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每对��点间的最短�\径之Floyd-Warshall��法

原语饿狼 — Wed, 23 Sep 2009 03:35:00 GMT

Floyd-Warshall��法的基本思�\是：
1.用D[v][w]记录每对��点间的最短距��?br> 2.�Ҏ��一个图中的��点�Q�以其作为基�Ҏ��描每一对D[v][w]�Q�检验是否通过该基点可以��得这寚w��炚w��的距��d��?br>
我们实际是很�Ҏ��可以写��个算法的代码�Q?

#define N 100
void Floyd(int dist[N][N],int n)
{
  int i,j,k;
  for(k=0;k<n;k++)
    for(i=0;i<n;i++)
      for(j=0;j<n;j++)
        if(dist[i][k]+dist[k][j]<dist[i][j])
           dist[i][j]=dist[i][k]+dist[k][j];

}

我们�q�面临一个保存�\径的问题,如何来做呢？

#define N 100
int map[N][N];
void Floyd(int dist[N][N],int path[N][N],int n)
{
  int i,j,k;
  for(i=0;i<n;i++)
    for(j=0;j<n;j++)
      dist[i][j]=map[i][j],path[i][j]=0;
  for(k=0;k<n;k++)
    for(i=0;i<n;i++)
      for(j=0;j<n;j++)
        if(dist[i][k]+dist[k][j]<dist[i][j]){
           dist[i][j]=dist[i][k]+dist[k][j];
           path[i][j]=k;

}

void output(int i,int j)
{
  if(i==j) return;
  if(path[i][j]==0) cout<<j<<" ";
  else{
    output(i,path[i][j]);
    output(path[i][j],j);
  }
}

原语饿狼 2009-09-23 11:35 发表评论

单源最短�\径之Dijkstra��法

原语饿狼 — Mon, 14 Sep 2009 13:21:00 GMT

单源最短�\径，解决的是什么问题呢�Q?br>��֐�思义�Q�单源说明从一个源出发�Q�出发到哪里呢？不管到哪里我都要求得一个最短的路径�?br>
比较正式的说法：
对于有向图G={V,E},带权�Q�注意Dijkstra��法要求所有的权值非负，
假设我们的源是s�Q�源点要到达的点集合是S�Q�我们每�ơ选择��h��最短�\径估计的��点u(u在V-S中，�q�将u加入到S中，然后此时要对u所有的��q�行处理�Q�怎么处理�Q�我们要最短�\径，所以此时要判断s�l�过u到达V-S中的点会不会比不�l�过u到达来的��，更新呵呵..

那么怎么写成代码呢？
1.我们需要二�l�数�l�graph[][]表示图，用distance[]数组来表�C�源点V0到其它顶点的最短�\径distance[v]�Q�我们还要保存具体�\径，我们用path[][]二维bool数组来表�C?path[1]��p��C�源点到��点V1的�\径，path[1][0,n-1]数组里面的元素如果�ؓtrue表示V0有经�q�那些顶点到达V1
2.我们�q�要考虑到顶�Ҏ��否已�l�加到S中，用一个flag数组来标志顶�Ҏ��否已�l�求的最短�\径了�?br>
�q�要分清是有向图�q�是无向图，�q�对于入边和��在程序处理的时候要注意�?/font>

#define MAXN 100
#define INF 0xfffffff

//注意graph里面的数据，两顶点i指向j有边�Q�长为r�Q�则graph[i][j]=r,其余情况graph为INF�Q�包括i==j

void dijkstra(int graph[MAXN][MAXN],bool path[MAXN][MAXN],int distance[],int n)
{
    int i,j,min,vertex;
    bool flag[MAXN];
    for(i=0;i<n;i++){//初始�?/span>
        distance[i]=graph[0][i];
        flag[i]=false;
        for(j=0;j<n;j++) path[i][j]=false;
        if(distance[i]<INF){ //路径必定臛_��有v0和vi两个��点
            p[i][0]=true;p[i][i]=true;
        }
    }

    flag[0]=true;
    distance[0]=0;//注意一定要初始化distance[0]
    for(i=1;i<n;i++){
        min=INF;
        for(j=1;j<n;j++)
            if(!flag[j]&&distance[j]<min){//扑ֈ�最�q�的�?/span>
                min=distance[j];
                vertex=j;
            }
        flag[vertex]=true;
        for(j=1;j<n;j++)
            if(!flag[j]&&graph[vertex][j]+min<distance[j]){//如果可以通过vertex更近的话,更新
                distance[j]=graph[vertex][j]+min;
                for(int k=0;k<n;k++) path[j][k]=path[vertex][k];
                path[j][j]=true;
            }
    }

}

误��者务必自�׃�D个例子，�q�行看看�Q�这样子才能理解好理解的�Ҏ��蒂固�Q�还有一定要自己不断的写�Q�自己��^常要�ȝ��Q�做ACM题目时最好自己再写一遍，不要太依赖模板了哈哈。�?/span>

原语饿狼 2009-09-14 21:21 发表评论

最��生成树之Prim��法

原语饿狼 — Mon, 14 Sep 2009 10:47:00 GMT

最��生成树是图论的一个重要部分，解决�q�个问题的算法主要有Kruskal��法和Prim��法�?br>
最��生成树:��֐�思义是一��|��Q�该树是图中权值和最��的�?br>
�q�篇文章介绍Prim��法�Q�Kruskal��法请参�?a title=最��生成树之Kruskal��法 href="http://www.shnenglu.com/yuanyuelang/articles/96060.html">最��生成树之Kruskal��法�?br>
Prim��法的主要思�\�Q?br>1.图G={V,E},V表示节点集，E表示辚w��Q�初始时��V0从V中拿出，攑օ��I�集合U中，U={V0}�Q�T(E)�I?br>2.选择和集合U有连接的且最�q�的点Vx�Q�在V中）�Q�放入U�Q�U={V0,Vx},�q�将边加入到T(E)中�?br>3.重复�W�二步，直到U=V
很明��N��要n-1步，n为图的节�Ҏ��?br>
现在我们��是要如何把它变成代码的问题了�?br>1.存储问题�Q�我们需要一个二元数�l�graph下标存放节点�Q�数�l�值存放权倹{��比�?1,2)有边�Q�权��gؓ3�Q�则graph[1][2]=3,同时graph[2][1]=3�Q�没有边的点用INF�Q�无�I�大�Q�表�C�咯�?br>2.如何判断和最�q�的点，�׃��每一�ơ进来都会改变情况，所以每�ơ都要更斎ͼ�我们用一个一元数�l�opt[n]来表�C�，数组下标表示节点��P��D��C��节点到U的最短距��R��记住，加入到U集合的点是不用再��它的了�Q�所以，我们�q�要讄��一个数�l�flag[n]�Q�来讄��标志位，看是否已�l�加入到U集合了�?br>3.�q�样的话大功也就告成了，一般就会写了吧。如果要保存各个边的话，�q�要��d��一个数�l�line[n]来表�C��点到U的最短距��d��底是�q�接U中哪一个节点的�?br>
看看代码�Q�分析分析吧。。记住很重要的，自己举个例子看看。最后一定要熟练掌握其原理，�q�且快速的写出代码�?br>

#define MAXN 100
#define INF 0xfffffff

int result_s[MAXN],result_e[MAXN];//保存�?/span>

void prim(int graph[MAXN][MAXN],int opt[],int n)
{
  int i,j,min,vertex�Q�line[n];
  bool flag[n];

  for(i=0;i<n;i++){ //初始�?/span>
    opt[i]=graph[0][i];
    line[i]=0;
    flag[i]=false;
   }
  flag[0]=true;
  for(i=1;i<n;i++){
    min=INF;
    for(j=1;j<n;j++){
      if(!flag[j]&&opt[j]<min){//选择最优点
        min=opt[j];
        vertex=j;
      }
    }
    flag[vertex]=true; //加入到U集合
    result_s[i]=line[vertex];//保存
    result_e[i]=vertex;
    for(j=1;j<n;j++){//更新
      if(!flag[j]&&graph[vertex][j]<opt[j])
         opt[j]=graph[vertex][j];
         line[j]=vertex;
    }
  }
}

因�ؓ代码是自己当场写出来�Q�写出来和原来正��代码相比较了，如果读者发现有错，�q�望指正�?br>我想我们��是要锻��D��U�写代码的能力，不能太依靠模板，不然忘得快�?br>注意�Q�最后结果都知道了，opt[]保存的是最��生成树的选入的各个边的权��|��result_s[]和result_e保存了到底是哪些点组成的最��生成树�?br>

原语饿狼 2009-09-14 18:47 发表评论

最��生成树之Kruskal��法

原语饿狼 — Sun, 13 Sep 2009 13:18:00 GMT

最��生成树是图论的一个重要部分，解决�q�个问题的算法主要有Kruskal��法和Prim��法�?br>
最��生成树:��֐�思义是一��|��Q�该树是图中权值和最��的�?br>
我们先来介绍Kruskal��法�Q�Prim��法请参�?a title=最��生成树之Prim��法 href="http://www.shnenglu.com/yuanyuelang/articles/96141.html">最��生成树之Prim��法

该算法的基本思�\�Q�贪心，如何贪心呢？
它的贪心准则是：
1.每次从剩下的边中选择一个不会��生环路而且权值最��的边加入到已经选择好的边的集合中�?br>2.它需要e步的操作�Q�e表示囄��Ҏ��Q�我们可以按权值排好序后，�Ҏ��一条边�q�行选择�Q�如果加入到已经选择好的边中会��生回路的现象�Q�就不要了。。。否则加入到已经选择好的边中�?br>3.我们�q�需用到�q�查集的思想�Q�有兛_ƈ查集的介�l�，��h��看我的另一��博�?不相交集合数据结�?/a>
4.复杂度：O(ElgE)�Q�其中E为图的边�?br>
接下来我们引用POJ上的一个经兔R��目来分析�Q�题目网址 http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1861

题目大意是：题目�l�出的是囄��点和所有边的集合，要求输出的是最��生成树的边

我们来看下源码啦�Q?br>

#include<iostream>
using namespace std;
#include<algorithm>
#include <memory.h>

#define MAXEDGE 15001//最大边�?/span>
#define MAXNODE 1001 //最大节�Ҏ��

int p[MAXNODE],rank[MAXNODE];//用于不相交集�?/span>
int start[MAXEDGE],end[MAXEDGE],weight[MAXEDGE],VNum,ENum;//分别��的�v点，�l�点�Q�权重，节点数和�Ҏ��
int result_s[MAXEDGE],result_e[MAXEDGE];//分别为存储最��生成树的�v点，�l�点
int max_weight,id[MAXEDGE];

void make_set(int x)
{
    p[x]=x;
    rank[x]=0;
}

int find_set(int x)
{
    if(p[x]!=x)
        p[x]=find_set(p[x]);
    return p[x];
}

void Union(int x,int y)
{
    x=find_set(x);
    y=find_set(y);
    if(rank[x]>rank[y])
        p[y]=x;
    else if(rank[x]<rank[y])
        p[x]=y;
    else if(rank[x]==rank[y])
    {
        p[x]=y;
        rank[y]++;
    }
}

bool cmp(int i,int j)//用于sort函数
{
    return weight[i]<weight[j];
}
void Kruskal()
{
    int i,min,index=0,count=0,k=0;

    max_weight=0;
        for(i=1;i<=VNum;i++)
          make_set(i);

        sort(id,id+ENum,cmp);//�Ҏ��有边�q�行排序�Q�注意id数组的妙�?/span>
    while(true){
      min=id[index++];
      if(find_set(start[min])!=find_set(end[min])){ //�Ҏ��条边�q�行处理�Q�如果�v点和�l�点不在同一集合合�ƈ�?/span>
        Union(start[min],end[min]);
        result_s[k]=start[min];//保存�l�果
                result_e[k++]=end[min];
                count++;
        if(max_weight<weight[min])
                max_weight=weight[min];
       }

        if(count==VNum-1) break;//当边数等于节�Ҏ��-1的时候表�C�已�l�完�?/span>
    }
}

int main()
{
    int i;
    cin>>VNum>>ENum;
    for(i=0;i<ENum;i++){
        cin>>start[i]>>end[i]>>weight[i];
        id[i]=i;
    }
        Kruskal();
        cout<<max_weight<<endl<<VNum-1<<endl;
        for(i=0;i<VNum-1;i++)
       cout<<result_s[i]<<" "<<result_e[i]<<endl;

        return 0;
}

原语饿狼 2009-09-13 21:18 发表评论

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每对��点间的最短�\径之Floyd-Warshall���法

单源最短�\径之Dijkstra���法

最���生成树之Prim���法

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