，则根据上q条?span lang="EN-US">2可知?span lang="EN-US">u?span lang="EN-US">vk的最短\PQ?span lang="EN-US">u=v1,v2,…,vkQ中必存在一个经q一个不?span lang="EN-US">S中的?span lang="EN-US">vi(不ؓvk)Q?span lang="EN-US">v1,…,vi-1?span lang="EN-US">S中，?span lang="EN-US">L[vi]?span lang="EN-US">u?span lang="EN-US">vi的最短\得长度，则有L[vi]<u?span lang="EN-US">vk的最短\的长?span lang="EN-US"><L[vk]Q这与算法第7行中vk的选取条g矛盾。证毕?span lang="EN-US">
二?图中L两个点之间的距离
下面是一个著名的法—Floyd-Warshall法Q时间复杂性也是O(n3)Q?br>
2 for i 1 to n
3 for j 1 to n
4 if vi in adj[vj]
5 d[i, j] = w[i, j]
6 else
7 d[i, j] = ∞
8 for k 1 to n
9 for i 1 to n
10 for j 1 to n
11 d[i, j] = min(d[i, j], d[i, k]+d[k, j])
d[i, j, 0] = ∞ 当vi与vj不相?/span>
d[i, j, k+1] = min(d[i, j, k], d[i, k, k]+ d[k, j, k])
]]>
http://hi.baidu.com/jzlikewei/blog/item/5343d134b54c6f48251f14cd.html
在此Q本人感谢原作者的分n
Bellman-Ford法与另一个非常著名的Dijkstra法一P用于求解单源Ҏ短\径问题?/span>Bellman-ford法除了可求解边权均非负的问题外Q还可以解决存在负权边的问题Q意义是什么，好好思考）Q?/span>Dijkstra法只能处理Ҏ非负的问题，因此 Bellman-Ford法的适用面要q泛一些。但是，原始?/span>Bellman-Ford法旉复杂度ؓ OQ?/span>VEQ?/span>,?/span>Dijkstra法的时间复杂度高，所以常常被众多的大学算法教U书所忽略Q就q经典的《算法导论》也只介l了基本?/span>Bellman-Ford法Q在国内常见的基本信息学奥赛教材中也均未提及Q因此该法的知名度与被掌握度都不如Dijkstra法。事实上Q有多种形式?/span>Bellman-Ford法的优化实现。这些优化实现在旉效率上得到相当提升，例如q一两年被热捧的SPFAQ?/span>Shortest-Path Faster Algoithm 更快的最短\径算法）法的时间效率甚至由?/span>Dijkstra法Q因此成Z息学奥赛选手l常讨论的话题。然而，限于资料匮乏Q有?/span>Bellman-Ford法的诸多问题常常困扰奥赛选手。如Q该法值得掌握么？怎样用编E语a具体实现Q有哪些优化Q与SPFA法有关pMQ本文试囑֯Bellman-Ford法做一个比较全面的介绍。给出几U实现程序，从理论和实测两方面分析他们的旉复杂度，供大家在备战省选和后箋?/span>noi时参考?/span>
Bellman-Ford法思想
Bellman-Ford法能在更普遍的情况下（存在负权边）解决单源Ҏ短\径问题。对于给定的带权Q有向或无向Q图 G=Q?/span>V,EQ，其源点ؓsQ加权函?/span> w?/span> 辚w E 的映。对?/span>Gq行Bellman-Ford法的结果是一个布|表明图中是否存在着一个从源点s可达的负权回路?/span>若不存在q样的回路，法给Z源点s?/span> ?/span>G的Q意顶?/span>v的最短\?/span>d[v]?/span>
Bellman-Ford法程分ؓ三个阶段Q?/span>
Q?Q?span style="FONT: 7pt Times New Roman; font-size-adjust: none; font-stretch: normal"> 初始化：除源点外的所有顶点的最短距M计?/span> d[v] ←+∞, d[s] ←0;
Q?Q?span style="FONT: 7pt Times New Roman; font-size-adjust: none; font-stretch: normal"> q代求解Q反复对辚wE中的每条边进行松弛操作，使得点集V中的每个点v的最短距M计值逐步D其最短距；Q运行|v|-1ơ）
Q?Q?span style="FONT: 7pt Times New Roman; font-size-adjust: none; font-stretch: normal"> 验负权回路：判断辚wE中的每一条边的两个端Ҏ否收敛。如果存在未收敛的顶点，则算法返?/span>falseQ表明问题无解；否则法q回trueQƈ且从源点可达的顶?/span>v的最短距M存在 d[v]中?/span>
法描述如下Q?/span>
Bellman-Ford(G,w,s) Q?/span>boolean //?/span>G Q边?/span> 函数 w Q?/span>s为源?/span>
1 for each vertex v ∈ VQGQ?do //初始?span> 1阶段
2 d[v] ←+∞
3 d[s] ←0; //1阶段l束
4 for i=1 to |v|-1 do //2阶段开始，双重循环?/span>
5 for each edgeQu,vQ?∈E(G) do //辚w数组要用刎ͼID每条辏V?/span>
6 If d[v]> d[u]+ w(u,v) then //村ּ判断
7 d[v]=d[u]+w(u,v) //村ּ操作 2阶段l束
8 for each edgeQu,vQ?∈E(G) do
9 If d[v]> d[u]+ w(u,v) then
10 Exit false
11 Exit true
下面l出描述性证明：
首先指出Q图的Q意一条最短\径既不能包含负权回\Q也不会包含正权回\Q因此它最多包?/span>|v|-1条边?/span>
其次Q从源点s可达的所有顶点如?/span> 存在最短\径，则这些最短\径构成一个以s为根的最短\径树?/span>Bellman-Ford法的P代松弛操作，实际上就是按点距离s的层ơ，逐层生成q棵最短\径树的过E?/span>
在对每条边进?span>1 遍松弛的时候，生成了从s出发Q层ơ至多ؓ1的那些树枝。也是_扑ֈ了与s臛_?条边相联的那些顶点的最短\径；Ҏ条边q行W?遍松弛的时候，生成了第2层次的树枝，是说找Cl过2条边相连的那些顶点的最短\?#8230;…。因为最短\径最多只包含|v|-1 条边Q所以，只需要@环|v|-1 ơ?/span>
每实施一ơ松弛操作，最短\径树上就会有一层顶点达到其最短距，此后q层点的最短距d就会一直保持不变，不再受后l松弛操作的影响。（但是Q每ơ还要判断松弛，q里费了大量的旉Q怎么优化Q单U的优化是否可行Q）
如果没有负权回\Q由于最短\径树的高度最多只能是|v|-1Q所以最多经q|v|-1遍松弛操作后Q所有从s可达的顶点必求出最短距R如?d[v]仍保?+∞Q则表明从s到v不可达?/span>
如果有负权回路，那么W?span> |v|-1 遍松弛操作仍然会成功Q这Ӟ负权回\上的点不会收敛?/span>
例如对于上图Q边上方框中的数字代表权|点A,B,C之间存在负权回\。S是源点，点中数字表C行Bellman-Ford法后各点的最短距M计倹{?/span>
此时d[a] 的gؓ1Q大于d[c]+w(c,a)的?2Q由此d[a]可以村ּ?2Q然后d[b]又可以松弛ؓ-5,d[c]又可以松弛ؓ-7.下一个周期，d[a]又可以更Cؓ更小的|q个q程永远不会l止。因此，在P代求解最短\径阶D늻束后Q可以通过验边集E的每条边(u,v)是否满关系?span> d[v]> d[u]+ w(u,v) 来判断是否存在负权回路?/span>
二、基?/span> Bellman-Ford 法?/span> pascal实现?/span>
?/span> bellmanford.pas 文g
三、基本算法之上的优化?/span>
分析 Bellman-Ford法Q不隄出，外层循环QP代次敎ͼ|v|-1实际上取得是上限。由上面对算法正性的证明可知Q需要的q代遍数{于最短\径树的高度。如果不存在负权回\Q^均情况下的最短\径树的高度应该远q小?/span> |v|-1Q在此情况下Q多余最短\径树高的q代遍数是旉上的费Q由此，可以依次来实施优化?/span>
从细节上分析Q如果在某一遍P代中Q算法描qCW?/span>7行的村ּ操作未执行，说明该遍q代所有的辚w没有被松弛。可以证明（怎么证明Q）Q至此后Q边集中所有的辚w不需要再被松弛，从而可以提前结束P代过E。这P优化的措施就非常单了?/span>
讑֮一个布型标志变量 relaxedQ初gؓfalse。在内层循环中，仅当有边被成功松弛时Q将 relaxed 讄?/span>true。如果没有边被松弛，则提前结束外层@环。这一改进可以极大的减外层@环的q代ơ数。优化后?/span> bellman-ford函数如下?/span>
function bellmanford(s:longint):boolean;
begin
for i:=1 to nv do
d[i]:=max;
d[s]:=0;
for i:=1 to nv-1 do
begin
relaxed:=false;
for j:=1 TO ne do
if(d[edges[j].s]<>max) and (d[edges[j].e]>d[edges[j].s]+edges[j].w)
then begin
d[edges[j].e]:=d[edges[j].s]+edges[j].w ;
relaxed:=true;
end;
if not relaxed then break;
end;
for i:=1 to ne do
if d[edges[j].e]>d[edges[j].s]+edges[j].w then exit(false);
exit(true);
end;
q样看似q_的优化，会有怎样的效果呢Q有研究表明Q对于随机生成数据的q_情况Q时间复杂度的估公式ؓ
1.13|E| if |E|<|V|
0.95*|E|*lg|V| if |E|>|V|
优化后的法在处理有负权回\的测试数据时Q由于每ơ都会有边被村ּQ所?/span>relaxed每次都会被置?/span>trueQ因而不可能提前l止外层循环。这对应了最坏情况，其时间复杂度仍旧?/span>O(VE)?/span>
优化后的法的时间复杂度已经和用二叉堆优化的Dijkstra法相近了，而编码的复杂E度q比后者低。加?/span>Bellman-Ford法能处理各U边值权情况下的最短\径问题，因而还是非怼U的?/span>Usaco3.2.6 的程序见bellmanford_1.pas
四?/span>SPFA 法
SPFA是目前相当优U的求最短\径的法Q值得我们掌握?/span>
SPFA?/span>Bellman-Ford法优化的关键之处在于意识到Q?span style="COLOR: #ff6600">只有那些在前一遍松弛中改变了距M计值的点，才可能引起他们的L点的距离估计值的改变?/span>因此Q用一个先q先出的队列来存放被成功村ּ的顶炏V初始时Q源?/span>s入队。当队列不ؓI时Q取出对首顶点，对它的邻接点q行村ּ。如果某个邻接点村ּ成功Q且该邻接点不在队列中，则将其入队。经q有限次的松弛操作后Q队列将为空Q算法结束?/span>SPFA法的实玎ͼ需要用C个先q先出的队列 queue 和一个指C顶Ҏ否在队列中的 标记数组 mark。ؓ了方便查找某个顶点的L点，N用界表存储?/span>
E序存储?/span> spfa.pas中。以usaco 3.2.6 试题2Z。用L表写的程序?/span>
需要注意的是：仅当图不存在负权回\ӞSPFA能正常工作。如果图存在负权回\Q由于负权回路上的顶Ҏ法收敛，L点在入队和出队往q，队列无法为空Q这U情况下SPFA无法正常l束?/span>
判断负权回\?/span>Ҏ很多Q世间流传最q的是记录每个结点进队次敎ͼ过|V|ơ表C有负权
q有一U方法ؓ记录q个l点在\径中处于的位|，ord[i]Q每ơ更新的时?/span>ord[i]=ord[x]+1Q若过|V|则表C有负圈.....
其他Ҏq有很多Q我反倒觉得流传最q的Ҏ是最慢的.......
关于SPFA的时间复杂度Q不好准估计，一般认为是 OQ?/span>kEQ，k是常?/span>
五、时间效率实?/span>
上述介绍?/span>Bellman-Ford法及两U的优化Q只是在理论上分析了旉复杂度，用实际的数据试Q会有什么结果呢Qؓ此，我们选择 usaco 3.2.6?/span>
Spfa的时间效率还是很高的。ƈ?/span>spfa的编E复杂度要比Dijksta+heap优化要好的多?/span>
六、结?/span>
l过优化Bellman-Ford法是非怼化的求单源最短\径的法Q?/span>SPFA旉效率要优于第一U优化Ş式，但第一U优化Ş式的~码复杂度低?/span>SPFA。两U优化Ş式的~程复杂度都低于Dijkstra法。如果在判断是否存在负权回\Q推荐用第一U优化Ş式，否则推荐使用SPFA?/span>
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