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small-fat — Sat, 21 Oct 2006 17:59:00 GMT

转：

http://www.mscenter.edu.cn/blog/jeffrey/articles/5994.html
http://hi.baidu.com/xknuth/blog/item/491bf9198e26227adab4bded.html
http://www.faq-it.org/archives/structure/0f0aeab192b1e0bdbd84d19d4ab80a28.php

有等式ax+by=c,已知a、b、c,求x和y�? (a、b、c、x、y都是整数)
uml_practice
---------------------------------------------------------------

解不定方�E�ax + by = n的步骤如�?

(1)计算gcd(a, b). 若gcd(a, b)不能整除n�Q�则方程无整数解�Q�否则，在方�E�的两边同除以gcd(a, b)�Q�得到新的不定方�E�a'x + b'y = n'�Q�此时gcd(a', b') = 1

(2)求出不定方程a'x + b'y = 1的一�l�整数解x0, y0�Q�则n'x0�Q�n'y0是方�E�a'x + b'y = n'的一�l�整数解�?

(3)�Ҏ(gu��)��&@^%W#&定理�Q�可得方�E�a'x + b'y = n'的所有整数解为：
x = n'x0 + b't
y = n'y0 - a't
(t为整�?
�q�也��是方程ax + by = n的所有整数解

利用扩展的欧几里��L(f��ng)��法，计算(a, b)和满��d = (a, b) = ax0 + by0的x0和y0�Q�也��是求出了满��a'x0 + b'y0 = 1的一�l�整数解。因此可得：
x = n/d * x0 + b/d * t
y = n/d * y0 - a/d * t
(t是整�?

small-fat 2006-10-22 01:59 发表评论

�Ƨ拉函数

small-fat — Wed, 27 Sep 2006 09:30:00 GMT

pku题目�Q?br /> http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2407

参考网站：

　http://www.cnblogs.com/softbird/archive/2005/12/01/288649.html

　http://www.wikilib.com/wiki/%E6%AC%A7%E6%8B%89%E5%87%BD%E6%95%B0

�?/font> 数论 �Q�对�?/font> 整数 n�Q?b>�Ƨ拉函数是少于或�{�于n的数中与n 互质的数的数目。此函数以其首名研究�?/font> �Ƨ拉命名�Q�它又称为Euler's totient function�?/font> φ 函数、欧拉商数等�?

例如�Q�因�?,3,5,7均和8互质�?

从欧拉函数引伸出来在环论斚w��的事实和拉格朗日定理构成�?/font> �Ƨ拉定理的证明�?

φ函数的�?/font>

�Q�唯一�?互质的数��是1本��n�Q��?

�?i>n�?/font> 质数 p�?i>k��?/font> �q?/font> �Q?img class="tex" alt="\varphi(n)=p^a-p^{a-1}=(p-1)p^{k-1}" src="http://www.wikilib.com/images/math/1/6/8/168b9412b2bd2cc9c23651930a41da35.png" />�Q�因为除�?i>p�?/font> 倍数外，其他数都�?i>n互质�?

�Ƨ拉函数�?/font> �U�性函�?/font> ——若m,n互质�Q?img class="tex" alt="\varphi(mn)=\varphi(m)\varphi(n)" src="http://www.wikilib.com/images/math/a/f/8/af816470528ea56da0d6f390c16e462b.png" />。证明：�?i>A, B, C是跟m, n, mn互质的数的集�Q�据中国剩余定理 �Q?img class="tex" alt="A \times B" src="http://www.wikilib.com/images/math/2/7/a/27a7579d0309d06241abeb0bccb4ac99.png" />�?i>C可徏�?/font> 一一对应的关�p�R��因�?img class="tex" alt="\varphi(n)" src="http://www.wikilib.com/images/math/4/0/b/40ba55cd3c58225334c65204b80c6ca3.png" />的��g��?/font> ��术基本定理便知�Q?

�?img class="tex" alt="n = \prod_{p\mid n} p^{\alpha_p}" src="http://www.wikilib.com/images/math/0/5/9/059bc0d55499e3a97128e7d8215f52f5.png" />�Q?

�?img class="tex" alt="\varphi(n) = \prod_{p\mid n} p^{\alpha_p-1}(p-1) = n\prod_{p|n}\left(1-\frac{1}{p}\right)" src="http://www.wikilib.com/images/math/c/6/f/c6f9c184f86794f66e1f962a93869f14.png" />�?

例如

与欧拉定理、费马小定理的关�p?/font>

对�Q何两个互质的正整�?i>a, m�Q?img class="tex" alt="m\ge2" src="http://www.wikilib.com/images/math/0/8/b/08b9e5eccad5ff4a01eb737ac1606e62.png" />�Q�有

�?/font> �Ƨ拉定理

�?i>m是质�?i>p�Ӟ��此式则�ؓ�Q?

�?/font> 贚w��定�?/font> �?

small-fat 2006-09-27 17:30 发表评论

皮克定理

small-fat — Sat, 12 Aug 2006 14:12:00 GMT

题目�Q?/font> http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2954

定理详细描述�Q?/font> http://www.pep.com.cn/200406/ca474440.htm

转：　

数数格点��出面积

　　一张方格纸上，上面�ȝ��U�|��两组�q��U�，盔R��q��U�之间的距离都相�{�，�q�样两组�q��U�的交点�Q�就是所谓格炏V�?

　　如果取一个格点做原点O�Q�如�?�Q�取通过�q�个格点的横向和�U�向两直�U�分别做横坐标��uOX和纵坐标轴OY�Q��ƈ取原来方��D��长做单位长，建立一个坐标系。这时前面所说的格点�Q�显然就是纵横两坐标都是整数的那些点。如�?中的O、P、Q、M、N都是格点。由于这个缘故，我们又叫格点为整炏V�?br />
　　一个多边�Ş的顶点如果全是格点，�q�多边�Ş��叫做格点多边�Ş。有��的是，�q�种格点多边形的面积计算��h��很方便，只要��C��下图形边�U�上的点的数目及囑ֆ�的点的数目，��可用公式算�?br /> 设格点多边�Ş的面�U��ؓS�Q�多边�Ş内部有N个格点，多边形边�U�上�?L个格�?/p>

公式
S - N = L/ 2 - 1;

small-fat 2006-08-12 22:12 发表评论