Dynamic Programming 2: Numbers

WillCao — Fri, 25 May 2012 04:06:00 GMT

1. 扑և�一个数�l�中�Q�最大的一�D�连�l�的数的和。Find out the subarray which has the largest sum.
例如�Q�[1, -3, 2, -4 , 5 , 6, -2, 6, 7] 最大的和就�?22 = 5 + 6 - 2 + 6 +7.
解法如下�Q?br />

int subMax(int [] a)
{
    int best = 0;
    int sum = 0;
    for(int i = 0; i < a.length; i++)
    {
         sum = sum + a[i];
         if(sum < 0 )
             sum = 0;
         else if(sum > best)
             best = sum;
    }
    return best;
}

��x��是一直加接下来的敎ͼ�如果��于零就变�ؓ0�Q�大于最大的数就更新。其中一点就是，如果遇到负数�Q? 如果和不��于零就不用使sum为零。如果数�l�全部�ؓ负数�Q�上面的代码有点问题�Q�但不改了。如果想知道 �q�个最大的和的序列是什么，只要�E�微改变��可以了�Q�不说了�?br />
2. Ugly Number: 扑և��W�n个能�?�Q?�Q?整除的数
例如�Q?, 3, 4, 5, 6, 9,10, 12, 15, 20, 25 ... �W?个是4�Q?�W?个是5�Q�第5个是6 ... �W?00是？
��x��Q�首先是�?1开始，2�Q?�Q?分别�?�Q�最��的�?�Q�接下来��是2�Q?的位�|�进1�Q?�?的位�|�不�? 再来一�ơ，最��的�?�Q?的位�|�进1�Q?�?位置�q?�Q�再来一�ơ，最��的�?�Q?�?的位�|�不变。。�?br />

int uglyNum( int n)
{
   int a = new int[n+1]
   a[0] = 1;
   int i2 = 0, i3 = 0, i5 = 0;
   int n2 = 0; n3 = 0; n5 = 0;
   int m = 0;
   for(int i = 0; i <= n; i++)
   {
      n2 = a[i2] * 2;
      n3 = a[i3] * 3;
      n5 = a[i5] * 5;
      m = min(n2, n3, n5);
      if(m == n2)
      {
         a[i] = m;
         i2++;
      }
      //similar for i3 and i5
   }
   return a[n];
}

3. 最后一个问题：�l?i, j 两个敎ͼ�然后打印�?2^i �Q?^j 的序�?br /> 例如�Q?i = 3 j =4 ��打印出�Q?br /> 2^0 * 5 ^0 = 1
2^1 * 5^0 = 2
2^2 * 5 ^0 = 4
2^0 * 5^1 = 5
2^3 * 5^0 = 8
2^1 * 5^1 = 10
...
解法�Q�和上面一个解法很�怼��Q�不�q�注意要处理相等的情况，比如2 * 2^1 * 5 ^1 = 20 2^2 * 5^0 ^5 = 20, 代码��׃��写了�?img src ="http://www.shnenglu.com/willcao/aggbug/176124.html" width = "1" height = "1" />

WillCao 2012-05-25 12:06 发表评论

Dynamic Programming 1: Strings

WillCao — Wed, 23 May 2012 14:03:00 GMT

什么是DP? ��单地来说��是把一个问题分解成两个或者多个小问题。然后先把小的问题解出来�Q�最后利用已�l�得到的�{�案�Q�把大的问题解决�?br />它和分而治之有点类��|��但有所不同。DP所分解出来的小问题会相互依赖，因此��׃��知道从哪里分。而分而治之的��问题不�怺�依赖。先�?br />个小�E�序吧，生成�W�n个Fibnacci敎ͼ�可能有�h会这么写

int fib ( int n ) {
  if ( n == 0 )
     return 1;
  if ( n == 1 )
     return 1;
  return fib ( n - 1 ) + fib ( n - 2 );
}

但这个函数是2^n的递归�Q�所以很快堆栈就会被用完的。另外如果思考一下，你会发现 fib( n - 1 ) 也已�l�要用到fib ( n - 2 ), 可是�?br />��fib ( n ) 的时候，�q�个值又要算一遍，那�ؓ什么不把这个值存下来呢？
�? 我们��换个DP的方式：

int fib ( int n ) {
   if ( n == 0 || n == 1 )
      return 1;
   int [] f = new int[ n ];
   f[ 0 ] = 1;
   f[ 1 ] = 1;
   for( int i = 2; i < n; i++)
   {
        f[ i ] = f[ i-1 ] + f[ i-2 ];
   }
   return f[ n-1 ];
}

可能�q�个比较�Ҏ��了。大安��明白�Q�就是先把以前的值给��好�Q�然后后面的计算��可以利用前面的倹{��嗯�Q�那�E�微换个隄��的吧。给一个n*n�?,1 matrix�Q�然后找到最大的全是1的submatrix的大��。比如：
00011
01111
11110
01110
�q�个最大的那个全是1的submatrix的大��就�?.看�v来挺难，其实蛮容易的�?br />我们先用最�q�_��的思�\来解一下吧�?br />先初始化另外一个同样大��的n*n的matrix
�W�一行和�W�一列很�Ҏ��Q�和原先一��L��?br />00011
0
0
1
0
接下来，��第二行�Q�和其他的行。自己动手，你就知道其实��是
s[i][j] = min(s[i][j-1],s[i-1][j],s[i-1][j-1]) + 1
我们��Z��q�可以加上一个max,记录最大的倹{�?br />�q�样�q�个��搞定了。DP介绍完毕。接下来开始关于String的DP

1.扑ֈ�两个字符串的最大相同字串的长度
例如�Q�abaabb aabbaa 最大的相同字串aabb长度��是4.
解法�Q�给两个�?p,q 我们�?br />c(i,j) = 0 if p[i] != q[j]
c(i,j) = c(i-1,j-1) + 1 if p[i] = q[j].
代码和上面submatrix很相伹{��先初始化边�~�，然后��出其他的�?br />2.扑ֈ�两个字符串的最大subsequence的长�?br />例如�Q�acbbab abbca 最大的subsequence is abba 长度�?.
解法�Q�给两个�?p,q 我们�?br />c(i,j) = max(c(i-1,j),c(i,j-1)) if p[i] != q[j]
c(i,j) = c(i-1,j-1) + 1 if p[i] = q[j]
3.扑ֈ�一个字�W�串最大的Palindrom
例如: abcdedcbdsa 最大的Palindrom��是bcdedcb 长度�?
解法�Q�给一个串p
c(i,j) = max(c(i+1,j),c(i,j-1)) if p[i] != q[j]
c(i,j) = c(i+1,j-1) + 2 if p[i] = q[j]

WillCao 2012-05-23 22:03 发表评论

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Dynamic Programming 2: Numbers

Dynamic Programming 1: Strings