_飞寒 — Fri, 04 Feb 2011 07:17:00 GMT

Tarjan��法�Q?/p>

　 �q�是SCC问题的第一个算法，由Tarjan�?972�q�提出。算法仍然借助DFS�Q�但它�ƈ不依靠遍历顺序来把不同的SCC分离��C��同的DFS树中�Q�而是让多个SCC�q�存于同一个DFS树中�Q�用某种手段把他们分开。考虑一个强分量C�Q�设其中�W�一个被发现的点为x�Q�由白�\径定理，C中其他点都是x的后代。我们希望在x讉K��完成时立刻输出C�?注意�q�里是一个严格的数学描述)。这��P��可以在同一��DFS树中区分开所有的SCC了。因此问题的关键是：如何判断一个点是否为SCC中最先被发现的点�?br>　
　   如图�?img style="WIDTH: 384px; HEIGHT: 259px" border=0 alt=dfs�?align=right src="http://www.shnenglu.com/images/cppblog_com/mtysblog/Tarjan.jpg" width=384 height=259>假设我们正在判断u是否为某SCC中第一个被发现的节炏V��如果我们发��C��u的儿子出发可以到达u的祖先w,昄��u\v\w在同一个SCC中，因此u不是该SCC�W�一个被发现的节炏V��如果从v出现最多只能到u�Q�那么u是该SCC中第一个被发现的节点（也许有同学会问，若所有子节点不能到达u本��n�Q�何以能说明u是和子树��通的�Q�其实由于DFS的特点，若这��L��情况出现�Q�实际上在u的子树上已经完成了一个强分量的寻找，u此时是只到它本��n�?#8220;�W�一�?#8221;被发现节点，原书的描�q�是严格和归�U�的�Q�。这��P��问题转化为求�Q�一个点u最�q�能到达的祖先的d倹{��注意这里的“到达”可以通过后向�Ҏ��交叉边，但是前提是只能通过栈里面的点而不是已�l�确定SCC�~�号的其他点。图中实�U�表�C�Z��条边�Q�虚�U�表�C�Z��条或多条辏V�?br>

      定义low[u]为u及其后代能追溯到的最早祖先v的发现时间戳pre[v]�Q�我们可以在计算low函数的同时完成SCC的计��，low函数的递推�Ҏ��如下�Q?br>      利用全局栈_sta保存当前SCC中的节点�Q�注意栈中节点�Ş成树而不一定是链）�Q�cnt为开发当前点u的时间戳�Q�scnt为强分量�~�号器，id[]为强分量�~�号数组�?br>
      原始的Tarjan��法递推方式为：如果 pre[w]

1void dfs-scc(int u){
2    int w,min;
3    min=low[u]=pre[u]=cnt++;
4     /* 初始化时间戳�Q�low��|��子节�Ҏ��祖�?nbsp;为当前时间戳 */
5     _sta.push(u);
6
7     for each (u,w){
8         if(pre[w]==-1) dfs-scc(w);
9         /* 未开发节�?nbsp;*/
10         if( low[w]<min ) min=low[w];
11         /* 求出u所有儿子i最�q�能到达的祖�?nbsp;*/
12     }
13
14     if(min<low[u]){ low[u]=min; return ; }
15     /* 所有的儿子能到辄��最�q�祖先是u的祖先，因此u不是SCC
16         �W�一个被发现的节点，通过子节点，u应能到达�q�样的第一个节�?nbsp;*/
17     do{
18         w=_sta.pop(w);
19         id[w]=scant;
20         low[w]=0x7fffffff; /* 锁定low�Q�保证w不会被其他强分量吸收 */
21     }while(w!=u)
22     /* 此时�Q�u的所有子节点必能且最�q�仅能到达u�Q�他们沟通构成一个SCC */
23     scant++;
24}

_飞寒 2011-02-04 15:17 发表评论

7.1.1 ��N��历与应用

_飞寒 — Fri, 28 Jan 2011 15:01:00 GMT

二分囑ֈ��?
利用�q�度优先搜烦可以判断一个图是否��Z��分图。�v点s昄��可以随意定色�Q�每�ơ考虑一条边(u,v)时显然u所在集合已定，因此当v为白色时把它攑ֈ�不包含u的那个集合，而当v为灰色或黑色�?此时v所在集合已�l�确�?��查v和u是否在同一个集合。如果是�Q�则该图不是二分图，��p�|退出。如果是没有��p�|�Q�则��法实际上已�l�构造出了这两个集合。在忽略s所在集合的情况下，�q�个集合的分划是唯一的（��法步骤中的每一步都是强制的�Q��?/span>

1
2bool Is_BipartiteGraph(int n,int id[] /* 二分节点�?nbsp;*/ ){
3    int k,cnt=0;
4    enum {Gray,Black,White} color[N];
5    queue<int> _que;
6    for(int i=0;i<n;i++) color[i]=White;
7    _que.push(0); color[0]=Black; id[0]=cnt;
8    while(!_que.empty()){
9        k=_que.front(); _que.pop();
10        for(int i=0;i<n;i++)
11            if( g[k][i] ){
12                if( Gray == color[i] | Black == color[i] ){
13                    if( id[i] == id[k] ) return false;
14                }
15                else{
16                    id[i]=1-id[k];
17                    color[i]=Gray;
18                    _que.push(i);
19                }
20            }
21        color[k]=Black;
22    }
23    return true;
24}

Time_stamp-DFS+边分�cȝ��法：
   把分�c�规则落实到DFS中，只需在考虑�?u,v)时检查v的颜�Ԍ��
    v是白�Ԍ��(u,v)�?树边 Tree edge
    v是灰�?(u,v)�?后向�?Back edge
    v是黑�?�l�箋判定。若find[u]

1enum{ Tree,Back,Forward,Cross } id[N][N];
2enum{ Black,White,Gray } color[N]={White};
3int finish[N],find[N];
4int time=0;
5void DFS(int s){
6    color[s]=Gray; // 开始扩�?nbsp;
7    find[s]=++time;
8    for(int i=0;i<n;i++)
9        if(g[s][i]){
10            switch (color[i]){
11                case White:{
12                    id[s][i]=Tree;
13                    DFS(i);
14                    break;
15                }
16                case Gray:{
17                    id[s][i]=Back;
18                    break;
19                }
20                case Black:{
21                    if(find[s]<find[i]) id[s][i]=Forward;
22                    else id[s][i]=Cross;
23                    break;
24                }
25            }
26        }
27    color[s]=Black; //事�g�l�束
28    finish[s]=++time;
29}

_飞寒 2011-01-28 23:01 发表评论

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7.1.1 ��N��历与应用