母函敎ͼ�排列�l�合�W�记

mr_chen — Wed, 13 Apr 2011 10:05:00 GMT

1�Q?nbsp; 圆排�?br>圆排列个�?=P(n, r)/r= n!/( r*(n-r)! )

例：8人围着��桌吃饭�Q�多��种��方式�Q?/p>

Ans: P(8, 8)/8=7!

2�Q?nbsp; 重排�?br>a. 无限重排列：n个不同元素中取r个按�ơ序排列�Q�每个元素可取无限次�Q��L��为nr�?/p>

b. 有限重排列：r个不同色彩球攑օ�n个标��L��盒子�Q�第i�U�彩球有ri个，��L��为P(n, r) / (r1!* r2!*… rt!)

3�Q?nbsp; 非重�l�合�Q�每个元素最多出��C��?br>C(n, r)

4�Q?nbsp; 重组�?br>N个不同的元素中取r个元素，允许重复取，不考虑��序。��L��为C(n+r-1, r)

5�Q?nbsp; 母函�?br>a. 引出�Q?/p>

(x1+ x2+… +xk)n的组合数学意义是��n个无区别的球攑օ�k个编号不同的盒子里，每个盒子球数不限。多��式展开后，x1n1 *x2n2*…* xknk通过�q�可以表�C�Z��l�解。而这个项的系��Cؓ

C(n, n1)* C(n-n1, n2)*…* C(n-n1-n2-…-nk-1, nk)=n!/ (n1!n2!…nk! )

各系��C��和�ؓkn�?/p>

b. 普通母函数

一个序列{an}�Q�称a0+a1x+ a2x2+…+ anxn+…�q�个多项式�ؓ{an}的普通母函数�?/p>

�?�Q�（天��^�U�物问题�Q�有质量n1�Q�n2…nk整数克的砝码�Q�要�U�i克物体，物体在左�Q�砝码在叟뀂共有多��种不同的称法？

解：设有ai�U�方法，�?/p>

(1+xn1) (1+xn2)…(1+xnk)=�?ai xi

1表示(1+xnj)中提�?�Q�砝码nj没有用上�?/p>

ai为所求�?/p>

注：多项式展开后，�q�可以看��U�出哪些重量

�l�验�Q�始�l�记得，一个括号内一�ơ仅有一个项被取�Q�用于提供给展开式的某一��?/p>

�?�Q�（重复取物�Q�有n�U�不同的物品�Q�每�U�物品分别能最多取b1�Q�b2… bn件。从中可重复的取r件物品有多少�U�不同的取法�Q?/p>

解：设有ar�U�不同的取法。则

(1+x+x2+…+xb1) (1+x+x2+…+xb2)… (1+x+x2+…+xbn)=a0+a1x+ a2x2+…+ arxr+…

展开式中xr的来源xm1xm2…xmn=xr

于是成了重组合问题，�{�案为C(n+r-1, r)

�?�Q�整数拆分：整数r拆分成k1�Q�k2… km的和�Q�ki允许最多重复ni�ơ。求拆分�Ҏ��数�?/p>

解：�q�是求k1b1+ k2b2+…+ kmbm=r的不定方�E�的非负整数解的个数�Q?<= bi<= ni �?/p>

考虑(1+xk1+xk1*2+xk1*3+…+xk1*n1)( 1+xk2+xk2*2+xk2*3+…+xk2*n2)…( 1+xkn+xkn*2+xkn*3+…++xkm*nm)

则答案是xr的系�?/p>

c. 指数母函�?/p>

N个元素中�Q�ai重复了ni�ơ，求从中取r个元素的排列��Cؓbr�?/p>

讑֏�mi个ai�Q�∑mi=r。则�怺�不同的排列数为r! / ∏mi!

则对于所有的mi的拆分方法，br=�? r! / ∏mi! )

�?�Q�若�?个元素，其中a1重复�?�ơ，a2重复�?�ơ，a3重复�?�ơ。求从中取出4个元素的排列数�?/p>

解：先构造普通母函数
G(x)=(1+x+ x2+x3) (1+x+ x2) (1+x+ x2+x3)

X4的系��Cؓ10�Q�说明取4个元素的�l�合��Cؓ10。这相当于上面所说的对于mi的拆分方法�?br>4 = 1+0+3 = 0+1+3 = 2+0+2 = 1+1+2 = 0+2+2 = 3+0+1 = 2+1+1 = 1+2+1 = 3+1+0 = 2+2+0

代入br=�? r! / ∏mi! )�Q�得�?0�U?br>

��Z��便于计算br�Q�引入函�?/p>

g(x)= (1+x+x2/2!+x3/3!+…+xn1/n1!) (1+x+x2/2!+x3/3!+…+xn2/n2!)… (1+x+x2/2!+x3/3!+…+xnk/nk!)=�?(br*xr/r!)

g(x)�U�Cؓ{br}的指数母函数。br=�? r! / ∏mi! )

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